数学物理方法复习提纲

1、精品文档复变函数论复变函数：若在复数平面上存在一个点集 E,对于E中的每一点z,按照一定的规律，有个或多个复数值w与之相对应,则说在点集E上定义了一个复变函数，记作：w f(z),点集E叫作函数的定义域令：w f(z) u iv ,并将z x iy代入，则有:z x iyw f (z) u ivw f (z) u(x,y) iv(x, y)精品文档ex(cosy i sin y)初等复变函数：指数函数：ez exiy exeiy三角函数:1 iz iz x sin z , cosz sin z e e , tan z , cot z2icoszsin z1)因为 sin(z 2 )sin z,

2、 cos(z 2 )cosz ,所以sinz , cosz具有实周期22) sinz , cosz为无界函数。3) cos(z1z2)cosz1cosz2sin z1 sin z2sin(z1z2) sin z1cosz2cosz1sin z2.22/sin z cos z 11 ,1 ,双曲线函数：shz - e e , chz - e e 22thzshzchz对数函数:w u iv Lnz ln z iArgz幕函数：z eLnz eln%1Argz(为复常数)股指数函数：z ezLnezln| bziArg (为复常数) 复变函数的导数：设函数w f(z)是在区域E上定义的单值函数，对

3、于E上的某点z ,如果极限典1lim 上z) f(z)存在,则称函数w f(z)在点z处可导，此极限叫作 z 0 zdf (z)dz函数w f (z)在点z处的导数，表示为liml lim f(z z) f(z) z 0 z z 0z复变函数可导的充要条件：复变函数w f (z) u(x,y) iv(x, y)可导的充要条件是偏导数(当2), 2),(x, 上！)存在、连续，并且满足柯西-黎曼条件，即：xyxyu(x, y)v(x, y)u(x, y)v(x, y)xyyx解析函数(全纯函数，正则函数)：如果函数f(z)在Z0点及其邻域内处处可导，那么称f(z) 在Zo点解析。如果f(z)在区

4、域E内每一点都解析，那么称f(z)在E内解析，或称“2)为 内的一个解析函数。注：f(z)在某点4解析在该点可导该点连续该点有极限区域解析区域可导，即解析函数是函数在一个区域上的性质，而不是在一些孤立点上的性质。解析函数在定义域内的和、差、积、商(分母不为零)仍然为解析函数设给定二元调和函数u(x, y),作为解析函数f(z) u iv的实部，由柯西-黎曼条件可求 出相应的虚部，进而确定这个解析函数。设二元函数v(x,y)的全微分式为：dv dx dyx y考虑柯西-黎曼条件可得：dv dx dy y xv(x, y)的三种计算方法:(1) 曲线积分法：全微分的线积分与路径无关，可选取特殊路径

5、积分，使积分容易求容易验证u(x,y) x2 y2为调和函数:2u(x, y)2x由柯西-黎曼条件可得：、(X 2y xy2u(x, y) 2, y 2 2 0yv(x, y)u(x,y)yx2xdy所以有：dv dx dy 2ydx x y(1)曲线积分法:(x,y).(x,0)取如图1所示的积分路径，可求出积分(x,0)(x,y)v 2 ydx 2xdy 2 ydx 2xdy C(0,0)(x,0)其中C为积分常数。(x,y)2ydx 2xdy C 2xy C(x,0)(2)凑全微分显式法:, v . v ,dv dx dy 2ydx 2xdy d (2xy) x y所以有；v 2xy C

6、 不定积分法：v(x,y) 2x, v(x,y) 2yyx把x视为参数，v(x, y) 2x对y积分可得：v 2xdy (x) 2xy y(x)对v 2xy(x)求偏导数 一v 2y (x)x与v(x, y) 2y向比较可得：(x) 0(x) Cx所以由 v 2xdy (x) 2xy (x)可得：v 2xy C所以有：f(z) u(x, y) iv(x, y) (x2 y2) i(2xy C) z2 iC可把x 二,y 二代入上式求出 22i复变函数积分：复变函数的积分归结为两个实变函数的曲线积分：lf(z)dz lu(x,y) iv(x, y)(dx idy) lu(x, y)dx v(x,

7、 y)dy i lv(x, y)dx u(x, y)dy若曲线l由参数方程x Mt), y y(t) , L t t2给出则有dz dx idy z (t)dt x (t)dt iy (t)dt ,可得积分的计算公式t2lf(z)dz lu(x,y) iv(x, y)(dx idy) t ux(t),y(t) ivx(t), y(t) z (t)dtt2t ux(t),y(t) ivx(t),y(t)x(t) iy (t)dtt1t2t2、ux(t),y(t)x(t) vx(t),y(t)y(t)dt i t vx(t),y(t)x (t) ux(t),y(t)y (t)dt t1t1高阶导数

8、公式设f(z)在区域E内是解析的，在闭区域E上是连续的，l为E的边界，对于区域E内的任点z, f(z)可以求导任意多次，第n阶导数可表示为:f(n)(z)n!O -i2 l(f() z)n1d上式可看作在柯西公式 f(z) oXUd对z求n次导，其中等式右边在积分号内对 i2 1 z工()关于z求n次导。 z幕级数：Cn(z zo)n Co Ci(z zo)Cn(z z )nn 0Cn|lim -RRn Cn 1R“m V|Cn|其中：系数Cn和固定点zo都是复常数，z是一个复变量 幕级数收敛半径的比值判别法(达朗贝尔判别法)幕级数收敛半径的根式判别法(柯西判别法)： 奇点法：幕级数中心z。到

9、最近奇点的距离即为收敛圆的半径 R收敛圆：z z。 R泰勒级数：定理：设函数f(z)在区域E上是解析的，z。为区域E内任一点，在区域E内的 圆C:z z。 R中，f(z)可以展开为泰勒级数:f (z)Cn(z zo)n: f (zo)(z zo)nn 0non!泰勒级数的收敛半径R为zo到区域E的边界的最短距离将函数展开为泰勒级数的方法1.直接计算系数Cn 1f (n)(z0):例题.以zo 。为中心，将f(z) ez展开为泰勒级数。 n!解：f(z)ez的各阶导数为f (z)cn0)1 ze n!1z z 0 n!所以:2ez 1 z 2!n zn!n zn 0 n!2.换元法:例题.试分别

10、以Zo0及Z01为中心将函数f(z)印开成Taylor 级数,并指出其收敛半径.解：利用级数zn ,1 z n 01来展开f (z)以zo0为中心，则有：f(z)1 ( z)n2( z),n 0(n 1)zn , z 1n 0洛朗定理：若函数f(z)在环形区域R1zoR2内解析，则f(z)可在环形区域内任一点1。f(z)的奇点是z 1,从中心z00到z1的距离为1,所以收敛半径R 3.在收敛圆内逐项求导法(求积分法)1 一 .例题.以z00为中心，将函数f(z) 2展开为Taylor级数(1 z)解：已知,zn , z 1,等式左边对z求导，右边对z逐项求导可得:1 z n 0z展开为罗朗级数

11、，其形式为：f (z) cn(z z)nn其中展开系数为：cn 7 di2 l(z0)n1积分路径l为环形区域内绕z0的任一简单闭合曲线。1cn(z z0)n称为主要部 n罗朗级数中f1(z)cn(z z0)n称为展开式的正则部分,f2(z) n 0分。罗朗级数f(z)cn(z z)n在环形区域电 z 4R2内绝对且一致收敛n罗朗级数展开方法举例z例题.将函数f(z) 与在以z0 0为中心的环形区域0 z内展开为罗朗级数。z解：f(z)12 z nn zo n!n 2 zo n!在上式中令z再把l写成n可得：f(z) 与 znz2(n 2)!例题.已知函数f(z)1, 一 一，-2,以z1为中

12、心将函数z 1f(z)展开成罗朗级数解：已知f(z)1z2 1上式中的第二项1， 一，一有一个奇点 z 1 ,所以在zo1为圆心的圆周z 1 2内,1 1 一 1，可以展开为泰勒级数:2 z 11141 (J4n o(1)n(z 1)n,所以有：f(z) J z2 1zo外处处可孤立奇点：若函数f(z)在z zo不可导(或无定义)，而在”的任意小邻域内除导，则称点z zo是f (z)的一个孤立奇点。孤立奇点的分类及其判定 可去奇点：若极限lim f(z)存在，则称zo为f(z)的可去奇点。 z zo极点.零点：不包为零的解析函数f(z)如果能表示成f (z) (z zo)m (z) 其中m为正

13、整数，(z)在点zo点解析，且(zo) o ,那么zo为f(z)的m阶零点。零点判定定理：如果函数f(z)在zo点解析，那么zo为f(z)的m阶零点f(zo)f (zo)f(m1)(z0)o, f (m)(zo)o例如：z 1为f(z) z3 1的一阶零点极点：如果函数f(z)在其孤立奇点Z0邻域内的罗朗级数中的主要部分为有限项f (z)cn(z zo)nn mc (m 1)Cn(Z Zo)mm 1(z zo) (z zo)nC 1(z zo)co c1(z zo)P(z)m(z zo)则称Zo为函数f(z)的m阶极点。上式也可表示为f(z)P(z) Cm C(mi)(Z Zo)Ci(Z Zo

14、)m 1 C(Z Z)m对于P(Z),有P(Zo)0且为Z0邻域内的解析函数(3)本性奇点：函数f(Z)在其孤立奇点Z0邻域内的罗朗级数中的主要部分有无限项留数概念(Residue)：若点Zo是函数f(Z)的一个孤立奇点，函数f(Z)在环形区域0 z z0R内解析，则在此环形区域内，f(Z)可展开成罗朗级数nn11nf (z)Cn(ZZ0)C n(Z Z0 ) C 1 (ZZ0)C0C1(ZZ0)Cn (ZZ0 )n罗朗级数f(z)Cn(Z Z0)n的(z Z0)1项的系数C1f(z)dz叫作函数f (z)在4点ni2 C的留数(或残数)，记作Res f (z，Z0。留数定理：设函数f(z)在

15、简单闭合曲线C所围区域E内除有限个孤立奇点Z1,Z2, Zn外处n处解析，在闭区域E上除z1,Z2, Zn外连续，则有： f(z)dz i2 Res f (z), ZkCk 1其中沿曲线C的积分方向为逆时针方向。留数的计算 若zo为f(z)的可去奇点，zo为中心的罗朗级数中不含负幕次项，则：Res f(z), Z0 0(2) .若点 Z0 为 f (z)的一阶极点：Resf (z),Zo c 1 lim(z z)f(z)Z Zo若函数f(z)可以表示为f(z)且上的特殊形式，其中函数P(z)和Q(z)都在Z0点解析，点Q(z)Z0为Q(z)的一阶零点(Q(Zo) 0),且P(Zo) 0,点Z0

16、必为f(z) 以豆的一阶极点，则P(Zo)Q(Zo)Q(z)有公式：Resf(z),zo lim(z z)f(z) lim P(Z)z zoz zo Q(z) Q(z0)Z Zo(3) .若Zo为f (Z)的m阶极点，则函数f (Z)在环形区域0 Z Zo R内的罗朗级数展开式为：f (z)m(z Zo)(ZZo)C 1,、Co C1(z Zo) (Z Zo)可容易得到计算f(z)在点Zo的留数的公式:1dm1m,z0 C1后Fimw(z z0) f(z)(4) .若益为f(z)的本性奇点，求留数采用罗朗级数展开法或直接计算围道积分。复数形式的傅里叶级数：S(x)&11&Cke 1， Ck ,

17、 f(x)e 1 dx,k211对于复数形式的傅里叶级数，尽管f(x)是实变函数，但其傅立叶系数Ck却可能是复数。.k xi_容易证明：在区间l,l上的函数系e 1 :k 0, 1, 2, 有如下性质:.k x . m xl i ii e 1 (e 1 ) dx.k x .m x1 i ie 1 e 1 dx10 k2l k函数：如果一个函数在(,)上满足下列条件:(x Xo)0,XoXoba (x x)dx0,1,(a,b都 Xo,或都Xo)(aXob)这样的函数(x x0)称为函数。函数等价的泛函定义：若对于任意一个定义在(，)上的连续函数f(x)总有:f (Xo)(x Xo)f(x)dx

18、数理方程分离变量法解题的一般步骤(1)代入试探解u(x,t) X(x)T(t),将偏微分方程的定解问题通过分离变量转化为常微分方程的定解问题。(2)依据齐次边界条件，确定本征值 n和本征函数Xn(x) o(3)求解关于T(t)的常微分方程的通解Tn(t),把得到的通解与本征函数相乘得到本征解 Un(X,t)Xn(x)Tn(t),这时本征解Un (X,t )中还包含着任意常数。 利用叠加原理，求出定解问题的解U(X,t) Un(X,t)。 n 1(5)应用本征函数的正交性以及初始条件确定任意常数。例题：求细杆的导热问题，杆长为l,两端保持为摄氏零度，初始温度分布为:x(l x)t 02l解：本题

19、的定解问题为:ut u(x,t)(0 x l,t 0)u(x,t)0, u(x,t) x(l x)l2xl 0, (t 0),(0 x l)应用分离变量法，设u(x,t) X(x)T(t),代入到泛定方程和边界条件可得:D X (x)X(0)X(x)0,X(l)a2T(t)式的本征值nF(n0,1,2,),本征解为Xn(x)An sin - xl 式的解为：Tn(t)Bne则本题的本征解为Un(x,t)Xn(x)Tn (t)二)2tCne lnsin 一 xl其中待定常数CnAnBno本题的解u(x,t)表示为本征解Un(x,t)的线性叠加:u(x,t) un(x,t)n 1Cnen 1(-)

20、2tnl sin x l代入初始条件可得:U(x,0)x(l x)l2Cn sinn 1展开系数为：Cnl x(l x)0 l2.一 nsin 一 lC2k 2xdx2k 13(2k 1)3(k 0,1,2,)所以问题的解为:u(x,t)k8-3 -30(2k 1).(2k 1) sinl(2k 1)2 2 a2xe 丁 t用本征函数展开法求解非齐次方程 齐次边界条件和零初始条件(齐次定解条件)下的非齐次方程的定解问题例.设有如下定解问题2V2F a V2V-2 x0 VVtf(x,t),xl 0t 00,则用本征函数展开法求解的步骤如下:(0(t(0x l,t 0)0)x l)第一步.求解相

21、应齐次边界条件的齐次方程的本征解2VFv2V2 x V:,(0 x l,t 0)xl 0 (t 0)由分离变量法(参考例1)可得本征解系Xn(x) sinnpx, (n 1,2,)第二步.设非齐次方程的本征解为Vn(x,t) (t)Xn(t)Tn(t)sin：x,非齐次方程的解可表示为本征解的线性叠加:V(x,t)Vn(x,t)n 1Tn (t)sinn 1nxl第三步.把非齐次方程中的自由项用本征解系nsin 一 lx, (n1,2,)展开f(x,t) fn(t)sinn 1其中展开系数fn(t)由本征解sin n x的正交性求出如下 l2 lfn(t)- 0 f (x,t)sinn一xdx

22、 l第四步.把非齐次方程的解V(x,t)nTn (t)sinn 1lf(x,t)fn(t)sin x代入到定解n 1l问题中的泛定方程可得:2VTn(t)sinn 12V-2 xnx lf(x,t)a2 (十)2Tn(t)sinnfn (t) sin-x考虑到本征解sin Lx的正交性，由上式可得:l2 n 2-Tn(t)a (-) Tn(t)fn(t)同理，把非齐次方程的解V(x,t)Tn(t)sinn-x代入到初始条件可得:V t 0 t 00tTn(0) Tn(0) 0Tn (0)sinn xn 1lTn(0)sin x 0n 1l则可得关于的定解问题:2 n 2-Tn(t)a (下)T

23、n(t)fn(t)Tn(0)Tn(0)0上式可由拉普拉斯变换来求解，所得的解如下:)d1. an l tan .Tn(t)”厂彳0%(师丁第五步.把工代入V(x,t) Vn(x,t)(t)sinn-x得到非齐次方程的定解问题的解n 1n 11为：1 tannV(x,t) 0 fn( )sin (t )d sin xn 1 an 011由上面的推导可知解满足泛定方程，齐次边界条件和零初始条件。对于齐次边界条件和非零初始条件的非齐次方程的定解问题的求解，可由叠加定理化为齐 次边界条件和非零初始条件的齐次方程，以及齐次边界条件和零初始条件的非齐次方程的 定解问题的线性叠加。例.已知如下的齐次边界条件

24、和非零初始条件的非齐次方程的定解问题0)1)2U 2 2UF a Tf(x,t), (0 x 1,tt xU|X0 U|X10 (t 0)U t 0(x),-y|t 0(x) , (0 x令U(x,t) V(x,t) W(x,t),由叠加定理可得如下两个关于 V(x,t)和W(x,t)的定解问题:V 2V.a f(x,t), (0 x l,t t xVx0 Vxi 0 (t 0) VV t 0 | t 00, (0 X 1 )0)2W2 2W一ra2T，(0 X 1,t 0)t xWx0 Wxi 0 (t 0)WWt 0(x),|t 0(x), (0 x 1)关于V(x,t)和W(x,t)的定

25、解问题的线性叠加即为原来的定解问题。它们的求解可用前面介绍的特征函数展开法以及分离变量法求解二阶线性常微分方程的标准形式为:例如：勒让德方程:例如：贝塞尔方程:,2 p(x)dy q(x)y(x) 0dxdx2 d2d(1 x )7 2x n(n 1)0dxdx2_d 2x d n(n 1)2-2 -20dx 1 x dx (1 x )222、x y (x) xy (x) (x n )y(x) 01 x2 n2y (x) y (x) y(x) 0 xx二阶线性常微分方程中的函数y(x), p(x)和q(x)在某个区间a,b内为实函数，而对方程级数解法的讨论需要在复数z平面上进行不失一般性，我们

26、讨论复变函数w(z)的二阶线性常微分方程,2, p(z)dw q(z)w(z) 0dzdz在满足初始条件W(Z0) C0, W(Z0) C1下的级数解，其中C。，C1为任意给定的复常数。施图姆刘维尔(SL)本征信问题施图姆刘维尔(SL)型方程：形式为色年仪)包q(x)y (x)y 0,(a x b)的二阶常 dx dx微分方程称为施图姆一刘维尔(SL)型方程，其中：p(x)为核函数，(x)为权函数， 为分 离变量过程中引入的参数。a( x) dx注：一般的二阶常微分方程y a(x)y b(x)y c(x)y 0,乘上函数e就可以化成施da(x)dxdxey图姆刘维尔(SL)型方程:a(x) d

27、xa(x)dxb(x)e y c(x)e y 0施图姆刘维尔(SL)本征信问题：在一定的边界条件下，求解施图姆刘维尔 (SL)型方程 的 值(本征值)以及相应的非零解(本征函数)。如：在施图姆刘维尔(SL)方程中：以及自然边界条件y( 1)取 p(x) 1 x2 , q(x) 0,(x) 1,两边界点 a 1和y(i)为有限值，则可构成如下的勒让德方程本征信问题ddx(12 dyx ) y 0dx自然边界条件：2 d 2ydy(1 x )2 2x dxdxy( 1)有限，y有限取 p(x) 1 x22m mq(x)2 ，1 x(x) 1,两边界点a1,b 1,以及自然边界条件y( 1)和y(1

28、)为有限值，则可构成如下的连带勒让德方程本征信问题2, 2,d 2、dy】 mc 2、d y dy(1 x )2 y y 0(1x)2 2x dx dx 1 xdx dx自然边界条件：y( 1)有限，y(1)有限2-m)y 01 x2取p(x) x , q(x) ,(x) x,两边界点ax0, bR,以及边界条件y(0)有限,y(R) 0,则可构成如下的贝塞尔方程本征信问题:Xdxn2d 2ydyyxy0x -7xdxdxy(0)有限，y(R)02 n -y xxy方程的常点：如果方程(1)的系数函数p(z)和q(z)在选定的Z0点的邻域内都是解析的，则称 点Z0为方程(1)的常点。方程常点邻

29、域内的级数解:定理：如果p(z)和q(z)在圆zR内是单值解析的，则方程(1)在这圆内存在唯一的解析解w(z)满足初始条件w(z0)C0W(Z0) C1 ,其中C0 , C1为任意给定的复常数。既然方程(1)在常点z0的邻域z0R内存在唯一的解析解w(z),则w(z)可表示为此邻域上的泰勒级数： w(z)an(z z0)n, (z z0R)n 0其中系数ao,ai, a2,待定。 2例如：勒让德方程d4 3T5如/y 0 dx 1 x dx 1 x其中P(X)二xy, p(X)皿?，则X 0为其常点，根据常点邻域内级数解的定理,1 X1 X勒让德方程在X 0的邻域内具有泰勒级数形式的解 y(X

30、)akXkok 0 勒让德(Legendre)方程的导出勒让德方程来源于在球坐标系下用分离变量法求解偏微分方程。图8-1如图8-1为球坐标系的示意图，球坐标与直角坐标的关系为:x r sin cos , y r sin sin ,z r cos三维拉普拉斯方程在球坐标系下的表达式为:2u 04 - (rr r2-)r1, .-(sinr sinu)2 . 22r sin应用分离变量法求解，令u(r,)R(r)(代入方程可得:r2 sin d(sin1d222；-20r sind2用_乘以上式可得:R1 d , 2 dR、(r)R dr rsin d(sin1 d2- 22sin d1 d /

31、2 dR、(r 一)R dr rsin(sin2d 、11 d1 )- 2. 2dsin d等式左端只与r有关，右端只与有关,要使等式成立只有左右两端都等于一个常数,令这一常数为n(n 1),则可得:D 1g IdR) n(nR dr r1)2 d2R r dr22r n(n 1)R 0 dr11 d / .d 、(sin)sin d d11. 2 sind2n(n 1)sin d . d 、(sin )d dn(n 1)sin21 d2一1其中式为欧拉型方程，令r et,参考第七章例4可得其通解解为:R(r)ArnA2r (n 1)式中等式左端只与有关，右端只与 有关，由周期性条件 (2 )

32、()可令等式两端都等于常数m2(m0,1,2,)，则可得:1 d2一12d2m-d 2m20)B1 cosmB2 sin msin(sin d d2n(n 1)sinsin d(sin)n(n 1)20 sin上式称为n阶连带勒让德方程。在式中作变量替换，令x cos ,有xy(x),则可得:d dy dx . dy sin d dx ddx1 d , d 1 d _ 2 dy dx d 2 dy (sin )( sin)(1 x ) sin d d sin dxdx d dx dx则式的n阶连带勒让德方程可化为：兴1 x2)dy n(n 1) dx dx1 x2y1 2,2亦即:(1 x2)

33、dj 2xdy n(n 1) -ydx dx1 x其值为有限的解是连带勒让德多项式Pnm(x) 当m 0时，在这种条件下u(r,)与 无关，则n阶连带勒让德方程可进一步简化为 勤让 德方程:(1 x2)-dy 2xdy n(n 1)y 0dx2 dx总结：球坐标系中三维拉普拉斯方程的解为：u(r, , ) R(r)()()m 0n m(An,mrn Bn,mr (n 1)Pnm(cos )cosm(Cn/n D n,m(n 1) 用3 ) sin mm 0n mm 0 n m勒让德方程和自然边界条件构成的本征值问题在球坐标系中分离变量已得勒让德方程：,222、d y c dy , 八 八 d

34、y 2x dy n(n 1)(1 x )5 2x n(n 1)y 02 22 y 0dx2dxdx2 1 x2 dx 1 x2勒让德方程的解在边界x 1, 1为有限值的自然边界条件 勒让德多项式的微分表示(罗德里格斯公式)：Pn(x)六 MV 1)n2 n! dx0满足自然边界条件，即勒让德多项式为勒让德方程(1 x2) 2x n(n 1) dx2dx在两端点x1处为有限值的本征解。勒让德多项式的积分表示(拉普拉斯积分):由复变函数中解析函数的高阶导数公式，可把勒让德多项式的微分式表示为如下的围道积分:Pn(X)1 dnn n2 n! dx(x2 1)n1 1(z2Q 1)ni2 2n C(z x)dz其中C为复数z平面上围绕z x的任一闭合围道。勒让德多项式的母函数(生成函数)公式:1c Pn(x)z , X 1, z 11 2xz z n 0函数I 1= 称为勒让德多项式Pn(x)的母函数。. 1 2xz z2勒