(完整版)数列知识点总结

1、数列知识点总结111.等差数列的定义与性质定义：an 1 an d(d 为常数)，an a1n 1 d等差中项：x, A, y成等差数列2Axya1 an nn n 1刖n项和Sn na1 d22性质：an是等差数列(1)若 m n p q,则 am an ap aq；(2)数列a2n 1 ,a2n,a2n1仍为等差数列，Sn,S2nSn,GnS2n仍为等差数列，公差为n2d ；(3)若三个成等差数列，可设为a d, a, a d(4)若an, bn是等差数列，且前n项和分别为Sn, Tn,则圆 绢bm T2m 1(5) an为等差数列Sn an2 bn (a, b为常数，是关于n的常数项为0

2、的二次函数)。Sn的最值可求二次函数Sn an2 bn的最值；或者求出an中的正、负分界项，(即:an0当a10, d 0,解不等式组可得Sn达到最大值时的n值;当a10, d 0,由an 10anan 1,可得Sn达到最小值时的n值.)(6)项数为偶数2n的等差数列anS2n n(a1a2n)n(a2 a2n 1)n(an an 1)(an,an 1 为中间两项)anan 1(7)项数为奇数2n 1的等差数列anS2n1(2n 1)an(an 为中间项),S奇S偶an' t/2.等比数列的定义与性质定义：叱anq(q为常数，q 0), ann 1aq等比中项:X、G、y成等比数列G2

3、xy ,或 GXy前n项和:Snna1(q 1)a1 1 qn(q 1)1 q性质：a是等比数列若m np q ,贝am an ap- aq Sn, S2nSn, S3nS2n仍为等比数列，公比为qn.3.求数列通项公式的常用方法由 Sn 求 an。（anSn Sn 1,nSi,n例1:数列an12 a112ya22n5,求 an解n 1时,n 2时,12 a11a1212 a11 5,一 ai141-2a222122 a212n 12n 1 1an 12n2n一得：Jan 2 , an 2n 1 , an练习数列5.an ?两足 SnSn 1 an 1, a1 4 ,3注意到an14(n 1

4、)2n 1(n 2)求an S .1 S 1Sn ,代入上式整理得 S4 ,Sn又S 4,Sn是等比数列,故 Sn4n0n 2 时，an Sn Sn134n 1故an3 4n1,n 24,n 1由递推公式求an累加法（an 1anf（n）形式）例2：数列an中,ai1,n 1an3an 1，求ananan解：n 2时anan 23n 13n2累加得anai3 323n 13(3n 1 1)2a21 /onan (32a131)累乘法（包 a nf （n）形式）例3:数列an中,ai3,配an，求an解:a? a3aa2anan 1.ana1一 an（3）构造新数列（构造的新数列必为等比数列或等

5、差数列取倒构造（an 1等于关于端的分式表达）例 4: a11, an2an an2，求an解：由已知得:1an 1an22an1 12 an1an 11an.-为等差数列, an1a1、，11 ,公差为121an12同除构造例 5: a11, an 13an3n，求an。解：对上式两边同除以3n 1,得an3n 1an3n;,则学为等差数列,a公差为1, 3例6:a11, an 1 2an 3 ，求 an。对上式两边同除以2n 1 ,得an 1厂令bnbn 1 bn,累加法可得bn b1（i）21(3)n12-233(1)n4 2又b1bn4(2)5,即学冲2n例7:a11, an an 1

6、2an an 10,求 an解:对上式两边同除以anan/日1得an 11an0,即工an2,则为等差数列,1 1,公差为2, .a11an1 2(n1)2nan 11o2n 11anan11nFo(n 1)o工，.an3n333取对构造（涉及an的平方）例 8: a 3® 1 3a2,求an.解：对上式两边取对数,得lg an 1lg 3a：,由对数运算性质得lgan 12 lg alg3两边同时加 lg3,整理得 lgan 1 lg3 2(lgan lg 3),W lg 3an 1 2lgan,则 lg 3an 为 公比为2的等比数列，由此推知an通项公式。等比型（常用待定系数）

7、例 9: a11, an 1 3an 2,求an。解：待定系数法设上式可化为如下形式：an 1 k 3（an k）,整理可知2k 2,则k 1, 原式可化为an 1 13a 1）,则an1为公比二3的等比数列，由此推知an通项公式。例 10： a12, an 1 4an 3n 1 ,求 an。解：待定系数法设上式可化为如下形式：an 1 k(n 1) b 4(an一,3k 3_ .可知，得k 1,b 0 , 原式可化为an 1 (n 1) 403b k 1kn b),整理an n为公比=4的等比数列，由此推知a。通项公式。例11:a1 1,anan 1 2an,求 an。解：上式变形为an1a

8、n an an 1 ,等号左边提公因式得anan 11anan1 1a-,两边取倒数得一 anan 1 1an1,an 1 an 111an 11,1an 1为公差为1的等差数列，由此推知an通项公式。例12:a12, a2 3,2an 1 3anan 1(当 n 2), 求 an解：上式变形为2an 12an an an 1,2 an 1 ananan 1 ,令 bnan 11，、一、， ，1 ,一，bn/1, bn为首项b1 1,公比为泮等比数列，bnan1n12提公因式由累加法可求得an通项公式。4 .求数列前n项和的常用方法(1)分组求和(分组后用公式)1 例13:求和1-2解：原式二

9、1 12O1 O12- 3-n(n21)4141罚381n/、/11n)(二2 47)12nn(n 1)2(2)裂项相消(把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项n(n 1) n n-；1(1 ')；厂 11 n(n 2)2 n n 2. n 、n 1Jn 。（3）错位相减（通项可表示为等差乘等比的形式）例 14: Sn 1 2x3x234xn 1 nx求Sn解：Sn 1 2X3x234xn 1 nx一1x 1 时，Sn2x24x4nnxnnxnx2xn nx1 x1时,Sn1练习求数列 +的前n项和Sn。（答案：Sn2 <2）（4）倒序相加（前后项之和为定值。把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.)SnSna1 a2anan 1an 1an 一相加 2&a1 ana24 1a2 a1aan5 .求数列绝对值的前n项和（根据项的正负，分类讨论）例15:已知数列an的通项an 11 2n , bn解：设数列an