数学建模案例分析--线性代数在数学建模中的应用举例

1、数学建模案例分析 1线性代数在数学建模中的应用举例1 基因间“距离”的表示在 ABO 血型的人们中,对各种群体的基因的频率进行了研究。如果我们把 四种等位基因 A 1, A 2, B , O 区别开,有人报道了如下的相对频率,见表 1.1。表 1.1基因的相对频率 问题 一个群体与另一群体的接近程度如何?换句话说, 就是要一个表示基 因的“距离”的合宜的量度。解 有人提出一种利用向量代数的方法。 首先, 我们用单位向量来表示每一 个群体。为此目的,我们取每一种频率的平方根,记 ki ki f x =. 由于对这四种群体的每一种有 141=i ki f , 所以我们得到 =4121i ki x

2、. 这意味着下列四个向量的每个都是单位向量 . 记=x x x x a x x x x a x x x x a x x x x a数学建模案例分析2在四维空间中,这些向量的顶端都位于一个半径为 1的球面上 . 现在用两个向量间的夹角来表示两个对应的群体间的 “距离” 似乎是合理的 . 如果我们把 a 1和 a 2之间的夹角记为 , 那么由于 | a1|=| a2|=1, 再由内只公式, 得21cos a a =而. 8307. 03464. 02943. 03216. 0, 8228. 01778. 00000. 05398. 021=a a 故 9187. 0c o s 21=a a 得 2

3、. 23=°. 按同样的方式,我们可以得到表 1.2.表 1.2基因间的“距离” 由表 1.2可见,最小的基因“距离”是班图人和英国人之间的“距离” ,而 爱斯基摩人和班图人之间的基因“距离”最大 .2 Euler的四面体问题问题 如何用四面体的六条棱长去表示它的体积?这个问题是由 Euler (欧 拉提出的 .解 建立如图 2.1所示坐标系, 设 A , B , C 三点的坐标分别为 (a 1,b 1,c 1 ,( a 2,b 2,c 2 和(a 3,b 3,c 3 ,并设四面体 O-ABC 的六条棱长分别为 . , , , , , r q p n m l 由立体几何知 道, 该四

4、面体的体积 V 等于以向量 OC OB OA , , 组成右手系时, 以它们为棱的平行数学建模案例分析 3六面体的体积 V 6的 16.而. 3332221116c b a c b a c b a V = 于是得 . 6333222111c b a c b a c b a V = 将上式平方,得.3623232332323232313132323222212133322211133322211122c b a c c b b a a c c b b a a c c b b a a c b a c c b b a a c c b b a a c c b b a a cb a c b a c b

5、a c b a c b a c b a c b a V +=根据向量的数量积的坐标表示,有., , , 2323233232322于是 362OC OC OB OC OB OBOB OBOA OB OA OAV = (2.1由余弦定理,可行. 2cos 222n q p q p OB OA -+=同理. 2, 2222222l r q m r p -+=-+=将以上各式代入(2.1式,得数学建模案例分析4. 222222362222222222222222222222r l r p m r p l r p p n q p m r p n q p pV -+-+-+-+-+-+=(2.2这就是

6、Euler 的四面体体积公式 .例 一块形状为四面体的花岗岩巨石,量得六条棱长分别为l =10m, m =15m, n =12m, p =14m, q =13m, r =11m.则. 952222,462222,5. 1102222=-+=-+=-+l r p m r p n q p代入(2.1式,得. 75. 13698291219546951695. 465. 110196236=V 于是. 195(82639. 38050223m V 即花岗岩巨石的体积约为 195m 3.古埃及的金字塔形状为四面体, 因而可通过测量其六条棱长去计算金字塔的 体积 .3 动物数量的按年龄段预测问题问题 某

7、农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为 15岁,将其分成三个 年龄组:第一组, 05岁;第二组, 610岁;第三组, 1115岁 . 动物从第二 年龄组起开始繁殖后代,经过长期统计,第二组和第三组的繁殖率分别为 4和 3. 第一年龄和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为 12 和 14 . 假设农场现有三个年龄段的动物各 100头, 问 15年后农场三个年龄段的动物 各有多少头?问题分析与建模 因年龄分组为 5岁一段,故将时间周期也取为 5年 .15年 后就经过了 3个时间周期 . 设 (k i x 表示第 k 个时间周期的第 i 组年龄阶段动物的数数学建模案例分析5量(k =

8、1, 2, 3; i =1, 2, 3 .因为某一时间周期第二年龄组和第三年龄组动物的数量是由上一时间周期 上一年龄组存活下来动物的数量,所以有. 3, 2, 1(41, 21 1(2(3 1(1 (2=-k x x x x k k k k又因为某一时间周期, 第一年龄组动物的数量是由于一时间周期各年龄组出 生的动物的数量,所以有. 3, 2, 1(34 1(31(2 (1=+=-k x x x k k k于是我们得到递推关系式:=+=-. 41,21, 34 1(2 (31(1213 1(2 (1k k k k k k k x x x x x x x 用矩阵表示. 3, 2, 1(04100

9、21340 1(3 1(2 1(1 (3 (2 (1=-k x x x x x x k k k k k k则. 3, 2, 1(1( (=-k Lx x k k其中100021340 0(=x L 则有, 3, 2, 1( (3 (2(1(=k x x x x k k k k1000213400( 1(=Lx x000213401( 2(=1000213402( 3(=Lx x 结果分析 15年后,农场饲养的动物总数将达到 16625头,其中 05岁的 有 14375头,占 86.47%, 610岁的有 1375头,占 8.27%, 1115岁的有 875头 , 占 5.226%.15年间 ,

10、 动物 总增 长 16625-3000=13625头 ,总 增 长率 为 13625/3000=454.16%.注 要知道很多年以后的情况,可通过研究式 0( 1( (x L Lx x k k k =-中当趋于 无穷大时的极限状况得到 .关于年龄分布的人口预测模型 我们将人口按相同的年限(比如 5年分成 若干年龄组, 同时假设各年龄段的田、 女人口分布相同, 这样就可以通过只考虑 女性人口来简化模型 . 人口发展随时间变化,一个时间周期的幅度使之对应于基 本年龄组间距 (如先例的 5年 , 令 (k i x 是在时间周期 k 时第 i 个年龄组的 (女性 人口, i =1,2, , n . 用

11、 1表示最低年龄组,用 n 表示最高年龄组,这意味着不考虑 更大年龄组人口的变化 .假如排除死亡的情形,那么在一个周期内第 i 个年龄组的成员将全部转移到 i +1个年龄组 . 但是,实际上必须考虑到死亡率,因此这一转移过程可由一存活系 数所衰减 . 于是,这一转移过程可由下述议程简单地描述:, 1, , 2, 1(1(1-=-+n i x b x k ii k i其中 i b 是在第 i 个年龄组在一个周期的存活率,因子 i b 可由统计资料确定 .惟一不能由上述议程确定的年龄组是 , (1k x 其中的成员是在后面的周期内出生的,他们 是后面的周期内成员的后代, 因此这个年龄组的成员取决于

12、后面的周期内各组的出生率及其 人数 .于是有方程, 1(122 1(11 (1-+=k n n k k k x a x a x a x (3.1这里 , , 2, 1(n i a i =是第 i 个年龄组的出生率, 它是由每时间周期内, 第 i 个年龄 组的每一个成员的女性后代的人数来表示的,通常可由统计资料来确定 .于是我们得到了单性别分组的人口模型,用矩阵表示便是, 00000000000 1( 1(31(2 1(11211321( (3 (2 (1=-k n k k k n n n k n k k k x x x x b b b a a a a a x x x x或者简写成. 1( (-

13、=k k Lx x (3.2矩阵-0000000000001211321n n n b b b a a a a a L称为 Leslie 矩阵 .由(3.2式递推可得0( 1( (x L Lx x k k k =-这就是 Leslie 模型 .4 企业投入产生分析模型问题 某地区有三个重要产业, 一个煤矿、 一个发电厂和一条地方铁路 . 开采 一元钱的煤,煤矿要支付 0.25元的电费及 0.25元的运输费 . 生产一元钱的电力,发电厂要支付 0.65元的煤费, 0.05元的电费及 0.05元的运输费 . 创收一元钱的运 输费 , 铁路要支付 0.55元的煤费及 0.10元的电费 . 在某一周内

14、, 煤矿接到外地金额 为 50000元的定货, 发电厂接到外地金额为 25000元的定货, 外界对地方铁路没 有需求 . 问三个企业在这一周内总产值多少才能满足自身及外界的需求?数学模型 设 x 1为煤矿本周内的总产值, x 2为电厂本周的总产值, x 3为铁路 本周内的总产值,则=+-=+-=+-,0 005. 025. 0(, 25000 10. 005. 025. 0(,50000 55. 065. 00(321332123211x x x x x x x x x x x x (4.1 即. 02500050000005. 025. 010. 005. 025. 055. 065. 00

15、321321=-x x x x x x 即. 02500050000, 005. 025. 010. 005. 025. 055. 065. 00, 321=Y A x x x X 矩阵 A 称为直接消耗矩阵, X 称为产出向量, Y 称为需求向量, 则方程组 (4.1 为, Y AX X =-即Y X A E =- (, (4.2其中矩阵 E 为单位矩阵, (E-A 称为列昂杰夫矩阵, 列昂杰夫矩阵为非奇异 矩阵 .投入产出分析表 设 , 00000, (3211=-=-x x x A C E A E B D=(1, 1, 1 C. 矩阵 B 称为完全消耗矩阵,它与矩阵 A 一起在各个部门之

16、间的投入产生中起平 衡作用 . 矩阵 C 可以称为投入产出矩阵,它的元素表示煤矿、电厂、铁路之间的 投入产出关系 . 向量 D 称为总投入向量,它的元素是矩阵 C 的对应列元素之和,分别表示煤矿、电厂、铁路得到的总投入 .由矩阵 C ,向量 Y , X 和 D ,可得投入产出分析表 4.1.表 4.1 投入产出分析表 单位:元 煤矿电厂铁路外界需求总产出煤矿 11c 12c 13c1y 1x电厂 21c 22c 23c 2y 2x 铁路 31c32c33c 3y3x总投入1d 2d3d计算求解 按(4.2式解方程组可得产出向量 X ,于是可计算矩阵 C 和向 量 D ,计算结果如表 4.2.表

17、 4.2 投入产出计算结果 单位:元 煤矿 电厂 铁路 外界需求 总产出 煤矿 0 36505.96 15581.51 50000 102087.48 电厂 25521.87 2808.15 2833.00 25000 56163.02 铁路 25521.87 2808.15 0 0 28330.02总投入51043.7442122.2718414.525 交通流量的计算模型问题 图 5.1给出了某城市部分单行街道的交通流量(每小时过车数 . 假设:(1全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量; (2全部流入一 个节点的流量等于全部流出此节点的流量 . 试建立数学模型确定该交通网络未知 部分的

18、具体流量 .建模与计算 由网络流量假设,所给问题满足如下线方程组:=+=-=+=+=+=-=+=+-.1000, 600, 200, 400, 1000, 800, 800, 200, 500,. 001010100001110-=A 增广矩阵阶梯形最简形式为. 0000000000-=B 其对应的齐次方程组为=+=+=+=-=+. 0, 0, 0, 0,0, 0, 0,010987865435251x x x x x x x x x x x x x 取(x 5, x 8为自由取值未知量,分别赋两组值为(1,0 , (0,1 ,得齐次方程 组基础解系中两个解向量(, ' , 0, 0,

19、 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 11-= (, ' 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 02-=其对应的非齐次方程组为=+=+=+=-=+. 600, 400, 1000, 800,500, 200,0, 80010987865435251x x x x x x x x x x x x x 赋值给自由未知量(x 5, x 8为(0,0得非齐次方程组的特解('. 600, 400, 0, 1000, 800, 0, 500, 200, 0, 800=*x于是方程组的通解 , *2211x k k x +=其中 k 1, k 2为任意常数, x 的每一

20、个分量即为交 通网络未知部分的具体流量,它有无穷多解 .6 小行星的轨道模型问题 一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道, 他在轨道平面内建 立以太阳为原点的直角坐标系, 在两坐标轴上取天文测量单位 (一天文单位为地 球到太阳的平均距离:1.4959787×1011m . 在 5个不同的时间对小行星作了 5次 观察,测得轨道上 5个点的坐标数据如表 6.1.表 6.1 坐标数据 由 Kepler (开普勒 第一定律知, 小行星轨道为一椭圆 . 现需要建立椭圆的方 程以供研究(注:椭圆的一般方程可表示为问题分析与建立模型 天文学家确定小行星运动的轨道时, 他的依据是轨道 上五个点的

21、坐标数据:(x 1, y1 , (x 2, y2 , (x 3, y3 , (x 4, y4 , (x 5, y5 .系数,将五个点的坐标分别代入上面的方程,得1353423333223125242y a x a y a y x a x a , y a x a y a y x a x a , y a x a y a y x a x a , y a x a y a y x a x a这是一个包含五个未知数的线性方程组,写成矩阵-=25552544244424332333232222222211211121a a a a a y x y y x x y x y y x x y x y y x x

22、y x y y x x y x y y x x求解这一线性方程组, 所得的是一个二次曲线方程 . 为了知道小行星轨道的一 些参数 , 还必须将二次曲线方程化为椭圆的标准方程形式 :12222=+bY a X 由于太阳的位置是小行星轨道的一个焦点 , 这时可以根据椭圆的长半轴 a 和 短半轴 b 计算出小行星的近日点和远日点距离 , 以及椭圆周长 L .根据二次曲线理论 , 可得椭圆经过旋转和平移两种变换后的方程如下 :. 02221=+C DY X 所 以 , 椭 圆 长 半 轴 :C D a 1=; 椭 圆 短 半 轴 : CDb 2=; 椭 圆 半 焦 矩 :22b a c -=.计算求解

23、 首先由五个点的坐标数据形成线性方程组的系数矩阵=7200. 69600. 142896. 112656. 509504. 550520. 53360. 143807. 62127. 363802. 516460. 35180. 133233. 36433. 246841. 454040. 25720. 124448. 11115. 155138. 39292. 1528. 114199. 04701. 72237. 33A使用计算机可求得. 2165. 0, 6351. 1, 6942. 0, 3440. 0, 6143. 0( , , , , (54321-=a a a a a从而-=69

24、42. 03440. 03440. 06143. 03221a a a a CC C , 3081. 0=的特征值 . 0005. 1, 3080. 021=. 12165. 06351. 12165. 06942. 03440. 06351. 13440. 06143. 0154532321-=a a a a a a a a D. 8203. 1-=D于是 , 椭圆长半轴 1834. 19=a , 短半轴 9045. 5=b , 半焦距 2521. 18=c . 小行星近日点距和远日点距为 . 4355. 37, 039313=+=-=c a H c a h最后 , 椭圆的周长的准确计算要用

25、到椭圆积分 , 可以考虑用数值积分解决问题 , 其近似 值 为 84.7887.7 人口迁移的动态分析问题 对城乡人口流动作年度调查 , 发现有一个稳定的朝向城镇流动的趋势 :每年农村居民的 2.5%移居城镇 , 而城镇居民的 1%迁出 . 现在总人口的 60%位于城 镇 . 假如城乡总人口保持不变 , 并且人口流动的这种趋势继续下去 , 那么一年以后 住在城镇人口所占比例是多少 ? 两年以后呢 ? 十年以后呢 ? 最终呢 ?解 设开始时 , 令乡村人口为 , 0y 城镇人口为 , 0z 一年以后有乡村人口, 10011000975100y z y =+ 城镇人口 , 100991000251

26、00z z y =+或写成矩阵形式9751009910001122=z y z y z y . 十年以后 , 有. 10099100000101010=z y z y事实上 , 它给出了一个差分方程 :k k Au u =+1. 我们现在来解这个差分方程 . 首先, 1009910002510011000975=A k 年之后的分布 (将 A 对角化 :. 7575727510- -=z y z y A z y k k k k 这就是我们所要的解 , 而且容易看出经过很长一个时期以后这个解会达到一个极 限状态. 7572 (00+=z y z y 总人口仍是 00z y +, 与开始时一样 ,

27、 但在此极限中人口的 75在城镇 , 而 72在乡村 . 无论初始分布是什么样 , 这总是成立的 . 值得注意这个稳定状态正是 A 的属于特征值 1的特征向量 . 上述 例子有一些很好的性质 :人口总数保持不变 , 而且乡村和城镇的人口数决不能为负 . 前一性质 反映在下面事实中 :矩阵每一列加起来为 1; 每个人都被计算在内 , 而没有人被重复或丢失 . 后 一性质则反映在下面事实中 :矩阵没有负元素 ; 同样地 0y 和 0z 也是非负的 , 从而 1y 和 21, y z 和2z 等等也是这样 .8 常染色体遗传模型为了揭示生命的奥秘 , 遗传学的研究已引起了人们的广泛兴趣 . 动植物在

28、产生 下一代的过程中 , 总是将自己的特征遗传给下一代 , 从而完成一种 “ 生命的延续 ” .在常染色体遗传中 , 后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因 , 形成自己的 基因对 . 人类眼睛颜色即是通过常染色体控制的 , 其特征遗传由两个基因 A 和 a 控制 . 基因对是 AA 和 Aa 的人 , 眼睛是棕色 , 基因对是 aa 的人 , 眼睛为蓝色 . 由于 AA 和 Aa 都表 示了同一外部特征 , 或认为基因 A 支配 a , 也可认为基因 a 对于基因 A 来说是隐性的 (或称 A 为显性基因 , a 为隐性基因 .下面我们选取一个常染色体遗传植物后代问题进行讨论 .某植物园中植

29、物的基因型为 AA , Aa , aa . 人们计划用 AA 型植物与每种基因型植物相数学模型 结合的方案培育植物后代.经过若干年后,这种植物后代的三种基因型分布将出现什么情形? 我们假设 an , bn , cn (n = 0,2,2,K 分别代表第 n 代植物中,基因型为 AA , Aa 和 aa 的植 物占植物总数的百分率,令 x (n = ( an , bn , cn ¢ 为第 n 代植物的基因分布, x ( 0 = ( a0 , b0 , c0 ¢ 表示植物基因型的初始分布,显然,我们有 a0 + b0 + c0 = 1. (8.1 先考虑第 n 代中的 AA 型

30、，第 n - 1代 AA 型与 AA 型相结合，后代全部是 AA 型；第 n - 1代的 Aa 型与和与 AA 相结合，后代是 AA 型的可能性为 相结合，后代不可能是 AA 型。因此，我们有 1 ； n - 1代的 aa 型与 AA 型 2 an = 1 · an -1 + 1 bn -1 + 0 · cn -1 . 2 （8.2） 同理,我们有 bn = 1 bn -1 + cn -1 , 2 cn = 0. （8.3） （8.4） 将(8.2,(8.3,(8.4式相加,得 an + bn + cn = an-1 + bn-1 + cn-1. （8.5） 将(8.5式递

31、推,并利用(8.1式,易得 an + bn + cn = 1. 我们利用矩阵表示(8.2,(8.3及(8.4式,即 x ( n = Mx ( n -1 , n = 1,2, L 其中 (8.6 é ê1 ê M = ê0 ê ê0 ê ë 这样,(8.6式递推得到 1 2 1 2 0 ù 0ú ú 1ú. ú 0ú ú û x ( n = Mx( n-1 = M 2 x ( n-1 = L = M n x ( 0 . (8.7式即为第 n 代基因分布与初始分布的关系.下面,我们计算 M n . 数学建模案例分析 16 (8.7 数学模型 对矩阵 M 做相似变换,我们可找到非奇异矩阵 P 和对角阵 D ,使 M = PDP -1 , 其中 é1 ê D = ê0 ê0 ë 0 1 2 0 0ù 1 ù é1 1 ú -1 ê0 -