立体几何的解题技巧

1、立体几何大题的解题技巧综合提升【命题分析】高考中立体几何命题特点：1 .线面位置关系突出平行和垂直，将侧重于垂直关系2 .空间“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现3 .多面体及简单多面体的概念、性质多在选择题，填空题出现4 .有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题，特别是与球有关的问题将是高考命题的热点.此类题目分值一般在 17-22分之间，题型一般为 1个选择题，1个填空题，1个解答题.【考点分析】掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面

2、间的距离的概念【高考考查白重难点*状元总结】空间距离和角：“六个距离”：1 两点间距离d &x X2)2 (y1 y2)2 (4 Z2)2PQ*u2点P到线1的距离d （Q是直线1上任意一点,uu为过点P的直线1法向量）PQ*u3两异面直线的距离 d uPQ*u4点P到平面的距离 d u（P、Q分别是两直线上任意两点 u为两直线公共法向量）（Q是平面上任意一点，u为平面法向量）5直线与平面的距离【同上】6平行平面间的距离【同上】“三个角度”：1异面直线角10, C cosV1V2v1 v2【辨】直线倾斜角范围10,2线面角0, 1 sin=cosv, nvnvln或者解三角形3二面角0

3、, cos或者找垂直线，解三角形不论是求空间距离还是空间角，都要按照 寓证明于运算之中，正是本专题的一大特色“一作，二证，三算”的步骤来完成，即455求解空间距离和角的方法有 两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。其中，利用 空间向量求空间距离和角的 套路与格式固定，是解决立体几何问题这套 强有力的工具时，使得高考题具有很强的套路性。【例题解析】考点1点到平面的距离求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂 足，当然别忘了 转化法与等体积法的应用.典型例题 例1 (福建卷)如图，正三棱柱 abc ab1G的所有棱长都为2, D为cc1中点.(I )求证

4、：AB1，平面 A1BD ；(II)求二面角 a A1D B的大小；(m)求点C到平面ABD的距离.考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的 大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维 能力和运算能力.解：解法一：(I )取BC中点O,连结AO .QAABC为正三角形，AO ± BC .Q正三棱柱 ABC A1B1C1中，平面ABC，平面BCCiBi ,AO，平面 BCGB .连结BO,在正方形BB1C1C中，O, D分别为BC, CC1的中点,B1O± BD ,ABJ BD .在正方形 ABB1A中，AB1 ± AB ,AB1 

5、7; 平面 A BD .(n )设AB1与AB交于点G ,在平面A1 BD中，作GF，A1D于F ,连结AF ,由(I )得AB平面A BD .AFLAD,/AFG为二面角 A A,D B的平面角.在AAAD中，由等面积法可求得 AF又 QAG 1ABi2，sin/AFGAGAF 4.545所以二面角a AD B的大小为arcsin410 .4(山)AABD 中，BD AD 志 AB 272, Saa1bd在正三棱柱中，A到平面BCGB1的距离为 B设点C到平面A1BD 的距离为d .由 VA1 BCDVC ABD，仔SA BCD gV3 SA A1BD gd 533d 3S/ BCD SA

6、A|BD点C到平面ABD的距离为寺.解法二：（I ）取BC中点O ,连结AO.、 ABC为正三角形，AO ± BC .Q在正三棱柱 ABC AB1C1中，平面ABC，平面 BCC1B1AD，平面 BCCiBi -取B1C1中点O1 ,以。为原点,LLTLOB ,OOL，01A的方向为x, y, z轴的正方向建立空间直角坐标系,则 B(1,0,0),D(1,1,0)，A (0,2,73)，A(0,0,向，Bi (1,2,0)uurABi(12LUITBD(210)，LULTBA(12 忌).ULLTUUTQ AB1gBD0 0，LLT LLLTABgBA4 3 0，LILTUUTAB1

7、 ± BA -AB1，平面（II ）设平面A1AD的法向量为(x,y, z) LILTAD ( 1,1,LLLTd3), AA (020) ULLTngAD 0：LULTngAA 0x y 3z2y 0,0,0,3z.（内,01）为平面AAD的一个法向量.由(I )知 ABi ± 平面ABD ,器为平面A BD的法向量.LULT8s n，AB1uuur .ngAB1. 3 .3uui r_ n gABi2g2.2面角AA D B的大小为 arccos（出）由（n）,能为平面AiBD法向量,uurQ BCumr_(2,0,0), AB(123)uur uuur点C到平面A1B

8、D的距离dIBCgABil I 2 叵. uuuiAB12.22小结：本例中（出）采用了两种方法求点到平面的距离.解法二采用了平面向量的计算方法,把不易直接求的B点到平面AMBi的距离转化为容易求的点 K到平面AMBi的距离的计算方法，这是数学解题中常用的方法； 解法一采用了等体积法， 这种方法可以避免复杂的几何作图，显得更简单些，因此可优先考虑使用这一种方法考点2异面直线的距离考查异目主面直线的距离的概念及其求法考纲只要求掌握已给出公垂线段的异面直线的距离例2已知三棱锥S ABC ,底面是边长为472的正三角形，棱 SC的长为2,且垂直于底面.E、D分别为BC、AB的中点，求CD与SE间的距

9、离.思路启迪：由于异面直线CD与SE的公垂线不易寻找， 所以设法 将所求异面直线的距离，转化成求直线与平面的距离，再进一步 转化成求点到平面的距离.解：如图所示，取 BD的中点F,连结EF, SF, CF,EF 为 BCD 的中位线， EF / CD, CD/面 SEF,CD到平面SEF的距离即为两异面直线间的距离 .又 线面之间的距离可转化为线 CD上一点C到平面SEF的距离，设其为h,由题意知，BCAB、BC、BD的中点，CD 2,6, EF CD ,6,DF 2i i“ iVs cefEF DF SC 3 23,D、E、F分别是2,SC 2262 2 233在 Rt SCE 中，SE S

10、ee2 CE2 2/3在 Rt SCF 中，SF x SC2 CF2 J4 24 2 33Q又 EF ,6, Ssef 32,3112 3由于 VC SEF VS CEF - S SEF h , 即 一 3 h ,解得 h333故CD与SE间的距离为43 .3小结：通过本例我们可以看到求空间距离的过程，就是一个不断转化的过程考点3直线到平面的距离偶尔会再加上平行平面间的距离，主要考查点面、线面、面面距离间的转化 例3.如图，在棱长为 2的正方体 AC1中，G是AA1的中点，求BD到平面GB1D1的距离.思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解.解：解法一 BD /平面GB

11、1D1 ,BD上任意一点到平面 GBiDi的距离皆为所求，以下求点O平面GBiDi的距离，B1D1 A1C1 , B1D1 AA, B1D1 平面 A1ACC1,又 B1D1 平面GB1 D1平面A ACC| GB1D1,两个平面的交线是 O1G ,作OH O£于h ,则有OH 平面GB1D1,即OH是。点到平面GB1D1的距离.在 OQG 中，S O1OG11一O1O AO-2,2、2.222 . 6、2, OH .311又 S O1OGOH O1G . 3 OH2226即BD到平面GB1D1的距离等于 3解法二 BD /平面GB1D1 ,BD上任意一点到平面 GBiDi的距离皆为

12、所求，以下求点 B平面GBiDi的距离.设点B到平面GBiDi的距离为h,将它视为三棱锥B GBiDi的高，则VB GBiDiVDi GBBi，田十 S GBiDii -12、. 2 . 3.6,2、，iiccc4VDiGBBi322223,42.6.6 T即BD到平面GBiDi的距离等号2.63CDE是异面直线AO与CD所成的角.小结：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点，转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离 .考点4异面直线所成的角【重难点】此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角

13、，然后通过解三角形来求角典型例题例4如图，在RtAOB中，oab斜边AB 4 . RtAAOC可以通过 6AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B AO C的直二面角.D是AB的中点.(I)求证：平面COD 平面AOB;(II)求异面直线 AO与CD所成角的大小.思路启迪：(II)的关键是通过平移把异面直线转化到一个三角形内.解：解法i： (I)由题意，CO AO, BO AO,BOC是二面角B AO C是直二面角，CO BO ,又Q AOI BO O,CO 平面AOB ,又CO 平面COD .平面COD 平面AOB .(II)作DE OB ,垂足为E ,连结CE (如图)，则DE / AO

14、,在 RtCOE 中，CO BO 2, OE !BO i ,2CE JCO2 OE2 而.又de Lao 近. 2在冷CDE中，tanCDE CE 李巫DE 33异面直线AO与CD所成角的大小为 arctan 15 (II)UUDOAcosuuu uuur OA,CDuuu uuur OAgDD uuu1uuu OA gCD62、3乳 2异面直线AO与CD所成角的大小为arccos 日解法2: (I)同解法1.建立空间直角坐标系 O xyz,如图，则 O(0,0,0), A(0,0,273), C(2,0,0) , D(0- J3), uur(0,0,2的，CD ( 21，拘2小结：求异面直线

15、所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的.同关系，如解析三.一般来说，平移法是最常用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法时要特别注意异面直线所成的角的范围:0，2 .考点5直线和平面所成的角此类题主要考查直线与平面所成的角的作法、证明以及计算 线面角在空间角中占有重要地位，是高考的常考内容.典型例题例5 (全国卷I理)四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面 SBCBC 2石，SA SB 73.(I)证明S

16、A BC ；(n)求直线SD与平面SAB所成角的大小.考查目的：本小题主要考查直线与直线 ，直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.解：解法一：(I)作SOX BC ,垂足为O,连结 AO ,由侧面SBC，底面ABCD , 得SO,底面 ABCD .因为SA SB,所以AO BO ,又/ABC 450,故4AOB为等腰直角三角形,AO ± BO ,由三垂线定理，得(n)由(i)知SAX BC .SAX BC ,依题设 AD / BC故 SAX AD ,AD BC 272, SA V3AOSO 1, SD SAB的面积s 21

17、AB 621c连结 DB ,得 DAB 的面积 S2 - ABgAD sin135o 2（n）取AB中点E , E2 2 0，U22CEXAO xyz,设D到平面SAB的距离为h ,由于VD sab VS ABD ,得1hgS1 1SOg§，解得 h 72 313设SD与平面SAB所成角为 ，则sin h 夜 杀.SD . 1111所以，直线SD与平面SBC所成的我为arcsing.解法二：（I）作SOX BC ,垂足为O ,连结AO ,由侧面SBC，底面ABCD ,得SO,平面 ABCD .因为SA SB,所以AO BO .又/ABC 45°, 4AOB为等腰直角三角形，

18、 AO ± OB .如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系（'.2,0,1）a（72as, b。亚Q）, c（0,Q）, s（0q,1）, SAuur _uir uuuSAX BC .CB （0,2逝,0）, SAgDB 0,所以连结SE,取SE中点G ,连结OG , G红叵1 .4 ' 4 2OG 段里1，SE 0贝,1，布（&品e44 222SEgDG 0, ABgDG0 , OG与平面SAB内两条相交直线 SE , AB垂直.所以OG 平面SAB, OG与DS的夹角记为 ，SD与平面SAB所成的角记为，则 与互余.D（V22卮0） , DS

19、 （近,2& 1） cosOGgDS J2, sinOGgDS 1122511所以，直线SD与平面SAB所成的角为arcsin X2211小结：求直线与平面所成的角时，应注意的问题是（1）先判断直线和平面的位置关系；（2）当直线和平面斜交时， 常用以下步骤：构造一一作出斜线与射影所成的角，证明一一论证作出的角为所求的角， 计算一一常用解三角形的方法求角，结论一一点明直线和平面所成的角的值.考点6二面角【重点】此类题主要是如何确定二面角的 平面角，并将二面角的平面角转化为 线线角放到一个 合适的三角形中进行求解.二面角是高考的热点典型例题例6.（湖南卷）如图，已知直角， A PQ , B

20、 , C , CA CB, BAP 45°,直线CA和平面所成二面的角为30° .证明BC ± PQ ；工z（II）求二面角B AC P的大小.命题目的：本题主要考查直线与平面垂直、二面角等基本知识， 考查空间想象能力、 逻辑思维能力和运算能力.过程指引：（I）在平面 内过点C作CO，PQ于点O ,连结OB .因为 ±, I PQ ,所以CO，又因为CA CB ,所以OA OB .C、H而 BAO 45°,所以 ABO 45°, AOB 90°,p 7、从而 BO，PQ ,又 CO，PQ ,乙所以PQ，平面OBC .因为BC

21、 平面OBC ,故PQ，BC .（II）解法一：由（I）知，BO，PQ ,又 ±, I PQ ,BO ，所以 BOL .过点O作OH，AC于点H ,连结BH ,由三垂线定理知，BH ± AC .故 BHO是二面角B AC P的平面角.由（I）知，COX ，所以 CAO是CA和平面 所成的角，则 CAO 30°,.3不妨设 AC 2,则 AO J3, OH AO sin 30° .在 RtzXOAB 中，ABO BAO 45o,所以 BO AO 察,于是在RtABOH,BO中，tar BHO OH故二面角B ACP的大小为arctan2 .解法二：由（I）

22、知，OC ± OA , OCX OB, OA ± OB ,故可以O为原点，分别以直线OB, OA, OC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图）CAO因为CO，a ,所以 CAO是CA和平面 所成的角，则不妨设AC 2 ,则AO73, CO1.在 RtzXOAB 中，ABOBAO45°,所以BO AO , 3则相关各点的坐标分别是。(0,0,0),B(V3,0,0),A(0, . 3,0)C(0Q,1).uur 所以AB(J'3,3,0)iuurAC (0,V31)ir设r1x,y, z是平面ABC的一个法向量,ir uur rgAB ir uur n

23、gAC0,/曰3x .3y 0,得0月y z 01,得 rr a,73).uu易知n（10,0）是平面的一个法向量.设二面角AC P的平面角为,由图可知,ur uu口 62irur所以cos故二面角AC P的大小为arccos5小结：本题是一个无棱二面角的求解问题.解法是确定二面角的棱，进而找出二面角的平面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径：由二面角两个面内的两条相交直线确定棱，由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱，补形构造几何体发现棱；解法二则是利用平面向量计算的方法，这也是解决无棱二面角的一种常用方法，即当二面角的平面角不易作出时，可由平面向量计算的方法求出二面角的大小【课后练习】如图

24、，在四棱锥PABCD中，PA 底面ABCD, DAB为直角，AB | CD ,A2iAD=CD=2AB, E、F 分别为 PC、CD 的中点.（I ）试证：CD 平面BEF;（n ）设PA= k AB,且二面角E-BD-C的平面角大于30，求k的取值范围过程指引：方法一关键是用恰当的方法找到所求的空间距离和角; 方法二关键是掌握利用空间向量求空间距离和角的一般方法【高考热点】空间几何体的表面积与体积（一）空间几何体的表面积1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和2圆柱的表面积s 2 rl 2 r3圆锥的表面积：S rl r24圆台的表面积S rlr2 RlR2 5球的表面积S 4 R26扇形的面积

25、S扇形n2 1lr （其中l表示弧长，r表示半径）3602注：圆锥的侧面展开图的弧长等于地面圆的周长 （二）空间几何体的体积11柱体的体积 VS底 h2锥体的体积 V S底h31 4 _33台体的体积 V （ S上,S上S下S下）h 4球体的体积V R33【例题解析】考点8简单多面体的有关概念及应用，主要考查多面体的概念、性质，主要以填空、选择题为主，通常结合多面体的定义、性质进行判断典型例题例12 .如图（1）,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，当这个正六棱柱容器的底面边长为 时容积最大.思路启迪设四边形一边 AD,然后写出六棱

26、柱体积，利用均值不等式，求出体积取最值时 AD长度即可.解答过程：如图(2)设 AD=a,易知/ ABC=60° ,且/ ABD=30°AB = <3 a .BD = 2a 正六棱柱体积为 V .12一 9 /、2V=6 一 (12a) sin60 <3a = - (12a) a2299.2.3=-(1 2a)(1 2a)4a< -(-).88 31当且仅当1 2a=4aa=1时，体积最大,6此时底面边长为12a=1 2x1=2 .63-1答案为1 .6考点9.简单多面体的侧面积及体积和球的计算棱柱侧面积转化成求矩形或平行四边形面积，棱柱侧面积转化成求三角

27、形的面积 直棱柱体积V等于底面积与高的乘积.棱锥体积V等于1 Sh其中S是底面积，h是棱锥的高.3例 15.如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中，AB= V2a, BC=CA = AA1=a,A1在底面4 ABC上的射影 O在AC上求AB与侧面AC 1所成角； 若O恰好是AC的中点，求此三棱柱的侧面积 .思路启迪找出AB与侧面AC1所成角即是/ CAB;三棱锥侧面积转化成三个侧面面积之和，侧面BCC1B1是正方形，侧面 ACC1A1和侧面ABB1A1是平行四边形，分别求其 面积即可.解答过程：点 A1在底面ABC的射影在AC上， 平面ACCA平面ABC.在 ABC 中，由 BC=AC=a,

28、 AB= J2a./ACB = 90° ,BCXAC.BC,平面 ACC1A1.即/ CAB为AB与侧面AC1所成的角在RtABC中，Z CAB = 45 AB与侧面AC1所成角是45° .''' 0 是 AC 中点，在 RtA AA1O 中，AA1 = a, AO= a.2侧面ACC1A1面积S1 = ACA01=又BCL平面ACC1A1BCXCC1.又BBi=BC=a , 侧面BCCiBi是正方形，面积 S2=a2.过。作ODAB 于 D，= AiO,平面 ABC, AiDXAB.在 RtAOD 中，AO= 1 a , / CAD = 45

29、76;22 OD= 3a在 RtAAiOD 中,AiD =vOd2+ AiO2 = J(乎 a)2+ ( a)8a.2,.7 2a .2A、B、C、D、3思路启迪先找出二面角平面角,AKL中求出棱锥的高 h,再利用即/1V= - ShAKL，再在即可.解答过程：在平面图中，过 于K,交BC于L.贝U AKXMN, KLXMN./AKL = 30° .3A 作 ALXBC,交 MNC侧面 ABBiAi 面积 S3= AB AD = J2a J7a =8棱柱侧面积 S = Si + S2 + 9 =12-2+ 3+ .7） a2.2例16.等边三角形 ABC的边长为4, M、N分别为AB

30、、AC的中点，沿 MN将4AMN折起，使得面 AMN 与面MNCB所成的二面角为 30° ,则四棱锥A-MNCB 的体积为 （）则四棱锥A-MNCB的高h= AK sin30 =2Smncb = KL = 3 33 ./一1 Q Q - 3 = 3V A MNCB 373 Z-322【专题综合训练】-、选择题1.如图，在正三棱柱 ABC-AiBiCi中，已知AB=1且BD=1 ,若AD与侧面AAiCCi所成的角为D在BBi上，,则的值为A.B. 一4C.arctan-10 4D. arcsin-642.直线a与平面 成 角，a是平面 的斜线，b是平面内与a异面的任意直线，则 a与b所

31、成的角（）A.最小值，最大值B.最小值C.最小值，无最大值D.无最小值,3.在一个45的二面角的一平面内有一条直线与二面角的棱成最大值 一445角，则此直线与二面角的另一平面所成的角为（A. 304.如图，直平行六面体)B. 45C. 60D. 90ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,BAD 60 ,则对角线AiC与侧面DCCiDi所成 的角的正弦值为（）A. 12B 3B.2C工 口.23D. 45.已知在 ABC 中，AB=9, AC=15,BAC 120 ,它所在平面外一点 P到 ABC三顶14,那么点B.折成60的二面角，则MP与NQ间的距离等于（)D. 7点的距离都是A. 13A

32、BC的距离为（）C. 9P到平面113B. -a4C. a48.二面角 l的平面角为120在内，AB l于BAB=2,在内，CDl于D,CD=3,BD=1, M是棱l上的一个动点，则AM + CM的最小值为（）A. 2 5B. 2 2C. . 26D. 2 69.空间四点 A、B、C、D中,每两点所连线段的长都等于a,动点P在线段AB上,动点Q在线段CD上，则P与Q的最短距离为（1A. a22B. a2C.d. a10.在一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为a ,现有一张正方形包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠）,那么包装纸的最小边长应为（A. ( .26)a B.C.D.11.已知

33、长方体 ABCD-AiBiCiDi 中，AiA=AB=2,若棱AB上存在点P,使DiP PC ,则棱AD的长的取值范围是 （A. 0,1B.C.0,2D.12.将正方形ABCD沿对角线角一定不等于（）AC折起，使点D在平面ABC外，则DB与平面ABC所成的A. 30B. 45C.60D. 90二、填空题1.如图，正方体 ABCD-AiBiCiDi的棱长为1, E是AiBi 的中点，则下列四个命题：iE到平面ABCiDi的距离是 ,； 直线BC与平面ABCiDi所成角等于45 ; 空间四边形 ABCDi在正方体六个面内的射影围成一 一， i面积取小值为一；2, i0BE与CDi所成的角为arcs

34、in i02.如图，在四棱柱 ABCD-AiBiCiDi中，P是AiCi上的动点，E为CD上的动点，四边形 ABCD满足 时，体积VP AEB恒为定值（写上你认为正确的一个答案即可）3.边长为i的等边三角形 ABC中，沿BC边高线AD 折起，使得折后二面角 B-AD-C为60° ,则点A到 BC的距离为 ，点D到平面ABC的距离 为.4.在水平横梁上 A、B两点处各挂长为50cm的细绳，AM、BN、AB的长度为 60cm,在MN处挂长为 60cm 的木条，MN平行于横梁，木条的中点为 O,若木条 绕过O的铅垂线旋转60。，则木条比原来升高了5.多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻

35、的.如图正方体的一个顶点A在平面内.其余顶点在的同侧，正方体上与顶点 A相邻的三个顶点到的距离分别是i、2和4. P是正方体其余四个顶点中的一个，则 P到平面 3;4;5;6;7.以上结论正确的为 .（写出所有正确结论的编号 ） 6.如图，棱长为im的正方体密封容器的三个面上有三个锈蚀 的小孔（不计小孔直径）Oi、。2、O3它们分别是所在面的中心如果恰当放置容器，容器存水的最大容积是 m3.三、解答题i. 在正三棱柱 ABCAiBiCi中，底面边长为 a,D为BC为中 点，M 在 BBi 上，且 BM= 1BiM ,又 CM LACi;3（i）求证：CMXCiD;的距离可能是:RC(2)求AA

36、i的长.2. 如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面是矩形且AD=2 ,AB=PA= 22 , PAL底面 ABCD , £是人口的中点，F在PC上.(1)求F在何处时，EFL平面PBC;(2)在的条件下，EF是不是PC与AD的公垂线段.若是，求 出公垂线段的长度；若不是，说明理由；(3)在(1)的条件下，求直线 BD与平面BEF所成的角.3.如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD , SB=J3 .(1)求证(2)求面(3)设棱 大小.BC SC;ASD与面BSC所成二面角的大小；SA的中点为M ,求异面直线DM与SB所成角的4.在直角梯形 ABCD

37、 中， D= BAD=90 ,AD=DC= 1 AB=a,(如图一)将 ADC 沿 AC 折起, 2使D到D .记面AC D为，面ABC为.面BC D为.(1)若二面角AC 为直二面角(如图二)，求二面角 BC 的大小；(2)若二面角AC 为60 (如图三)，求三棱锥D ABC的体积.5.如图，已知正方形 ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直， AB= J2M是线段EF的中点.(1)求证AM平面BDE;(2)求二面角A DF B的大小；(3)试在线段AC上确定一点P,使得PF与BC所成的角是60 .AF=1【参考答案】-.选择题1.D 提示：AD在面ACCiAi上的射影应在 AC与AiCi

38、中点的连线上，令射影为E,则/ EAD为所求的角.在 RtAEAD 中,3DEDE ,AD 2. sin EAD -2ADEADarcsin2.B 提示：由最小角定理知，最小角为,又异面直线所成角的范围为0，2最大角为一.23 .A 提示：由最小角定理知，此直线与另一面所成的角应小于等于它与交线所成的角，故排除C、D,又此二面角为45。，则此直线与另一平面所成的角只能小于它与交线所成的角，故选A.4 .D 提示：由题意，Ai在面DCCiDi上的射影应在 CiDi延长线E上，且DiE=1,则/ AiCE 为 所 求 角， 在 Rt AAiC 中 ，ACAA； AC24, AIE3, sin AI

39、CE AE .AiC45 .D 提示：由P到 ABC三个顶点的距离都是I4,知P在底面 ABC的射影是 ABC的外心，所以PO为所求.由余弦定理得：BC=2i.由2RBCsini202I32I4得外接圆半径为 7；6,即 OB 7V3 ,在 RHPOB 中，PO VpB2BO2 7.6.D提不：由题图得VB AMNVN AMB .S AMB7.B3S AMB2S AMN提示：连结3 三 322.2 S AMNMP、NQ交于O,由四边形MNPQ是菱形得MPNQ 于 O,将 MNQ 折起后易得 MOQN, OPXQN,所以/ MOP=60°，且 QN MOP ,过。作 OH IMP,3所

40、以OHQN,从而OH为异面直线 MP、QN的公垂线，经计算得 OH -a.48.C 提示：把 半平面展到半平面内，此时，连结AC与棱的交点为 M,这日AM+CM取最小值等于 AC.(AM+CM)min= . 1 (2 3)29.B 提示：P、Q的最短距离即为异面直线 CD的中点时符合题意.AB与CD间的距离，当P为AB的中点，Q为10.B 提示：将正棱锥展开，设正方形边长为m,则 42m a J3a, m11.A 提示： D1P PC, DP PC,在长方形 ABCD中AB边存在 P作 DP PC,AD0,1 故选 A.平面ABC ,取AC的中又因为AB=2,由对称性可知， P为AB的中点时，

41、AD最大为1, 12.D 提示：若BD与平面ABC所成的角为90 ,则平面ABD点O,则BD AC, DO AC且BO=DO,BD与BO不垂直，故BD与平面ABC所成的角一定不等于90 .二.填空题1 .一 1 .一1. 提不：对于，由Ve ABCi VC1 ABE 得-h S ABCi - 1 S ABE ， 33S ABE 、- 2 , 一一,口，h ，错.对于连 CB1交BC1于O,则O为C在面ABC1D1上的射影，S ABC12CBO 45为所成的线面角，正确作图易知正确，对于连AiB,则 ABE为所成的角，解 ABE得sin AiBE12. AB / CD 提示：Vp aeb - h

42、P Sabe，要使体积为正值，则S abe为正值，与 E3点位置无关，则 AB/CD15. 153. , 提示：作DE BC与E,易知AD 平面BCD ,从而AE BC ,4 10BDC 60 又由 BD DC 1,得 DE W3,又 AD , 2422215 15AEJdEAD ,由可解的点到平面的距离为 .410，4.10cm 提不：MO=NO=30cm,过。作M N与旋转刖的 MN平仃且相等，所以旋转后22AB与平面M ON的距离为V503040,故升图了 50-40=10cm.5 .6 .5.6三、解答题1. (1)证明：在正三棱柱 ABCAiBiCi中，D为BC中点，则 AD，面BC

43、CiBi,从而AD XMC又,CMACi,则 MC和平面 ADCi内两相交直线 AD , ACi 均垂直MCXW ADCi,于是 MCLDC1.（2）解：在矩形 BBiCiC中，由CM ±DCi知 DCCi BMC ,设 BB i=h，则 BM= - h4.工h:a=更：h,求得 h J2a42从而所求AAi= . 2a2.解：(I)以A为坐标原点，以射线AD、AB、AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则 p(0, 0,短),A(0, 0, 0), B(0, 2i , 0), C(2, 乩 0), D(2, 0, 0), E(1 , 0, 0) F 在 PC 上，可令 PF

44、 PC ,设 F(x, y, z)BC 2,0,0 ,PC 2, 2, . 2 ,EF x 1,y,zEFL平面 PBC, EF?PC 01.EF ?BC 0 ,又 PF PC , jl可得 1,x 1,y z "故F为PC的中点. 22（n）由（i）可知：efxpc,且 efxbc 即 ef ±adEF是PC与AD的公垂线段，其长为|EF |=1BD ?PC 3bd|?|pc6（出）由（I ）可知PC 2V2 内 即为平面BEF的一个法向量而 BD 2,上,0设BD与平面BEF所成角e ,则：sin 8=cosi：BD ? PC).3 36 narcsin?.故bd与平面

45、BEF所成角为arcsin*3. (1)证法一：如图，二.底面 ABCD是正方形，BCXDC.SD，底面 ABCD ,DC是SC在平面 ABCD上的射影，由三垂线定理得 BCXSC.证法二：如图1,二.底面ABCD是正方形，SDXBC,又 DCASD=D, . BC，平面(2)解：如图2,过点S作直线I/AD,.底面ABCD为正方形，I/AD/BC,l为面ASD与面BSC的交线.l SD AD,BC SC, l SD,lBC± DC. SD，底面 ABCDy SDC,BCXSC.l在面ASD上， l在面BSC上，SC,图1L图2/ CSD为面ASD与面BSC所成二面角的平面角.BD=

46、 V2 , SB=技 SAD=1 .(3)解 1:如图 2, SD=AD=1. CSD 450.,/ SDA=90 ° ,. SDA是等腰直角三角形.又M是斜边SA的中点,图34. 解：(1)在直角梯形 ABCD中,由已知 DAC为等腰直角三角形,则 DE，AC 又二面角a AC为直二面角,D E ± 又BC 平面BC± D EBCa,而 DC a ,. BCXDCDCA 为二面角由于 D CA 45 ,二面角BC的平面角.BC 为 45 .(2)取AC的中点E,连结D E ,再过D作DO,垂足为O,连结OE.DM ISA. - BA ±AD , BAXSD, AD n SD=D , . BA，面 ASD , SA 是