浅谈数值分析在数学建模中的应用

1、浅谈数值分析在数学建模中的应用 韩玉桃 EMBED Equation.3 白洋 EMBED Equation.3 田露 EMBED Equation.3 刘徳铮 EMBED Equation.3 (1天津商业大学理学院，天津 300134 2天津商业大学理学院，天津，300134 摘要 为了满足科技发展对科学研究和工程技术人员用数学理论解决实际的能力的要求，讨论了数值分析在数学建模中的应用。数值分析不仅应用模型求解的过程中，它对模型的建立也具有较强的指导性。研究数值分析中插值拟合，解线性方程组，数值积分等方法在模型建立、求解以及误差分析中的应用，使数值分析作为一种工具更好的解决实际问题。 关键

2、词 数值分析；数学建模；线性方程组；微分方程 引言 数值分析主要介绍现代科学计算中常用的数值计算方法及其基本原理，研究并解决数值问题的近似解，是数学理论与计算机和实际问题的有机结合1。随着科学技术的迅速发展，运用数学方法解决科学研究和工程技术领域中的实际问题，已经得到普遍重视。数学建模是数值分析联系实际的桥梁。在数学建模过程中，无论是模型的建立还是模型的求解都要用到数值分析课程中所涉及的算法,如插值方法、最小二乘法、拟合法等，那么如何在数学建模中正确的应用数值分析内容，就成了解决实际问题的关键。 数值分析在模型建立中的应用 在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的模型也是离散的。

3、例如，对经济进行动态的分析时，一般总是根据一些计划的周期期末的指标值判断某经济计划执行的如何。有些实际问题即可建立连续模型，也可建立离散模型，但在研究中，并不能时时刻刻统计它，而是在某些特定时刻获得统计数据。例如，人口普查统计是一个时段的人口增长量，通过这个时段人口数量变化规律建立离散模型来预测未来人口。另一方面，对常见的微分方程、积分方程为了求解，往往需要将连续模型转化成离散模型。将连续模型转化成离散模型，最常用的方法就是建立差分方程。 以非负整数 EMBED Equation.3 表示时间，记 EMBED Equation.3 为变量 EMBED Equation.3 在时刻 EMBED

4、Equation.3 的取值，则称 EMBED Equation.3 为 EMBED Equation.3 的一阶差分，称 EMBED Equation.3 为 EMBED Equation.3 的二阶差分。类似课求出 EMBED Equation.3 的 EMBED Equation.3 阶差分 EMBED Equation.3 。由 EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 ，及 EMBED Equation.3 的差分给出的方程称为差分方程2。例如在研究节食与运动模型时，发现人们往往采取节食与运动方式消耗体内存储的脂肪，引起体重下降，达到减肥目的。通常制 性

5、方程组的方法是直接法和迭代法。直接法基本思想是将线性方程组转化为便于求解的三角线性方程组，再求三角线性方程组，理论上直接在有限步内求得方程的精确解，但由于数值运算有舍入误差，因此实际计算求出的解仍然是近似解，仍需对解进行误差分析。直接法不适用求解 EMBED Equation.3 的线性方程组，因此当 EMBED Equation.3 时，可以采用迭代法进行求解。 迭代法先要构造迭代公式，它与方程求根迭代法相似，可将线性方程组改写成便于迭代的形式。迭代计算公式简单，易于编制计算程序，通常都用于解大型稀疏线性方程组。求解线性方程组的一般设计思想如下，假设建立一个线性规划模型 EMBED Equa

6、tion.3 其中 EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 ，即 EMBED Equation.3 ，可将 EMBED Equation.3 改写为迭代的形式 EMBED Equation.3 并由此构造迭代法 EMBED Equation.3 其中 EMBED Equation.3 ,称为迭代矩阵。将 EMBED Equation.3 按不同方式分解，就得到不同的迭代矩阵 EMBED Equation.3 ,也就的带不同的迭代法，例如Jacobi迭代法 5、高斯-赛德尔迭代法5、超松弛迭代法等。 由于计算过程中有舍入误差，

7、为防止误差增大，就要求所使用的迭代法具有稳定性，即迭代收敛，收敛速度越快，误差越小。若 EMBED Equation.3 中， EMBED Equation.3 <1，则认为此迭代法收敛。超松弛迭代法是利用松弛技术加快收敛的典型，它有重要的实际价值，但必须选择较佳的松弛因子，虽有求最佳松弛因子的理论公式，但通常还要依赖于实际经验。 3.3数值积分在模型求解中的应用 模型求解过程中可能遇到积分求解问题，用求积公式 EMBED Equation.3 ，使定积分计算变得简单，但在实际应用中很多被积函数找不到用解析时表示的原函数，例如 EMBED Equation.3 ，或者即使找到表达式也极其

8、复杂。另外，当被积函数是列函数，其原函数没有意义，因此又将计算积分归结为积函数值的加权平均值。 假设 EMBED Equation.3 ，则积分的计算公式5为 EMBED Equation.3 ，称其为机械求积公式，其中 EMBED Equation.3 （ EMBED Equation.3 ）称为求积节点， EMBED Equation.3 与 EMBED Equation.3 无关，称为求积系数或权数，机械求积公式是将计算积分归结为计算节点函数值的加权平均，即取 EMBED Equation.3 得到的。由于这类公式计算极其便捷，是计算机计算积分的主要方法，构造机械求积公式就转化为求参数

9、EMBED Equation.3 及 EMBED Equation.3 的代数问题。 3.4数值分析在求解微分方程中的应用 在数学建模中，所建立的模型很多 时候是常微分方程或者偏微分方程，这些方程求解析解是很困难的，而且即使能够求得解析解，由于所用数据的误差得到的解也是近似值，所以大部分情况下会采取数值的方法进行求解。例如在常微分方程求解中，将原方程离散后，用迭代的方法求解；在偏微分方程的求解中，常常利用有限差分方法和有限元方法对方程进行离散，进而求得方程的数值解。 4.误差分析 误差分析使数学建模的结果更加准确。数学模型与实际问题之间出现的误差称为模型误差。在数学模型中往往包含了若干参变量，

10、这些量往往是通过观察得到的，因此也带来了误差，这种误差称为观察误差4。这些误差是不可避免的，所以我们只能在模型建立和模型求解中避免误差扩大。目前已经提出的误差分析方法有向前误差分析法与向后误差分析，区间分析法，及概率分析，但在实际误差估计中均不可行。不能定量的估计误差，因此在建模过程中更着重误差的定性分析，也就是算法的稳定性分析。 一个算法如果原始数据有误差，而计算过程舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则，若误差增长，则称算法是不稳定的。在误差分析中，首先要分清问题是否病态和算法是否稳定，计算时还要尽量避免误差危害。为了防止有效数字的损失，应该注意下面若干原则：一是避免用绝对值小的数作

11、除数；二是避免数值接近相等的两个近似值相减，这样会导致有效数字严重损失；三是注意运算次序，防止“大数”吃“小数”，如多个数相加减，应按照绝对值由小到大的次序运算；四是简化步骤，减少算术运算的次数。 5.结论 随着电子计算机的迅速发展、普及以及新型数值软件的不断开发,数值分析的理论和方法无论是在高科技领域还是在传统学科领域，其作用和影响都越来越大，实际上它已成为科学工作者和工程技术人员必备的知识和工具，所以把数值分析的知识正确的应用到数学建模中去不仅是一种趋势，更是用数学的理论解决实际问题的关键。 参考文献： 1郑慧娆,陈绍林,莫忠息,等.数值计算方法M.武汉:武汉大学出版社,2002. 2陈东

12、彦,李冬梅,王树忠.数学建模M.北京:科学出版社,2007. 3姜启源,等.数学模型M.北京:高等教育出版社,2003. 4李庆扬,王能超,易大义.数值分析M.4版.北京:清华大学出版社, 2001. 5李庆扬.科学计算方法基础M.4版.北京:清华大学出版社, 2005. the Application of Numerical Analysis in Methmetical Modeling Han Yu-tao EMBED Equation.3 Bai Yang EMBED Equation.3 Tian Lu EMBED Equation.3 Liu De-zheng EMBED Equ

13、ation.3 College of Science，Tianjin University of Commerce，Tianji n，300134 2 College of Science，Tianjin University of Commerce，Tianjin，300134 Abstract In order to meet the technological scientific researchers who use mathematical theory to solve practical problems, the use of numerical analysis in mathematical modeling is discussed.Numerical analysis not only solve the model,but also relatively guide the model.Research on some numerical methods in numerical analysis which usually used in mathmetical modeling and error analysis will be a better way to solve