DSP第一章(1)

1、数字信号处理的目的是对真实世界的连续模拟信号进行测量或滤波。 第一章第一章 学习内容学习内容 1. 离散时间信号离散时间信号-序列序列2.2.线性移不变系统线性移不变系统3.3.常系数线性差分方程常系数线性差分方程4.4.连续时间信号的抽样连续时间信号的抽样第一章第一章 学习目标学习目标 1. 掌握几种典型序列的定义掌握几种典型序列的定义, ,掌握序列的基掌握序列的基本运算，并会判断序列的周期性。本运算，并会判断序列的周期性。2.2.掌握线性掌握线性/ /移不变移不变/ /因果因果/ /稳定的离散时间稳定的离散时间系统的概念并会判断。系统的概念并会判断。3.3.理解常系数线性差分方程及其用迭代

2、法理解常系数线性差分方程及其用迭代法求解单位抽样响应。求解单位抽样响应。4.4.理解对连续时间信号的时域抽样，掌握理解对连续时间信号的时域抽样，掌握奈奎斯特抽样定理，了解抽样的恢复过程奈奎斯特抽样定理，了解抽样的恢复过程一、离散时间信号一、离散时间信号序列序列对模拟信号对模拟信号X Xa a(t)(t)进行等间隔采样，采样间隔为进行等间隔采样，采样间隔为T T，得到得到 (n)=( )(),(1.2.1)at nTaxx tx nTn 为简化，采样间隔可以不写，形成为简化，采样间隔可以不写，形成x(n)x(n)信号，信号，x(n)x(n)可以称为序列。可以称为序列。对于具体信号，对于具体信号，

3、x(n)x(n)也代表第也代表第n n个序列值。在数个序列值。在数值上等于信号的采样值。值上等于信号的采样值。x(n)x(n)只在只在n n为整数时才为整数时才有意义有意义序列的表示：函数：序列的表示：函数： 数列：数列： 图形图形( )=( )nx na u n( )=, 5, 3, 1,2,4,6,x n 1、序列的运算加法乘法累加绝对和能量平均功率移位翻褶时间尺度变换差分卷积和+左上左上: 某序列图像的第某序列图像的第100帧帧;下下:某序列图像的第某序列图像的第300帧帧;右上右上: 两幅图像相减显示的两幅图像相减显示的结果结果图像相减图像相减运动检测运动检测累加( )( )nky n

4、x k它表示它表示y(n)y(n)在某在某一个一个n no o上的值等于上的值等于这一个这一个n no o上的上的x(nx(no o) )值以及值以及n no o以前的所以前的所有有n n值上的值上的x(n)x(n)值值之和。之和。移位序列x(n)，当m0时x(n-m)：延时/右移m位x(n+m)：超前/左移m位翻褶 x(-n)是以n=0的纵轴为对称轴将序列x(n)加以翻褶时间尺度变换：可以改变抽样率 抽取（下抽样） 插值（上抽样）（零值插入） ()nxm( )( )()( )at nTat mnTx nx tx mnx t()x mn差分前向差分： 后向差分：( )(1)( )x nx nx

5、 n( )( )(1)x nx nx n( )(1)x nx n ( )(1)x nx n 卷积和设两序列x(n)、 h(n)，则其卷积和定义为：( )( ) ()( )( )my nx m h nmx nh nn ( )( )( )( )()x nx mh nh mhm1）翻褶：()()hmh nm2）移位：( )()x mh nmm 3）相乘：( ) ()mx m h nm4）相加： 卷积和与两序列的前后次序无关( )( )( )( ) ()my nx nh nx m h nm() ( )n kx nk h k nmkmnk令 则 ( ) ()( )( )kh k x nkh nx n例：

6、例：设设hn 与与 xn 分别如下图所示，求分别如下图所示，求 y nx nh n h nn321120 x nn31120解法：不进位乘法解法：不进位乘法解法：不进位乘法解法：不进位乘法1 1 1 1 3 2 11 1 1 12 2 2 23 3 3 33 5 6 6 3 1即： 3, 5, 6, 6, 3, 1y n h nn321120 x nn31120卷积和取值范围参考例1.2.（P12）卷积和序列的长度：1234( )NN , ( )NNx nnh nn的有值范围的有值范围1324y( )N +NN +Nnn卷积的存在范围y( )L=N+M-1n则的长度为21( )N=N -N +

7、1,x n 的长度卷积和范围：两序列起始点之和到 结束点之和43( )M=N -N +1h n 的长度x=1 2 0 -1 3 2; h=1 -1 1; ix=-2:3; ih=0:2; iy=-3:4;%长度为6+3-1=8 y=conv(x,h);%离散卷积 subplot(1,3,1); stem(ix,x,fill,r,LineWidth,2);xlabel(ix);ylabel(x);grid on subplot(1,3,2);%利用杆状图（STEM)画出x stem(ih,h,fill,g,LineWidth,2);xlabel(ih);ylabel(h);grid on sub

8、plot(1,3,3);%利用杆状图（STEM)画出h stem(iy,y,fill,b,LineWidth,2);xlabel(iy);ylabel(y);grid on %利用杆状图（STEM)画出y *1.1.5 几种常用典型序列1）单位抽样序列10( )00nnn2）单位阶跃序列10( )00nu nn( )( )(1)nu nu n0( )()( )(1)(2).mu nnmnnn( )nkk与单位抽样序列的关系3）矩形序列101( )0nNnNRn其它( )( )()NRnu nu nN10( )()( )(1).(1)NNmRnnmnnnN 与其他序列的关系 4）实指数序列 为实

9、数( )( )nx na u na5）复指数序列）复指数序列00()( )jnjnnx neee00cos()sin()nnenjen0为数字域频率根据欧拉公式：njsinwncoswe00njw06）正弦序列0( )sin()x nAn0( )( )sin()at nTx nx tAnT0( )sin()ax tAt 模拟正弦信号：T=00( )sin()= sin(2)ax tAtAf t模拟频率f：每秒经历多少个周期，单位Hz，即1/s；模拟角频率：每秒经历多少弧度，单位rad/s；数字频率w：每个采样点间隔之间的弧度，单位rad。2f T= 对连续信号中的正弦信号进行采样，可得正弦序列

10、。 t)sin(2f*sin(t)(t)xax(n)sin(n)sin(nT)(t)xnTtaT 数字频率与模拟角频率之间的关系为 ssfff 2说明：（1）数字域频率是模拟域频率对采样频率的归一化值 （2）模拟正弦中的角频率单位是rad/s， 而数字域频率单位是rad。或000f2sfsf2ss22sff=时，这一频率非常重要，在模拟信号的数字处理中，这一频率是模拟信号的最高频率分量，不满足这一要求就会产生混叠失真。2f T=ssfff21.1.6 序列的周期性若对所有n存在一个最小的正整数N，满足则称序列x(n)是周期性序列，周期为N。( )()x nx nNn 讨论一般正弦序列的周期性0

11、( )sin()x nAn0( )sinax tAt002T周期：例：判断正弦序列例：判断正弦序列f(n) = sin(w0n)是否为周期信号，若是，是否为周期信号，若是，确定其周期。确定其周期。w0称为正弦序列的数字角频率，单位：称为正弦序列的数字角频率，单位：rad。解：解： f (n) = sin(w0n) = sin(w0n + 2m)000wnw nw2 2s si in nm ms si in n ( (m mN N) ) 当当2/ w0为整数时，正弦序列具有周期为整数时，正弦序列具有周期N = 2/ w0 。当当2/ w0为有理数时，为有理数时， (2/ w0)= N/M，正弦序

12、列仍为具有周期，正弦序列仍为具有周期 性，其周期为性，其周期为N，M取使取使N为整数的最小整数。为整数的最小整数。当当2/ w0 为无理数时，正弦序列为非周期序列。为无理数时，正弦序列为非周期序列。对于一般正弦序列的周期性，需要分情况讨论1）当 为整数时2）当 为有理数时3）当 为无理数时02020202sin()8448nN0如， ， 该序列是周期为 的周期序列00221( )kx n1）当为整数时，取，即是周期为的周期序列04425sin()5525n0如， ， ， 该序列是周期为 的周期序列0022( )PPQQkQNPx nP2）当为有理数时，表示成， ， 为互为素数的整数取，则，即是

13、周期为 的周期序列02( )kNx n3）当为无理数时，取任何整数 都不能使 为正整数，不是周期序列0112sin()844n0如， ， 该序列不是周期序列上节课回顾2f Tw=2ssfff1sTff 模拟频率模拟角频率 数字频率w对于一般正弦序列的周期性，需要分情况讨论1）当 为整数时，周期为N2）当 为有理数时，周期为N3）当 为无理数时,正弦序列为非周期信号0202N02NM上节课回顾0( )sin()x nAn讨论：若一个正弦序列是由连续信号抽样得到，则抽样时间间隔T和连续正弦信号的周期T0之间应是什么关系才能使所得到的抽样序列仍然是周期序列？ 讨论：若一个正弦序列是由连续信号抽样得到

14、，则抽样时间间隔T和连续正弦信号的周期T0之间应是什么关系才能使所得到的抽样序列仍然是周期序列？ 0( )sin()x tAt00( )( )sin()sin()t nTx nx tAnTAn0000021/2 /fTf 00T 设连续正弦信号：抽样序列：为整数或有理数时，x(n)为周期序列002TT02f T02TT令：0NTkT0TNTk3( )sin(2)14x nn032140143 ( )14TTx n当时，为周期为的周期序列例：N，k为互为素数的正整数即N个抽样间隔应等于k个连续正弦信号周期002143TNTk1.1.7 用单位抽样序列表示任意序列x(n)可以表示成单位取样序列的移

15、位加权和，也可表示成与单位取样序列的卷积和。( )( )( )( ) ()mx nx nnx mnm( )2 (1)( )x nnn1.5 (1)(2)nn0.5 (3)n例：1.2 线性移不变系统线性线性移不变移不变因果性因果性稳定性稳定性汽车的传动系统汽车的传动系统1.2 线性移不变系统一个离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。离散时间系统T x(n)y(n)( ) ( )y nT x n T 记为：1.2.1 离散时间线性系统若系统满足叠加原理：同时满足：可加性：比例性/齐次性：其中：则此系统为线性系统。1 1221122( )( )( )( )T a x na x na y

16、 na y n1212 ( )( )( )( )T x nx ny ny n11( )( )T ax nay n12,a a a为常数11( ) ( )y nT x n22( )( )y nT x n T 若系统为线性系统，则必定有零输入产生零输出。( )4 ( )6y nx n上述系统是一个线性方程，但它不是线性系统，不满足齐次性增量线性系统： 1.2.2 离散时间移不变系统若系统响应与激励加于系统的时刻无关，则称为移不变系统（或时不变系统） ( )( )T x ny n ()()T x nmy nm对移不变系统，若m为任意整数则现实中很多系统都是移不变系统，比如台秤，体温计2 ()()si

17、n()97T x nmx nmn解：2()()sin()97y nmx nmnm ()T x nm该系统不是移不变系统例：试判断2( )( )sin()97y nx nn是否是移不变系统结论：系统有一个移变的增益，则系统一定是一个移变系统 1.2.3 离散时间线性移不变系统同时具有线性和移不变性的离散时间系统称为线性移不变系统LSI：Linear Shift Invariant LSI系统线性移不变系统可以用它的单位抽样响应来表征：知道h(n)后，就可以得到此系统对任意输入的输出：( ) ( )h nTnd=( )( )( )y nx nh n=*单位抽样响应(,x n设系统输入序列） 输出序

18、列y(n)( )( ) ()mx nx mnm( )( ) ()my nTx mnm( ) ()mx m Tnm满足比例性和可加性x m h n mm=-=( ) ( - )满足移不变性( )( )( )y nx nh n=*( ) ( )h nTnd=LSI系统的性质1、交换律( )( )* ( )( )* ( )y nx nh nh nx nh(n)x(n)y(n)x(n)h(n)y(n)2、结合律1212( )*( )*( ) ( )*( )*( )x nh nh nx nh nh n12( )* ( )*( )x nh nh n21 ( )*( )*( )x nh nh nh1(n)h

19、2(n)x(n)y(n)h2(n)h1(n)x(n)y(n)h1(n)*h2(n)x(n)y(n)3、分配律1212( )* ( )( )( )*( )( )*( )x nh nh nx nh nx nh nh1(n)+h2(n)x(n)y(n)x(n)y(n)1( )h n2( )h n1.2.4 因果系统1. 定义：若系统 n0时刻的输出，只取决于n0时刻以及n0时刻以前的输入序列，而与n0时刻以后的输入无关，则称该系统为因果系统。( )00h nn2. LSI系统是因果系统的充要条件：因果序列：x(n)0,n0h (t)ottdCtdc1|H(j)| ()0 0C C- -C C理想低通滤波器1.2.5 稳定系统稳定系统是有界输入产生有界输出的系统若( )x nM ( )nh nP LSI系统是稳定系统的充要条件：( )y nP 则即