家辉培优孙楠老师教研文章圆锥曲线中直线的设法

1、精选优质文档-倾情为你奉上圆锥曲线中直线的设法作者：家辉培优数学老师孙楠在圆锥曲线章节中，直线与曲线的综合问题是考察重点。但是很多同学在第一步，即如何设直线处就被卡住了。那么该如何设直线方程呢？在回答这个问题之前，我们先来看看直线方程一共有哪几种形式。高中阶段，直线方程的形式共有如下十种：1. 点方向式：，；2. 点法向式：，；3. 一般式：；4. 斜截式：，斜率需存在；5. 截距式：；6. 两点式：，；7. 点斜式：，斜率需存在；8. 参数方程：，；9. 参数方程：倾斜角为，；10.参数方程：极坐标中，。 在直线与曲线的综合题目中，根据不同的情况选择不同的方程形式会有天差地别的效果。一般而言

2、，“点斜式”是我们的首选。理由是在大多数的题目中，直线都会经过某一个定点，设成点斜式后，则只含有一个未知量，便于处理。但设“点斜式”前，需要先将特殊情况，即斜率不存在时的情况讨论掉，再设“点斜式”。下面，我们以椭圆为例，介绍各种直线的设法。例1. 若直线过点，且与椭圆相切，求直线的方程。【分析】典型的直线过定点，采用“点斜式”为最佳方案，注意先讨论特殊情况。解：1°若不存在，则直线为，与椭圆相切，故符合题意。2°若存在，则设直线为，联立得，因为相切，故该方程只有一根，即，得，故直线为。综上，直线的方程为或。【分析】上题是典型的“点斜式”的应用，再看下题。例2. 设直线经过椭

3、圆的右焦点，交椭圆于两点，若椭圆的左焦点为，求面积的最大值及此时直线的方程。【分析】典型的直线过定点，采用“点斜式”为最佳方案。解：易知椭圆的焦点坐标为，且直线不能与轴重合，1°若不存在，则直线为，。2°若存在，则设直线为，联立得，令，则，整理得，由可得（时取等），故（时取等）。综上，比较1°与2°可得，面积的最大值为，此时直线的方程为。【分析】从上面的解答可以看出，“点斜式”的缺点有两个：一是需要考虑其斜率不存在的情况，二是计算量太大。下面我们用“点斜式变形”来重新设直线方程。解：设直线方程为，（此设法自动包含斜率不存在的情况，且自动回避与轴重合的情况

4、）联立得，令得（时取等），所以面积的最大值为，此时直线的方程为，即。【分析】比较两种设直线的方法，显然可知在此题中，“点斜式变形”更有优势！有些题目里，会出现两条直线，若两条直线的斜率有关系的话，“点斜式”还可以用在两条直线中。 例3. 过椭圆上一点，任作两条倾斜角互补的直线，分别交椭圆于两点，求证：直线的斜率为定值。【分析】倾斜角互补，则斜率互为相反数，设一个可将两条直线全部搞定。证明：两直线倾斜角互补，斜率互为相反数，设。联立与椭圆可得，由韦达定理得，即，同理可得。【分析】若某些题目里，直线并不是过一个定点，而是满足某种关系，则需要灵活地选择直线形式。例4. 已知为坐标原点，、是椭圆（）的

5、两个焦点，是以为直径的圆，若直线与相切，并与椭圆交于不同的两点、，且，则当时，求的面积的取值范围。【分析】直线并不过定点，而是与圆相切，且直线斜率不存在时也符合题意，但斜率不能是零。故直线的设法采用“斜截式变形”的设法为最佳方案。解：设：，与相切，可得。联立与椭圆可得，由韦达定理得，将韦达定理代入整理得，可得。，令可得。 例5. 求证：椭圆上任一点与短轴两端点的连线在轴上的截距之积为定值。【分析】与为两条直线，且两直线的斜率没有关系，故不考虑“点斜式”。观察到是直线的两个截距，是直线的两个截距，故采用直线的“截距式”为最佳方案。或者利用“两点式”表示出直线，“两点式”表示出直线，再令分别表示出。下题只给出“截距式”的解法，“两点式”可请读者自行解答。解：设，。点在椭圆上，也在及上，由后面两式可得，再代入第一个式子可得。【总结】一、若直线过定点，