一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练

1、一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练对于一元二次方程"一必+,当判别式4=/-4片。之0时，_ 一与士 护 _ 4a.其求根公式为：2位；若两根为石、工"当。时，则两根的关hc工+工口 = X见J =系为：,根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆h0 + j= _ _ K /二一定理也是成立的，即当12 R, I时，那么修、丐则是戊1,= WhO）的两根。一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应 用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。学习中， 老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程麻'+奴

2、41=0（也会°）根的判别式4二 -4"存在的三种情况，以 及应用求根公式求出方程+限+” 0g n。）的两个根公和蚂，进而分解因式， 即曰/ +入+心-所）好切0下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做 些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。例1:已知关于牙的方程（1） 一（1 一 2"）工+ M-3=°有两个不相等的实数 根，且关于*的方程（2）-2工+21=0没有实数根，问求取什么整数时， 方程（1）有整数解？分析：在同时满足方程（1） , （2）条件的笈的取值范围中筛选符合条件的 口的整数值。解：二.方程（1

3、）有两个不相等的实数根，,3513a <解得 4 ；方程（2）没有实数根，.二一 ：！ 一 一 .解得:丁 ； 1、131父a于是，同时满足方程（1） , （2）条件的事的取值范围是4其中，厘的整数值有q=2或* 二 3当厘=2时，方程（1）为/ +外十1 =。，无整数根；当 =3时，方程（1）为xFH ,有整数根。解得：1所以，使方程（1）有整数根的值的整数值是厘=3 0说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定值的 取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出值二3,这也正是解答本题的基本技巧。二、判别一元二次方程两根的符号。例1:不解方程

4、，判别方程2/十3工-7=0两根的符号。分析：对于"-+由工+8=og = o)来说，往往二次项系数，一次项系数，常 数项皆为已知，可据此求出根的判别式,但只能用于判定根的存在与否， 若 判定根的正负，则需要确定.盯或瓦十修的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定 修./ 或公+石的正负情况。解：= 2一+3才一7= 0 , .二3二一4X 2X( 7)=65>0.方程有两个不相等的实数根。设方程的两个根为工巧,7勺一巧二) : 一原方程有两个异号的实数根。说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合 起来进行确定，另外由于本题中 公三

5、<0,所以可判定方程的根为一正一负；倘若演/>0,仍需考虑公+的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。例2:已知方程-舐+叫'-2阳+ 5 =。的一个根为2,求另一个根及牌的 值。分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把左;2代入原方程， 先求出端的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与 系数的关系求出另一个根及 雁的值。解法一：把入=2代入原方程，得：2 6乂2+ 限 一2甥 + 5 = 0即y 二；二-解得、,二一当=3,啊=-1时，原方程均可化为：一一61+8 = 0 )解

6、得：'-' 二.方程/6x + w? - 2燃十5二0的另一个根为4,港的值为3或一1解法二：设方程的另一个根为工，根据题意，利用韦达定理得：-h=-( -6) = 6 与，七二"- 2烟 +5 - - ,-一玉=2, .把玉=2代入占十马二Y - 6)= 6 ,可得：勺二d.把覆=4代入用.勺二加“-2涉+5,可得：力-痴+5= 8即33 :解得力一.一 一,方程/ 6工+沼口 2幽+ 5= 0的另一个根为4,腿的值为3或一1。说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。例3:已知方程/+2（腐-2犷+鹿2+4上°有两个实数根，且两个根的平方

7、和比两根的积大21,求哂的值。分析：本题若利用转化的思想，将等量关系“两个根的平方和比两根的积大 21”转化为关于脸的方程，即可求得 相的值。解：:方程有两个实数根，解这个不等式，得咻0 0设方程两根为则工1 +均=-2（掰-2）,巧-二冽4二一二一 -一I-：,1整理得：:- -.解得：1' ' 一幽二1说明：当求出叼= 17,%=-1后，还需注意隐含条件0 ,应舍去不合题 意的阳二17。四、运用判别式及根与系数的关系解题。例5:已知/、叼是关于彳的一元二次方程41+4（胭-1）工斗加二口的两个非 零实数根，问丐和勺能否同号？若能同号，请求出相应的 脸的取值范围；若不 能同号

8、，请说明理由。解：因为关于牙的一元二次方程U产+气刑-1” +朋,=0有两个非零实数根，则有.1匚一J9S 二又.巧、叼是方程4,附7"/1 = 0的两个实数根，所以由一元二次 方程根与系数的关系，可得：工I + q = （m -1）,玉-勺二假设王、丁同号,则有两种可能：（1）公0 ,七0，0 ,勺9°X1+ x2 0若修 。.M ,则有：1勺0 ；一 (* -1) < 0> 0即有：4解这个不等式组，得-W2 .£2时方程才有实树根，此种情况不成立。了 + 丐 > 0若/ >0,勺：,0 , 则有：口电下0一（明 -1） > 0W

9、32 > 0即有：14解这个不等式组，得淀Ml ;又:2 , 当2时，两根能同号说明：一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的内在联系，是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具， 也是计算有关一 元二次方程根的计算问题的重要工具。 知识的运用方法灵活多样，是设计考察创 新能力试题的良好载体，在中考中与此有联系的试题出现频率很高， 应是同学们 重点练习的内容。六、运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题。例：已知借、尸是方程1+2万-5=0的两个实数根，求朋-2值的值。分析：本题可充分运用根的意义和根与系数的关系解题，应摒弃常规的求根 后，再带入的方法，力求简解

10、。解法一：由于/是方程/+2工-5二0的实数根，所以田+2加5 = 0设"+加42»劭，+加+20：与户-5相加，得：“二3+四斗冽一（戌+2户7）=（白？ +声）+ 2侬+初4期一 j=9+02+23+切_型"_5（变形目的是构造a+户和段户）根据根与系数的关系，有：d + 尸=-2 ,0? = -5于是，得：.=44+55=0片-干-K=0解法二：由于叮、点是方程-十2x-5 = 0的实数根. ：一, ：1;一说明：既要熟悉问题的常规解法，也要随时想到特殊的简捷解法，是解 题能力提高的重要标志，是努力的方向有关一元二次方程根的计算问题，当根是无理数时，运算将十

11、分繁琐，这时, 如果方程的系数是有理数，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简 的作用。这类问题在解法上灵活多变，式子的变形具有创造性，重在考查能力， 多年来一直受到命题老师的青睐。七、运用一元二次方程根的意义及判别式解题。例8:已知两方程小 加工 + 5+胆=。和炉-（7加+ 1”-斗1乡泗+'7二0至少有一 个相同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。分析：当设两方程的相同根为 热时，根据根的意义，可以构成关于 热和喇的 二元方程组，得解后再由根与系数的关系求值。解：设两方程的相同根为段，根据根的意义，有 二I 二,，.二cP -（7 掰 +1）a +1 3第+了 =

12、o两式相减，得二”1酬二一一当6沈- 1=0时，6,方程的判别式A =（一刘"-4伽 + 5）=（一工y _4（-1 + 5） = - <0663& 3方程无实数解当则+1 = 0时，有实数解 加十1 一代入原方程，得2厂所区2 + 5十的二0 ,所以；：.于是，两方程至少有一个相同的实数根，4个实数根的 相乘积为(5 + 用)0 3阳 + 7) = 14 x 124 = 1736说明：（1）本题的易错点为忽略对6泓+ 1=0的讨论和判别式的作用，常常除了犯有默认 前+ 1wQ的错误，甚至还会得出并不存在的解：1阀二一一当品+1=0时， 6 ,两方程相同，方程的另一根也

13、相同，所以 4个根3 、29 > 841附 + 5) =- -I- 5)3 =() =的相乘积为:6' 636 （2）既然本题是讨论一元二次方程的实根问题，就应首先确定方程有实根 的条件： i =（-用-4（澳+月一一 4附一 20之0且-：一另外还应注意：求得的酒的值必须满足这两个不等式才有意义【趁热打铁】一、填空题：1、如果关于或的方程解十6工十k二°的两根之差为2,那么2、已知关于工的一元二次方程（八一1）/一（"41"*1 = 口两根互为倒数，则1131-=3、已知关于黑的方程彳阳工+ 2(设-1)=0的两根为其1、%，且叫 4 , 则濡;。

14、4、已知百、丸是方程2/-7x-4=0的两个根，那么： b 2瓦f二 ,5+1)5+1”. kfl =05、已知关于或的一元二次方程胆解-4x-6=0的两根为药和巧,且工 1 + 4二2,则却=； (1+/)*=/二 06、如果关于x的一元二次方程/+收茏+厘=口的一个根是1-尤，那么另一 个根是,1的值为。7、已知2 +也是14工+上=0的一根，则另一根为 ，加的值 为。8、一个一元二次方程的两个根是2 + &和2-&,那么这个一元二次方程 为:。二、求值题：1、已知巧、巧是方程2一交一i = o的两个根，利用根与系数的关系，求 工E +印广的值。2、已知工三是方程3/-2t

15、-1 = Q的两个根，利用根与系数的关系，求(工.堞了的值。3、已知巧、巧是方程2/十玄一 4二0的两个根，利用根与系数的关系，求 。短引的值。4、已知两数的和等于6,这两数的积是4,求这两数。5、已知关于x的方程2/-O-1）工+冲41三0的两根满足关系式-4二1， 求端的值及方程的两个根。6、已知方程/ +超+4 = 0和-（第一2）1-16 = 0有一个相同的根，求阳的 值及这个相同的根。三、能力提升题：1、实数止在什么范围取值时，方程 反i-2E+Ct-D = °有正的实数根？加 1x2 -¥（m 2）x- -3 = 02、已知关于或的一元二次方程2（1）求证：无论跳取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。（2）若这个方程的两个实数根不、/满足2$ +勺=洸+ 1 ,求刈的值,