北京市高考数学压轴题汇编51题(含答案)

1、E的位置有关，与点F的位(A) 1 个(C) 3 个uuur段DiQ与OP互相平分，则满足 MQuuuuMN的实数的值OB 2,OC 3D为四1 .如图，正方体 ABCD- AB1C1D1中，E, F分别为棱DDi , AB上的点.已知下列判断：AC A平面REF ;DB1EF在侧面BCC1B上的正投影是面积为定值的三角形；在平面ABCiDi内总存在与平面 BiEF平行的直线；平面BiEF与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点 置无关.其中正确判断的个数有(B) 2 个(D) 4个(B)2.如图所示，在正方体 ABCD AiBiCiDi中，E是棱DDi 的中点，F是侧面CDDiCi上的动

2、点，且 BiF面AiBE,则BiF与平面CDDiCi所成角的正切值构成的集合是C_2 -A. 2B. J55C. t |2 t 2 J2D. t | 2 .5 t 253 .如图，四面体OABC的二条棱OA,OB,OC两两垂直，OA面体OABC外一点.给出下列命题.不存在点D ,使四面体ABCD有三个面是直角三角形不存在点D,使四面体ABCD是正三棱锥存在点D ,使CD与AB垂直并且相等存在无数个点 D ,使点O在四面体ABCD的外接球面上 其中真命题的序号是 D（A）（B）（C）（D）4 .在一个 正方体 ABCD ABiCiDi中，P为 正方形AB1GD1四边上的动点， O为底面正方形 A

3、BCD的中心,M , N分别为AB, BC中点，点Q为平面ABCD内一点，线有CA. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个5 .空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 平面 ， 两两互相垂直，点A ，点A到平面 ，的距离都是3,点P是 上的动点，且满足 P到的距离是P到点A距离的2倍，则点P到平面 的距离的最大值是 C(A)333(B)第(C)373(D)66.已知函数f(x)的定义域为R ,若存在常数 m 0,对任意x R,有|f(x)| m|x|,则称f (x)为F函数.给出下列函数：f (x) x2 ；f (x) sin

4、x cosx ；xf(x) -；f (x)是定义在 R上的奇函数，且满足对一切实数xi,x2均有x x 1f (xi)f(x2)2xi x2 .其中是F函数的序号为C(A)(B)(C)(D)7.定义区间(a, b), a, b), (a, b , a, b的长度均为d ba,多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如(1,2) U3, 5)的长度 d(2 1) (5 3) 3.用x表示不超过x的最大整数，记xx x,其中 x R .设 f (x)x x , g(x) x 1 ,16图1则下列命题中正确的是(若用d1,d2,d3分别表示不等式f(x) g(x),方程f(x) g(x),不等式f(x

5、) g(x)解 集区间的长度，则当 0w xw 2011时，有B(A) d11, d2 2, d3 2008(B)d11, d21, d32009(C) d1 3, d2 5, d3 2003(D)d12, d23, d320068.下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程：区间(0,1)中的实数m对应数轴上 的点M (如图1);将线段AB围成一个圆，使两端点 A、B恰好重合(从 A到B是逆 时针，如图2)；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在 y轴上，点A的坐标为 (0,1)(如图3),图3中直线AM与x轴交于点N(n,0),则m的象就是n ,记作 f (m)=n .AMBC

6、l100m1A-f 41B. f x是奇函数C. f x在其定义域上单调递增D. f X的图象关于y轴对称9.用maxa, b表示a, b两个数中的最大数，设2 、1f (x) maxx,Jx(x ),那么由函 41数y f(x)的图象、x轴、直线x 和直线x 2所围成的封闭图形的面积是A435 A.1257 C.59 B.2491 D.1210.对于定义域和值域均为01的函数f(x),定义fi(x)f (X) , f2(x) f(fi(x),fn(x)f (fn 1(x) , n = 12,3,.满足fn(x) x的点xC 0, 1称为f的n阶周期点.设2x,f(x)2则f的n阶周期点的个数

7、是(A) 2 n2x,1,(B) 2(2 n-1)(C) 2n(D) 2 n211.定义在R上的函数”*)满足£(4) 1, f (x)为f (x)的导函数，已知y f'(x)的图象如图所示，若两个正数 ab 满足 f (2a b)A / 1、A- (5,3)1C- (7,5) 3B-(D.(,3)12.对于函数f (x) f(x)log2x1,则2的取值范围是( c )cosx ,8判断如下两个命题的真假:命题甲：f (x)在区间(1,2)上是增函数;)上恰有两个零点x1,x2 ,且1.(A)(B)(C)(D)13.已知函数 f (x) x2 2x, g(x)ax2 (a&

8、gt;0),右为1,2,x21,2,使得f(X1)= g(x2),则实数a的取值范围是D小1r(A) (0,2(B)2,3(C) (0,3(D) 3,)14.已知函数f(x)x 1, log2x,0,'则函数y f f (x) 1的零点个数是 A 0,(A) 4(B)(C) 2(D) 115.已知点P是 ABC的中位线EF上任意一点，且 EFBC,实数x, y满足ULUPALUULUlrxPB yPCPBCPCA , PAB的面积分别为SS, S2,S3、S1记SS2S32, "s3.则2 3取最大值时，2x y的值为16.(13(A) 一21(B)一2(C)(D) 2已知抛

9、物线0)的直线l交圆N于C、D两点,(x1)2交抛物线r2 (其中r为常数，rA、B两点，且满足AC0 ).过点BD的直线l只有三条的必要条件是A. r (0,1B. r (1,2C.D.3r 2,17.设点 A(1,0) , B(2,1),如果直线 axby1与线段AB有一个公共点,那么b2 (A)一 1(A)最小值为15(B)最小值为一 一 1(C)最大值为15(D)最大值为18.已知数列an (n? N )满足：anlOgn1(n 2) (n Na1 a2a3ak1, 2011内所有的企盼数的和为2026、r -t-./ .为整数的数k (k N )叫做企盼数，则区间19.在平面直角坐标

10、系 xOy中，O为坐标原点.定义P(x1,y1)、Q(x2, y2)两点之间的“直角距离”为 d(P,Q)= %- x2 + y1- y2 .若点 A(-1,3),则 d(A,O) =知点B(1,0)点M是直线kx-k+3= 0(k> 0)上的动点，d(B,M)的最小值(k1)20 .在平面直角坐标系中，定义d(P,Q)xiX2yy2为两点P(xi,yi), Q(x2,y2)之间的“折线距离”.则坐标原点O与直线2x y 2J5 0上一点的“折线距离”的最小值是 ；圆x2 y2 1上一点与直线2x y 2痣 0上一点的“折线距离”的最小值是 .一、.2 21 .已知函数f(x) aln(

11、x 1) x ,在区间(0,1)内任取两个实数 p,q,且p q ,不等式f(p 1)f(q 1) 1恒成立，则实数a的取值范围是 . 15,)22 .定义方程f(x) f (x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”，如果函数g(x) x,h(x) ln(x 1),(x) cosx( x (,)的“新驻点”分别为 ,，那么的大小关系是23 .将全体正奇数排成一个三角形数阵:135791113 15 17 19按照以上排列的规律，第n行(n 从左向右的第3个数为一.9x,什c 1224.已知函数 f(x) -，则 f(0)f(1) ，若 Sk1f(-) f(-)93k k3k 1f(-) L

12、 f()(k 2, k Z),则Sk1 (用含有k的代数式表 kk225 .已知数列an的各项均为正整数，对于n 1,2,3,，有3an 5, an为奇数，当，an为偶数.其中k为使an 1为奇数的正整数当阚11时，a100 若存在m N ,当n m且an为奇数时，an恒为常数p ,则p的值为.62； 1或526 .已知数列an,满足：ai 1,a2 2® 3冏 4,% 5,且当n 5时， *an 1 aL an 1,右数列bn满足对任意n N ,222有 bn aa2L an ai a2 L an ,贝U b5 ;当门 5 时，bn 65 70 nn27.数列an满足 ai 1,

13、an 1 an，其中 R，n 1n 1,2 ,L .当 0时，a20 ;若存在正整数 m ,当n m时总有an0 ,则的取值范围是1 *20 ；(2k 1,2k),k N28 .函数y x2(x 0)的图象在点(an,an2)处的切线与x轴交点的横坐标为 an 1, n N ,若a116 , 则a3 a5, 数列 an 的通项公式为. 5, 25 n29 .对任意x R ,函数f(x)满足f(xan f (n)2 f (n),数歹u an的前15项的和为1) Jf(x) f(x)2 =, 231 一，则 f(15) 1630.如图，线段AB=8,点C在线段AB上，且AC =2, P为线段CB上

14、一动点，点A绕点C旋转后与点重合于点D.设CP=x, 4CPD的面积为f(x).则f(x)的B绕点P旋转后定义域为; f (x)的零点是(2,4); 3sin x31 .已知函数f (x)x(1)判断下列三个命题的真假:时，f(x)取得极小值.3f(x)是偶函数；f(x) 1 ；当x -其中真命题有 ;(写出所有真命题的序号)(2)满足f (-) f( )的正整数n的最小值为.，966632 .如图所示，/ AOB=1rad,点Ai, A2,在 OA上，点B1, B2,在 OB上，其中的每 一个实线段和虚线段的长均为1个长度单位，一个动点 M从。点出发，沿着实线段和以 O为圆心的圆弧匀速运动，

15、速度为l长度单位/秒，则质点 M到达A3点处所需要的时间为秒，质点M到达An点处所需要的时间为秒.6an叫，n为奇数， 2n(n 3),n为偶数. 22 八33.已知函数f(x) ax (b1)x b(0,3),则对于任意的 b R ,函数 F(x) f (x)x总有两个不同的零点的概率是34.对于各数互不相等的整数数组(i1,i2,i3, ,in) (n是不小于3的正整数),对于任意的p, q 1,2,3,L ,n,当p q时有i piq ,则称ip, iq是该数组的一个“逆序”一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”,则数组(2, 4,3, 1)中的中的逆序数为35.已知集合Aa

16、1，a2,x, yA,且xy,有x(I)求证:a1an(n)求证:(出)对于n(I)证明:；若数组(ii,i2/3,L ,in)中的逆序数为n,an中的元素都是正整数，且 1;259,试给出一个满足条件的集合A.a1a2则数组(in,in 1,L ,h)an ,对任意的依题意有ai aiaiai 1 (i251,2,1)，又a1a2an，因此a, 1ai,n1).r 1可得ai(i ai 1251,2,1).1所以一aia2a2a3aiai 1an 1 an 251即，a1n 125(n)证明：由(Ir 1)可得a1n25又a1可得n 12526.一 1同理aiann25i一,可知ain25又

17、ai i可得25所以i(ni)25(i1,2,1)均成立.10时,5,则 i(n i)5(n 5)25,可知10.又当9时，i(ni)i(-)2(2)225所以9.(出)解：对于任意ai 1 aj，由。aiai 125(i1,2,n 1)可知,aiaj aiai-125aiaj晅25因此,只需对1aiai125成立即可.因为251一;251一；25125因此可设a1a2a33;a44;a55.由工a5a625,可得a6254由工a6a7-125可得a7175 寸,取a718,111+ 曰50h由一 一 一，可得 a8，取 a820 .a 7a8253,111由一 一 一，可得 a9100,取

18、a9 100 .a8a925所以满足条件的一个集合 A 1,2,3,4,5,7,10,20,100 . 14分36 .已知集合A 1,2,3,L ,2n (n N ).对于A的一个子集S,若存在不大于n的正整数m, 使得对于S中的任意一对元素 s1,多，都有s1 s2 m,则称S具有性质P.(I)当n 10时，试判断集合B x Ax 9和C x Ax 3k 1,k N 是否具有性质P?并说明理由.(n)若 n 1000时若集合S具有性质P,那么集合t 2001 xx S是否一定具有性质 P?并说明 理由；若集合S具有性质P,求集合S中元素个数的最大值.解：(I)当 n 10 时，集合 A 1,

19、2,3,L ,19,20 ,B x Ax 910,11,12,L ,19,20 不具有性质 P1 分因为对任意不大于 10的正整数m, 都可以找到该集合中两个元素b1 10与b2 10 m ,使得b1 b2m成立2分集合C x Ax 3k 1,k N*具有f质P.3分*因为可取m 1 10,对于该集合中任息一对兀素c1 3kl 1,c2 3k2 1, k1，k2 N都有 c1c23 kl k21 .4分(n)当 n 1000时，则 A 1,2,3,L ,1999,2000若集合S具有性质P,那么集合T 2001 x x S 一定具有性质P5分首先因为T 2001 x x S ,任取t 2001

20、 Xo T,其中x0 S,因为 S A,所以 x0 1,2,3,., 2000,从而 1 2001 x0 2000,即 t A,所以 T A.6 分由S具有性质P,可知存在不大于1000的正整数m,使得对S中的任意一对元素 s,s2,都有s1 s2 m .对于上述正整数 m,从集合T 2001 xx S中任取一对元素ti2001Xi，t22001X2,其中Xi,X2S,则有 ti tz|xiX2m,所以集合T 2001 x x S具有性质P .8分设集合S有k个元素.由第问知，若集合S具有性质P,那么集合T 2001 xx S一定具有性质P .任名R x S, 1 X 2000,则X与2001

21、 X中必有一个不超过 1000,所以集合S与T中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000,k 人 一.不妨设S中有t t -个兀素b1,b2,L ,bt不超过1000.由集合S具有性质P,可知存在正整数 m 1000,使得对S中任意两个元素s1, S2 ,都有酬与 m ,所以一定有 b1 m, b, m,L ,bt m S.又 b m 1000 1000 2000,故 b m,b2 m,L ,bt m A,即集合A中至少有t个元素不在子集 S中，k一一 k一因此 k k t 2000,所以 k 2000,得 k 1333, 22当 S 1,2,L ,665,666,1334,L ,1999

22、,2000 时， 取m 667 ,则易知对集合 S中任意两个元素y1, y2 ,都有| y1 y2 | 667 ,即集合S具有性质P ,而此时集合S中有1333个元素.因此集合S元素个数的最大值是 1333.14分2皿.*37 .已知函数f(x) 1 一，数列an中，a1 a , an 1 f (an) (n N).当a取不同的 x5 11, 一值时，得到不同的数列an,如当a 1时，得到无穷数列1,3,-, 一，；当a 2 35时，得到常数列2, 2, 2,；当a 2时，得到有穷数列 2, 0.(I)若a3 0 ,求a的值；, 、 、I 、r一-_ (n)设数列bn满足匕 2, bn f (

23、bn 1)(n N ) .求证：不论a取bn中的任何数，都可以得到一个有穷数列an；5(出)若当n 2时，都有an 3,求a的取值范围.3一 一、， 一2解：(I)因为 a3 0 ,且 a3 1 一 ,a22所 以a22.同 理 可 得a1, 即32 八a 一. 3 分3(n)证明：假设 a为数列bn中的第i (i N)项，即a1 a b；则a2f(ai)f (bi) bi；a3f(a2)f (bi i) b 2 ;aif(aii) f(b2)bi2；ai if (ai) i 0,即 af (ai) f( 2) 0。ai故不论a取bn中的任何数，都可以得到一个有穷数列an .一.25 一(出)

24、因为 a2f (ai) f (a) i ,且 a2 3,a 3所以i a 3.552 ii又因为当一an 3时，一i 3, 33an5一 5即 5 ani 3,35i3分所以当i a 3时，有5 an 3.338.已知数列an , bn满足bnan i an,其中 n i,2,3,L(i)若ai i,bn n ,求数列an的通项公式;(II)若 bnibni bn(n 2),且 bi i 2.(i )记Cn a6n i(n i),求证：数列Cn为等差数列;(ii)若数列曳中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次.求首项a1应满足的条件.(I)解：当n 2时，有anai(a2a1)(a3a2)

25、L (an an i) abid Lbn i 2分1 (n 1) n235又因为a11也满足上式,所以数列an的通项为an、一 、_. 一 一、. *(n) (i)证明：因为对任息的n N有bn 6所以 Cn 1Cna6n 5a6n 1b6n12b6nbn 5bn 4b6n 11bn 3 b6n 2bn 1bn 2b6n 37 (n 1),所以数列酬为等差数列.(ii)解：对于数列a6n a6n 6 ia6n ib6n i b6nib6n i 2i为常数且b6n i 3b6n1,2,3,4,5,6),有b6n7(n 0)所以数列a6n i均为以7为公差的等差数列.设fk77i(i 6k) ai

26、 a6k iai 7k 6i 6所以,6k i i 6k. 7i当ai时，对任息的66k6ki有包n7676ai7i66kk 0),当ai7i, 一时,6fk1若ai若ai综上：设集合当a1B时,当a1B时,多出现一次,7i66(k 1) iai7i66k i6(ai%(6(k 1) i6(k1) i(6k-,则对任意的k67i一,则对任息的k674B 6U3UN 有 fk1N 有 fk 11U 3Ufk ,所以数列fk ,所以数列a6k i6ka6k i6k-为单调减数列; i-为单调增数列; i11分117 4 111-U- -,-,-, -, , 626 3 2 3 6数列an中必有某数

27、重复出现无数次 na6， (i 1,2,3,4,5,6)均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最6k ia 一一 所以数列2中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次n13分39.如图 P(X1, y-)，F2(x2,y2), L ,Pn(xn,yn), (0y-y2Lyn, nN )是曲线C:y2 3x(y 0)上的n个点，点 A(ai,0)(i1,2,3,L,n)在x轴的正半轴上,Ai iAP是正三角形(A是坐标原点).(I)求 a1，a2,a3;(n)求出点An (an ,0)( n N*)的横坐标解：(I) a1 2,a2 6,a3 12.(n)依题意 An(an,0), Ani(an

28、i,0),则an 1 anxn2一，yn3 an 1 an在正三角形PnAnAn中，有anan 1 ) .an 1 an - . 3 /3(an22an 1).an关于n的表达式;anan 1、v：2(an 1an)2an2 an 1an2 an 12(anan i)(n2,nN*),同理可得an 122an 1an2an2(an 1an) (nN*).-并变形得(an 1an 1 )(an1 an 12an2)(n 2,nN*)Q an 1an 1an2an(an 1an )(anan2 (n2,n N*).，数列an 1an是以a2al4为首项，公差为2的等差数列.an 1an2(n 1)

29、,(nN*)anal(a2 al)(a3a2)(a4a3 ) L(出) bn2(1n)n. ann(n1)(nN*)an 1an 2an 31(n N*), a2nbn 1 Lan 2an 3Hn 41 (n N*). a2n 2u u 111bn 1 bn a2n 1a2n 2 an 1111(2n 1)(2n 2) (2n 2)(2 n 3) (n 1)(n 2)_ _2_2(2n 2n 1). (2n 1)(2 n 2)(2n 3)(n 2)，当n N *时，上式恒为负值，Tn N*时，bn 1 bn, 数列bn是递减数列，一，11八bn的取大值为b1 1 . 12分a261若对任意正整

30、数n,当m 1,1时，不等式t2 2mt bn恒成立，6则不等式t2 2mt 1 1在m 1,1时恒成立，66即不等式t2 2mt 0在m 1,1时恒成立.设 f (m) t2 2mt ,则 f(1) 0且 f ( 1) 0,t2 2t 0t2 2t 0解之，得t 2或t 2,即t的取值范围是(，2)(2,). 14分1111(出)设bnL ，若对任意正整数n,当m 1,1时,an 1an 2an 3a2n1不等式t2mt bn恒成立，求实数t的取值范围.61,2,3 ) ，bm nm40 .已知每项均是正整数的数列A：a1,a2,a3,L,an,其中等于i的项有ki个(i设 bjk1 k2k

31、j (j 1,2,3L )， g(m)b1 b2 L(m 1,2,3 ).A:1, 2,1,4，求 g(1),g(2), g(3),g(4), g(5) ；(n)若数列 A满足a1 a2 L an n 100,求函数g(m)的最小值.解： ( 1 )根据题设中有关字母的定义，k1 2,k2 1,k30,k41,kj0(j 5,6,7 L )b12,b22 1 3,b3 2 1 0 3,b4 4,bm 4(m 5,6,7, L )g(1) b1 4 12g(2)b1b2423,g(3)b1b2b3434,g(4)b1b2b3b4444,g(5)b1b2b3b4b5454.2) 一方面， g(m1

32、) g(m) bm 1n ， 根据 “数列 A 含有 n 项” 及 b j 的含义知故 g(m 1) g(m) 0,即 g(m) g(m 1)另一方面，设整数M max a1, a2,L ,an ，则当 m M 时必有bm n ，所以 g(1) g(2) L g(M 1) g(M) g(M 1) L所以g(m)的最小值为g(M 1).下面计算 g(M 1)的值：g(M 1) b1b2b3L bM 1 n(M1)(b1 n) (b2 n) (b3 n) L(bM 1 n)( k2k3LkM)( k3 k4LkM) ( k4k5 L kM) Lk22k3L(M1)kM(k12k23k3 LMkM)

33、 (k1 k2LkM)bm 1 n ，7分( kM )(a1 a2a3 Lan) bM12分a1a2a3Lan n 100 , g(M 1)100,(a1 a2 a3 L an ) n13 分g(m)最小值为 100.41 . 定义(a1, a2,an )|a1a2| a2a3 | L| an1an|为有限项数列an的波动强度 .(i)当 an ( 1时，求(a1，a2,L，加。)；a, b,c, d 满足 (a b)(b c) 0 ，求证： (a,b,c, d) (a,c,b,d) ； an 各项均不相等，且交换数列an 中任何相邻两项的位置，都会使数列的波动强度增加，求证：数列an 一定是

34、递增数列或递减数列因为（口一人乂人一r）>0，b>ct 或口若口 > A >f，则«出瓦 jd- ratc,b,d）a-b+c-d-£i+e-b-d -c bc-d-b-d 当 5 > c > d 时._EA = c -A + c -i/-d） = 2（cb） < 0, 当自三4时 ,42.对于n N （n 2）,定义一个如下数阵:上式=I + drm（dfb）M.当d>6>e时,上式=u-由+4一仁一（4一后）'0.即当白 >&>£时/T（d. b.cfd）-ratctbtti）

35、<0. 6 分若A < c,则瓦a）一r（5C1也）=力一4 + |匕-4|一+ a- bd|* = b-c+c-dl-lb-d<：0.（同曲）所以.当（口一5）（白一0,0时.父.瓦%J）号tS,g瓦（/）成立<,，寸分（m 证明：由（H）易知对于四个数的数列,若第三®的值介卜前两项的值之间.则交 接第二项与第三项的位置将使数列波动强度网小或不变聘此作为引理）下面来证明当叼>%时.Q为遑域数列.（ i）证明取,若叫叫）叫，因由引理知交换，%的位置将使波动强度减小或不变.与已知矛盾 1；%>/>%，则六/,的.%）0/一口/ + %-q/X%

36、一% |*|/一%|=武门”/.外）.与已知矛盾，<ii ）设与；> /风（3 W i，rr-2）,证明at >叫.若 I>鼻= >则由引理如交换日.,。山的位置将使波动酱度睡小或不变,与已知矛质.-用 >/注>珥，瞩«/.”q_"乌,刊*1）=六叼一”风,却1，。皿）.与已知矛盾，所以，a,11 分（iii）设呵 > 勺 >，证明11 > %若生，口*考查数列为加T，,，与，则由前面推理可得% >a>- >tjj >与q>%"->% 矛盾晰鼠.珥1>外12分螳上

37、,得证.同理可证：者均<口？时.有3J为送墙数列.13分北京市西城区年高三一模试卷数学（母科】参考春案 第7页（共7甄）ai2Lana22La2 nM M an2Lann1 i n , 1 j n ,当i能整除j时，a01 ；当i不能整除j时,naija1j a2janj -i 1 6 (i)当n 6时，试写出数阵A66并计算t(j)；j 1 nn麦大整数，求证：t(j) n;j 1i 1 in 1,、g(n)dx ,求证：g(n) 1 f (n) g(n) 1 .1 xana21Man1其中对任意的a.ij(n)若x表示不超过x的1 n(出)右 f (n) t( j), n j 1(I

38、)解：依题意可得，1 11 00 10 00 00 0100、6-00061 1 11 0 10 0 11 0 00 1 00 0 13 2 4 14. 4 分(n)解：由题意可知，t(j)是数阵Ann的第j列的和， n因此 t(j)是数阵Ann所有数的和. j 1而数阵Ann所有数的和也可以考虑按行相加.对任意的1 i n,不超过n的倍数有1i , 2i ,，-i . i因此数阵Ann的第i行中有二个1 ,其余是0 ,即第i行的和为-.t(j) 1 2 2j 1nnn所以 t( j)一 . 9 分j 1i 1 i(出)证明：由x的定义可知，- i-in n所以 二i 1 if (n)考查定积

39、分1dx x将区间1, n分成n1等分,1, 一 ，一，-dx的不足近似值为 x所以所以所以g(n)f (n)所以g(n)f (n)g(n) 1 .14分43.有 n个首项都是等差数列设第m个数列的第k项为n 11dx的过剩近似值为1 xn%x 1 xg(n)amk (m,k1,2,3, L ,n, n > 3),公差为 dm,并且 an,a2n,a3n,L ,ann 成等差数歹上dm pM p2d2 (3wmwn, p，p2是 m 的多项式)，并求 Pi P2 的值;(n)当d1 1, d2 3时，将数列dm分组如下:(d) &&), (d5,d6,d74,d9),L

40、(每组数的个数构成等差数列).设前m组中所有数之和为(cm)4(Cm 0),求数列2cmdm的前n项和Sn .(出)设N是不超过20的正整数，当n N时，对于(n)中的 Sn,求使得不等式1 ，C N ,一一(Sn 6) dn成立的所有N的值.50解：(i)由题意知amn 1 (n 1)dm.ain 1 (n 1)d2 1 (n 1)di (n 1)& di),同理，a3n a2n (n 1)(d3 d2) , a4n a3n (n 1)(d4 d3),a(n 1) n .ann a(n 1)n (n 1)9n dn 1) .又因为 an,a2n,a3n,L ,ann 成等差数列，所以

41、 a2n an a3n a2n LHnn故d2d1d3d2L dn dn 1 ,即 dn是公差为d2d1的等差数列.所以，dmd1(m1)(d2 d1) (2 m)d1 (m 1)d2 .令 p12 m,P2m 1 ,则dmpGp2d2,此时P1P21(n)当 d1 1, d2 3 时，dm 2m 1 (m N ).数列dm分组如下：(d1), (d2,d3,d4), (d5,d6,d7,d8,d9),L按分组规律，第 m组中有2m 1个奇数,所以第1组到第m组共有1 3 5 L(2 m 1) m2个奇数.注意到前k个奇数白W口为1 3 5 L （2k 1） k2, 22 24所以刖m 个奇数

42、的和为（m ） m .即前m组中所有数之和为 m4 ,所以（cm）4 m4.因为cm0,所以cmm,从而2cmdm_ m*(2 m 1) 2 (m N ).(2n 3) 2n 1 (2n 1) 2n.所以 Sn1 2 3 22 5 23 7 24 L2Sn 1 22 3 23 5 24 L(2n 3) 2n (2n 1) 2n 1_234nn 1故 Sn 2 2 22 22 2 L 2 2(2n 1) 22(2 22 23 L 2n) 2 (2n 1) 2n 12(2n 1)n 1n 12 2 (2n 1) 2(3 2n)26.2 1_-_n1_ _ n 1(2n 3)26 (n N ).所以

43、Sn(2n3)26.，,一1_n 1故不等式 一(S 6) bn 就是(2n 3)250(2n 1).50考虑函数 f(n) (2n 3)2n 1 50(2n 1) (2n 3)(2n 1 50) 100 .当 n 1,2,3,4,5 时，都有 f (n) 0,即(2n 3)2n 1 50(2n 1).而 f(6) 9(128 50) 100 602 0,注意到当n> 6时，f(n)单调递增，故有f (n) 0.11-因此当n>6时，(2n 3)250(2n 1)成立，即 (8n 6) dn成立.50所以，满足条件的所有正整数N 5,6,7, L ,20 . 14分44 .已知 S

44、n A A (a.,a2,a3,L ,* , ai 0 或 1, i 1,2,L ,n (n 2),对于U,V Sn, d(U ,V)表示U和V中相对应的元素不同的个数.(I)令 U(0,0,0,0,0)，存在 m 个V S5,使得 d(U,V) 2 ,写出 m 的值；(n)令 W (0,%2,1430),若 U,V Sn,求证：d(U ,W) d(V,W) d(U,V)；n个0(出)令U(a1,a2,a3,L ,烝)，若V 0 ,求所有d(U,V)之和.a2 a1 ,当 n N 且 n 2时,45 .已知定义在R上的函数f(x)和数列an, a a,anf(an 1),且 f(an) f (

45、an 1) k(an an 1),其中 a , k 均为非零常数.(i)若数列an是等差数列，求k的值；(n)令bn an 1 an (n N ),若b1 1 ,求数列bn的通项公式;解：(I)由已知 anf (an 1) , f(an)得an1 anf (an) f (an 1)由数列an是等差数列，得an 1所以,an an 1 k(an an 1 ): 所以k 1 .(出)若数列an为等比数列，求函数 f(x)的解析式.f(an 1) k(an an 1) (n 2,3,4,),k(an an 1) (n 2,3,4,).anan an 1 (n 2,3,4,).(n 2,3,4,),4

46、分(n)由b1a2a10 ,可得 da3a2 f(a2)f (a1) k(a2a1)0.1(a2knk(anan 1 )且当n 2时，bn an 1 anf (an) f (an 1)所以，当n 2时，bnan 1anf (an)f (an1)bn 1a nan 1 anan 1因此，数列bn是一个首项为 匕，公比为k的等比数列.所以 数列bn的通项公式是bn b1k n 1 kn 1 (n N ). 8分(出)若an是等比数列，由(n)知，bnkn1 (a2a1) (n N ),b1b2 L bn 1 (a2a1) (a3a2)L(anan 1) an a(n2),an a1 (b1 b2b

47、n 1) . 10 分当 k 1 时，an a1(a2a1)(n 1) (n 2).上式对n 1也成立，所以，数列an的通项公式为:an a (f(a) a)(n 1) (n N ).所以，当k 1时，数列an是以a为首项，f(a) a为公差的等差数列.12分当 k 1 时，an a1(a2a1)1kn 1 .(n 2).1 k上式对n 1也成立,所以ana (f(a)1 kn1 a)-1 kf(a) a1 k(f(a) a)kn11 k所以a * 0f(a) ka .所以 等式f (a) ka对于任意实数a均成立.所以 f (x) kx (k 1). 14分 . _ 一、 _ 一 、 一一*

48、 -一46.在单调递增数列an中，a12,不等式(n 1)an na2n对任意n N都成立.(I)求a2的取值范围；(n)判断数列an能否为等比数列？说明理由；一、111(出)设 bn (1 1)(1 -)L (1 -n), Cn 6(1 -n), 222* b_ c_求证：对任意的n N , bn cn 0. an 12(I)解：因为an是单调递增数列，所以 a2 a1，a22 .令 n 1, 2a1 a2 , a24,所以a22, 4 . 4分(n)证明：数列an不能为等比数列.用反证法证明：假设数列an是公比为q的等比数列，a12 0, an 2qn 1.因为an单调递增，所以q 1 .因为n N , (n 1