等腰三角形三线合一典型题型

1、等 腰 三 角 形 三 线 合 一专 题训练姓名例1:如图，四边形 ABC砰,AB/ DG BE CE分别平分/ ABG / BCD且点E在 AD上。求证：BC=AB+DC变 1:如图，AB/ CD /A= 90° , AB= 2, BO 3, C4 1, E是 AD边中点。求证：CEL BE变2:如图，四边形 ABC冲，AD/ BC E是CD上一点，且 AE BE分别平分/ BAD /ABCDML DBDC(1)求证：AE1 BE (2)求证：E是CD勺中点；(3)求证：A9BGABAC于M N,求证：(1) D阵DN等腰直角三角形，/ BAC=90,AB=AC.若D为BC的中点，

2、过D作DMNAC延长线交于M N。问DMf口 DN有何数量关系。(1)已知：如图，AB=AC E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且 BE=CF EF交BC于点D.求证：DE=DFA(2)已知：如图，AB=AC E为AB上一点，F是AC延长线上一点,D,且D为EF的中点. 求证：BE=CF且，EF交BC于点利用面积法证明线段之间的和差关系1、如图，在 ABC中，AB=AC P为底边BC上的一点，PD±AB于D, PE±AC于E,?CF± AB于F,那么PD+P冉 CF相等吗？变1:若P点在直线BC上运动，其他条件不变，则 PD PE与CF的关系又怎样，请 你作图

3、，证明。A1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9,则它的周长为（）A17B22C1减 22D13根据等腰三角形的性质寻求规律11例 1.在 ABC中，AB=AC / 1 = 1 / ABC Z 2= 1 /ACB BD与 CE相交于点 O,如图，/ BOC的大小与/ A的大小有什么关系？若/ 1 = 1/ABC / 2=1/ACB则/ BOCW/A大小关系如何？若/ 1 = 1/ABC /2=1/ACB 贝U/BOCf/A大小关系如何？会用等腰三角形的判定和性质计算与证明例2.如图，等腰三角形ABC中,AB=AC 一腰上的中线BD?等这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底

4、边长.利用等腰三角形的性质证线段相等例3.如图，P是等边三角形 ABC内的一点，连结PA PB PC,?以BP为边作/ PBQ=60 ,且BQ=BP连结CQ(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论.(2)若PA PB: PC=3 4: 5,连结PQ试判断 PQC勺形状，并说明理由.例1、等腰三角形底边长为 5cm,腰上的中线把三角形周长分为差是3cm的两部分,则腰长为()A、2cmB 8cmC 2cm或 8cmD 不能确定例2、已知AD为4ABC的高，AB=AC 4ABC周长为20cm, 4ADC的周长为14cm,求AD的长。例3、如图，已知OE/ AB, OF/ AC,BC=

5、3 /ABCffl /ACB的平分线相交于点 Q 求 OEF的周长。例4、如图，已知等边 ABC中，D为AC上中点, 长BC至ij E,使CE=CD连接DE，试说明DB=DE例5、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为 个三角形是()则这A、锐角三角形B、钝角三角形C、等边三角形D、等腰直角三角形 例6、（1）等腰三角形的腰长为10,底边上的高为6,则底边的长为。（2）直角三角形的周长为12cm,斜边白长为5cm,则其面积为；（3）若直角三角形三边为 1, 2, c,则c=。例7、下列说法：若在 ABC中a2+b2乎c2,则4AB杯是直角三角形；若 ABC是直角三角形，/ C=9d,则a2+b2=

6、c2;若在 ABC中,a2+b2=c2,则/ C=9d;若两直角边的平方和等于斜边的平方，可以判定这个三角形是直角三角形。正确的有（把你认为正确的序号填在横线上）。例8、正三角形ABC所在平面内有一点 P,使彳# PAB APBCC PCAtB是等腰三角 形，则这样的P点有（）（A） 1 个（B） 4 个（C） 7 个（D） 10 个例 9.四边形 ABC碑,AB=BC, / AB（=/CDA90° , BH ADT点 E,且四边形 ABCD的面积为8,则BE=（）AP=4,A. 2B. 3 C. 2.2 D. 2.3例10.已知 ABC为正三角形，P为其内一点，且BP=2打，CP=

7、2贝U4ABC的边长为（）(A) 2而(B) 2<7 (Q 4 (D) 4V2三.巩固练习1、已知等腰三角形的一边等于 5,另一边等于9,求它的周长。2、在 ABC中，AB=AC / B=4C0,则/ A=。3、等腰三角形的一个内角是 700,则它的顶角为。4、有一个内角为40°的等腰三角形的另外两个内角的度数为.140°呢5、如图，在 RtAABC, / C= 105°,直线 BD交 AC于 D,/C把直角三角形沿着直线 BD翻折，点C恰好落在斜边AB上，D、T如果4AB虚等腰三角形，那么/ A等于（）,（A）40 o（B）30 o（C）25 o（D） 1

8、5°BA6、若 ABC三边分别为 a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,则 ABC的形状为（）（A）等腰三角形（B）直角三角形（C）等腰直角三角形（D）等边三角形7、判定两个等腰三角形全等的条件可以是（）A、有一腰和一角对应相等B、有两边对应相等C、有顶角和一个底角对应相等D、有两角对应相等8、等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（）A、顶角B、底角C顶角白一半D、底角的一半9、在等腰三角形 ABC中，/ A与/ B度数之比为5 ： 2,则/ A的度数是（）A、100° B、75° C 150° D、75° 或 100

9、 10、如图，P、Q是4ABC边 BC上的两点，且 QC= AP= AQ= BP= PQ 则/ BAC=（）A、1250B、1300C、90°D 120011、如图， ABC中，AB= AC, BD CE为中线，图中共有等腰三角形（）个13、如图是一个等边三角形木框，甲虫 P在边框AC上（端点A、 A C除外），设A甲虫P到另外两边距离之和为d,等边三角形ABC的高为h,则d与h的大小关系是（）【解题方法指导】 例1.已知，如图，AB= AO CD求证：/ B= 2/D例2.已知，如图， ABC是等边三角形，AD/BC, AD±BD, BO6,求AD的长【考点指要】等腰三角

10、形、等边三角形及含30 °角的直角三角形是应用非常广泛的图形，因此，在中考试题中经常以证明题或计算题频频出现，而且经常把它们结合在一道题中加以应用，虽然题目的难度不是很大，但也要善于分析，找出图形中有关的性质。【典型例题分析】例 1. （ 2005 年苏州）如图，等腰三角形 ABC的顶角为120° ,腰长为10,则底边上的高A4。例2.已知，如图， ABC中，/ C= 90° , AB的垂直平分线交 AB于E,交AC于D, A况8, /A= 30° ,求 CD的长。例3.已知，如图， ABC是等边三角形，E是AB上一点，D是AC上一点，且AE= CD,又

11、BD与CE交于点F,试求/ BFE的度数。【综合测试】1 .已知，如图，AB= AG /ABD= /ACD 求证：DB= DC2 .已知，如图，D E是BC上两点，AB= AC, AD= AE,求证：BD= CE3 .已知，如图， ABC中，DE/BC, AB= AC,求证：AAAE4 .已知，如图， ABC中,AB= AC, D是AB上一点，E是AC延长线上一点，DE交BC于 F,又 BD= CE,求证：DF= EF5 .已知，如图，D是BC上一点， ABC BDEB是等边三角形，求证： AD= CE6 .已知，如图， ABC中，/ B= 90° , AC的垂直平分线交 AC于D,

12、交BC于E,又 Z O 15° , EO 10,求 AB的长。例6、如图11,在4ABC中，/ A= 90° , AB= AC，D为BC边中点，E、F分别在 AB AC上，且 DEL DF,求证：AE+ AF是一个定值.证明：连接AD,V AB= AC, D为 BC中点，ADL BC. /BAC= 90° , AB= AC,. / B= / C= 45° ,/BA445° , / CA氏45° ,. AD= BD= CD. /EDF= 90° ,./ EDA / ADF= 90° ,又由 AD, BC得/ BD曰

13、/ADE= 90° , . / BDE= / ADF在ABDE和AADF中，/ B= / DAF BD= AD, / BDE= /ADF BDEAADFBE= AF,. AE+ AF= AE+ BE= AB （定值）.思考：四边形 AEDFB勺面积是否也是定值呢？为什么？例4、如图9,已知AD为4ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F,且有BF= AC， FD= CD你认为BE与AC之间有怎样的位置关系你能证明它吗？证明：线段BE!AC,理由如下：V ADL BC,二/AD& /ADC= 90/ FBA / BFD= 90° ,在 RtBDF和 RtADC, B

14、F= AC, FD= CR RtABDF RtAADC丁./BFA / C,，/FBA / C= 90° , ./BEC= 180° (/ FBA /C) =180° -90° =90° ,即 BE! AC.例5、如图10,在 ABC中，/ AC氏90°2_22AM BM 2CM .AO BC, M是AB上一点，求证:证明：过C作CDLAB于点D,/AC+ 90° , AO BC, CDL AB,，/A= / B= 45° , /AC氏 / BC氏 45°/ A= / ACD / B= / BCD，AA

15、BD, BD= CQ 即 AA BA CDCDLAB,DM 2 CD2 CM 2 ,.22_ 2 2AM BM (AD DM ) (BD DM )22( DM2、2CD ) 2CM .思考：请同学们试试用另外的方法来证明本题例 1、如图 5,在 ABC中，AB= AG 点 O在4ABC内，OB= OG 求证：ACLBC.证明：延长AO交BC于点D,V AB= AC, OB= OC OA OA . . ABB AAC(O丁. / BAO= / CAO 即 / BAA / CAD.ADL BC,即 AOL BC.例2、如图6,在等边 ABC中，D、E分别在边BG BA的延长线上，且 AE= BD,

16、求 证：CE= DE.证明：过E作EFLCD于点F,ABC是等边三角形，./ B= 60° ,./ BEF= 30° ,，BE= 2BF,即 BA AE= BO BD= 2BO CA 2 (BO CF), C氏 2CF,CF= DF,在ACEF和 DEF中，CF= DF, / CFE= / DFE= 90° , EF= EF,.CEF DEFCE= DE.例3、如图7,已知在 ABC中，AB= AC, P为底边BC上任意一点，PD±AB于点D,图7PE±AC于点E,求证：PD+ PE是一个定值.解：连接AP,过点C作CF± AB于点F

17、,11由 S ABC AB CF , S PAB AB PD , 22S PAB S PAC ,11仆S PAC-ACPE-ABPE ,SABC2211得：一AB CF AB PD1 AB PE2即，PD PE CF （定值）.说明：本例的结论可用文字语言叙述为:等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高.拓展：如果点P不是在边BC上，而是在BC的延长线上，其它条件保持不变，那么PD与PE之间又有怎样的关系呢?解：连接AP,过点C作CF，AB于点F,（如图由 S ABC2 AB c1CF , S PAB AB PD2S PAC2AC1 PE AB2PE ，S ABCS PAB1得：一AB

18、 CF21-AB PD 21AB 2即，PD PE CF （定值）即，当点P在BC延长线上时,PD与PE之差为一定值.基础训练：1、填空题:（1）等腰三角形中，如果底边长为6, 一腰长为8,那么周长是(2)如果等腰三角形有一边长是 6,另一边长是8,那么它的周长是；如果等腰三角形的两边长分别是4、8,那么它的周长是。(3)等腰三角形的对称轴最多有条。2、填空题：(1)如果 ABC是等腰三角形，那么它的边长(或周长)可以是()A 三条边长分别是 5, 5, 11B、三条边长分别是 4, 4, 812C、周长为14,其中两边长分别是4, 5D、周长为24,其中两边长分别是6,(2)等腰三角形一边长

19、为 2,周长为5,那么它的腰长为()A、3B、2C、1.5D、2 或 1.53、已知等腰三角形的腰长是底边的3倍，周长为35cm,求等腰三角形各边的长。4、已知：如图，AD平分/ BAC AB=AC请你说明 DB混等腰三角形。5、已知等腰三角形的底边和一腰长是方程组的解， x+2y=4求这个三角形的各边长。(1)等腰三角形的顶角平分线、互相重合。(2)等腰三角形有一个角是120。，那么其他两个角的度数是和(3) ABC中，/ A=/ B=2/ C,那么/ C=o(4)在等腰三角形中，设底角为 x ,顶角为v； 则用含x的代数式表示V,得 y=;用含y的代数式表示x,得x=。2、选择题：(1)等腰三角形的一个外角为 140° ,那么底角等于()A 40° B、100° C 70° D 40° 或 70°(2)等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于()A、顶角B、底角C顶角白一半D、底