《初等数学研究》课程教学大纲

1、初等数学研究课程教学大纲课程名称初等数学研究课程编码131510001课程类型（学院内）跨专业课程适用范围数学与应用数学学分数2.5先修课程数学分析、几何与代数学时数40其中实验学时其中实践学时考核方式考试制定单位数学与信息科学学院执笔者 审核者、一、教学大纲说明（一）课程的性质、地位、作用和任务本课程是数学与应用数学（教师教育）专业的一门重要专业选修课，是沟通高等数学与中小学数学的桥梁；对培养数学与应用数学（教师教育）专业学生的数学思维、教学研究能力有着重要的作用，使未来的中小学数学教师能够更好地掌握中小学数学教学内容以及更有效地进行教学；旨在用高等数学观点审视初等数学的内容体系、知识结构、

2、数学思想方法等。（二）课程教学的目的和要求本课程的教学目的是使学员掌握中小学数学教学所需的初等数学的基础理论、基本知识和基本技能；了解初等数学的内容和知识结构；在数学思想上得到启发，在数学方法上得到初步培训，为教好初等数学打下较坚实的基础。本课程分为初等代数和初等几何两部分，其基本要求是：掌握：数系扩展的理论、解析式分类及其恒等变形理论，用初等方法讨论函数、方程、数列（含算法）、不等式、概率与统计初步的基本概念及方法，利用初等几何变换解题、轨迹命题的证明方法、作图的基本知识和常用的方法，立体几何（含向量）、解析几何与初等数学应用/建模问题解决等解题方法。理解：代数延拓原理、方程的同解理论、解不

3、等式的概念和理论、合同变换、位似变换和相似变换等概念。了解：数系扩展的形式及其所遵循的原则，函数概念的发展与几种定义方式，中学几何的逻辑结构，微积分的初等化，信息技术与初等数学等。（三）课程教学方法与手段教学方法：本课程教学以教师讲授、学生讨论，结合学生自学为主。教学手段：结合教学内容的需要，部分课题采用计算机多媒体教学。（四）课程与其它课程的联系本课程涉及到部分高等数学知识，因而在开设本课程之前需为学生开设预备课程：数学分析、高等代数、解析几何。（五）教材与教学参考书教材：李长明，周焕山 初等数学研究，高等教育出版社，1995-06-01（2011年重印）教学参考书：1 葛军, 涂荣豹 初等

4、数学研究教程，江苏教育出版社，2009-7-12 王林全，林国泰初等代数研究教程，暨南大学出版社，2003-8-13 林国泰，王林全初等代数研究教程，暨南大学出版社，2003-8-14 程晓亮，刘影初等数学研究，北京大学出版社，2011-01-01二、课程的教学内容、重点和难点第1章 绪 论科学的数学（ 数学研究的对象、 科学数学的发展），初等数学研究的对象（ 初等数学的含义、初等数学问题及其解决），初等数学研究课程的学科特点（初等数学研究方法、研究课题）。第2章 数的理论内容：数的概念的扩展、自然数集基数理论、序数理论、整数环、有理数域、近似计算初步、实数域、无理数的引入、实数的概念及其大小

5、比较、实数的运算、实数集的性质、复数、复数的代数形式、复数的几何表示、复数的三角形式、复数的运算、复数集的性质。重点：自然数的基数理论及整数环的构造、有理数大小比较的法则、有理数的运算法则和有理数集的性质。难点：了解数系扩展的形式及其所遵循的原则；确切理解无理数、实数概念、掌握实数大小比较的法则、实数的运算和实数集的性质；确切理解复数概念，掌握复数的两种表示形式、复数的运算和复数集的性质。第3章 函数的理论内容：式的定义，式的恒等变换（解析式及其分类，多项式的恒等变换，多元多项式的因式分解，分式恒等变换，根式的转化，指数与对数，三角式与反三角式的等变换），函数的定义、分类、基本初等函数的公理化

6、定义、函数基本性质的讨论，微积分的初等化与函数。重点：确切理解多项式概念、掌握待定系数法和多项式的因式分解方法、根式的运算法则和变形，了解函数概念的发展与几种定义方式、掌握用初等方法讨论函数。难点：代数延拓原理，掌握基本初等函数的性质和图像，微积分的初等化与函数。第4章 方 程内容：方程的基本概念、方程的同解性；一元代数方程（特殊类型）的解法：方程的变换、一元三次方程的解法、倒数方程的解法、二项方程的解法、解含有参数的方程、二元一次不定方程；初等超越方程：指数方程、对数方程、三角方程、反三角方程；方程组的基本概念、方程组的同解性、方程组的解法（特殊类型方程组的解法举例）。重点：确切理解方程（组

7、）的基本概念、会解一些特殊类型的方程（组）。难点：掌握方程（组）的同解性。第5章 不等式内容：不等式及其基本性质；证明不等式的常用方法：分析法、综合法、比较法、反证法、传递法、数学归纳法、利用已知不等式；几个著名不等式；解不等式（组）：同解不等式、一元一次不等式（组）、一元二次不等式（组）、一元高次不等式、一元分式不等式、一元无理不等式、绝对值不等式、指数不等式 、对数不等式、三角不等式；不等式的应用。重点：掌握不等式的基本性质、掌握证明不等式的常用方法、熟悉几个著名的不等式。难点：确切理解解不等式的概念和理论、运用不等式求函数的最大（小）值。第6章 数列内容：基本数列，由基本数列得到的数列，

8、可化为基本数列的数列举例，数列的母函数，数学归纳法，算法及其在初等数学中的应用。重点：掌握基本数列的基本性质、掌握由基本数列得到的数列的常用方法，掌握数学归纳法。难点：由基本数列得到的数列，数列的母函数，算法及其在初等数学中的应用。第7章 概率与统计初步（含排列与组合）内容：加法原理与乘法原理、相异元素的不重复排列、相异元素的重复排列、相异元素的环状排列、不相异元素的全排列、相异元素的不重复组合、组合的性质、组合恒等式、相异元素的重复组合、组合公式在多项式定理中的应用， 随机事件与样本空间、概率的概念与计算、随机变量及其分布、统计初步。重点：掌握加法原理和乘法原理、掌握排列与组合的概念及公式推

9、导，概率的概念与计算、统计初步。难点：掌握几个组合恒等式及其在多项式定理中的应用、随机变量及其分布。第8章 几何解题思路内容：基本图形、基本性质和基本量（平面基本图形、空间基本图形、基本图形的问题解决）， 解决几何问题的基本方法（几何方法、代数方法、量方法、面积方法、解析方法），几何问题的解决（几何图形的存在性、几何轨迹、几何作图）。重点：熟悉常用的证题方法和技巧，几何量的计算，掌握轨迹的概念、命题与证明，掌握作图的基本知识和常用的方法。难点：解题思路探求，轨迹的探求，尺规作图与作图公法、作图成法。第9章 初等几何变换内容：合同变换及其间的关系、位似变换和相似变换、初等变换的应用（解题）。重点：能利用初等几何变换解题。难点：理解合同变换、位似变换和相似变换等概念。第10章 初等数学综合运用内容：初等数学应用/建模问题解决，信息技术与初等数学，初等数学研究的若干课题。重点：初等数学应用/建模问题解决。难点：初等数学研究的若干课题。三、学时分配教学内容各教学环节学时分配采用何种多媒体教学手段章节主要内容学时分配讲授实验讨论习题实践其它1绪 论22多媒体2数的理论431多媒体3函数的理论651多媒体4