导数用于单调性和极值问题

1、精选优质文档-倾情为你奉上专题十四、导数用于单调性和极值问题题型一利用导数判断函数的单调性1.证明：函数f(x)在区间上单调递减题型二利用导数求函数的单调区间2.求下列函数的单调区间(1)f(x)x3x；(2)yexx1.3.求函数yx2ln x2的单调区间题型三已知函数单调性求参数的取值范围4.已知函数f(x)x2(x0，常数aR)若函数f(x)在x2，)上是单调递增的，求a的取值范围5.(1)已知函数f(x)x3bx2cxd的单调减区间为1,2，求b，c的值(2)设f(x)ax3x恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围题型四用单调性与导数关系证不等式6.当x0时，证明不等式ln(x1)xx

2、2.7.当0x时，求证：xsin xx3.题型五、函数的极值问题8下列函数存在极值的是()Ay2xByCy3x1Dyx29设函数f(x)lnx，则()Ax为f(x)的极大值点Bx为f(x)的极小值点Cx2为f(x)的极大值点Dx2为f(x)的极小值点10若函数yf(x)是定义在R上的可导函数，则f(x0)0是x0为函数yf(x)的极值点的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件11函数yxex的最小值为_12若函数f(x)(a0)在1，上的最大值为，则a的值为_题型六、利用极值求参数范围13.已知函数f(x)asinxbcosx在x时取得极值，则函数yf(x)是()

3、A偶函数且图象关于点(，0)对称B偶函数且图象关于点(，0)对称C奇函数且图象关于点(，0)对称D奇函数且图象关于点(，0)对称14已知函数f(x)x3ax2bxc，f(x)在x0处取得极值，并且在区间0,2和4,5上具有相反的单调性(1)求实数b的值；(2)求实数a的取值范围题型七、导数用于解决实际问题15用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为()A6B8C10D1216一工厂生产某型号车床，年产量为N台，分批进行生产，每批生产量相同，每批生产的准备费为C2元，产品

4、生产后暂存库房，然后均匀投放市场(指库存量至多等于每批的生产量)设每年每台的库存费为C1元，求在不考虑生产能力的条件下，每批生产该车床_台，一年中库存费和生产准备费之和最小题型八、图像问题17.二次函数yf(x)的图象过原点且它的导函数yf (x)的图象是如图所示的一条直线，yf(x)的图象的顶点在()A第象限B第象限C第象限D第象限18.设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如下图所示，则导函数yf (x)的图象可能是()巩固练习：19.定义域为R的函数f(x)满足f(1)1，且f(x)的导函数f (x)，则满足2f(x)x1的x的集合为()Ax|1x1Bx|x1Cx|x1Dx|x1

5、20函数f(x)sinx2xf()，f(x)为f(x)的导函数，令a，blog32，则下列关系正确的是()Af(a)f(b)Bf(a)f(b)Cf(a)f(b)Df(|a|)0时，12x0时，(xk)f (x)x10，求k的最大值专题十四、导数用于单调性和极值问题参考答案1.证明f(x)，又x，则cos x0，xcos xsin x0，f(x)0，则x和，令f(x)0，即ex10，则x(0，)；令y0，即ex10，2x3a0，a2x3在x2，)上恒成立a(2x3)min.x2，)，y2x3是单调递增的，(2x3)min16，a16.当a16时，f(x)0(x2，)有且只有f(2)0，a的取值范

6、围是(，165.解(1)函数f(x)的导函数f(x)3x22bxc，由题设知1x2是不等式3x22bxc0，af(0)0证得规范解答 令f(x)ln(x1)xx2，(4分)则f(x)1x.(6分)当x(0，)时，f(x)0，f(x)在(0，)上是增函数(8分)于是当x0时，f(x)f(0)0，当x0时，不等式ln(x1)xx2成立(12分)7.证明设g(x)xsin xx3，x，g(x)1cos xx22.x，0sin xx，sin22，g(x)0，g(x)在上单调递减，g(x)g(0)0，xsin xx3.8.答案D解析画出图像即可知yx2存在极值f(0)0.9.答案D解析本节考查了利用导数

7、工具来探索其极值点问题f(x)(1)0可得x2.当0x2时，f(x)2时f(x)0，f(x)单调递增所以x2为极小值点对于含有对数形式的函数在求导时，不要忽视定义域10.答案B解析如yx3，y3x2，y|x00，但x0不是函数yx3的极值点11.答案解析y(x1)ex0，x1.当x1时，y1时y0yminf(1)12.答案1解析f(x).当x时f(x)0，f(x)在(，)上是递减的，当x0，f(x)在(，)上是递增的当x时，f()，0.因为函数在单调区间0,2和4,5上具有相反的单调性，所以应有2a4，解得6a3.15.答案B解析设截去的小正方形的边长为xcm，铁盒的容积为Vcm3，由题意，得

8、Vx(482x)2(0x24)，V12(24x)(8x)令V0，则在(0,24)内有x8，故当x8时，V有最大值16.答案解析设每批生产x台，则一年生产批一年中库存费和生产准备费之和yC1x(0xN)yC1.由y0及0xN，解得x(台)根据问题的实际意义，y的最小值是存在的，且y0有唯一解故x台是使费用最小的每批生产台数17.答案A解析设f(x)ax2bxc，二次函数yf(x)的图象过原点，c0，f (x)2axb，由yf (x)的图象可知，2a0，a0，0，0，故选A.18.答案A解析f(x)在(，0)上为增函数，在(0，)上变化规律是减增减，因此f (x)的图象在(，0)上，f (x)0，

9、在(0，)上f (x)的符号变化规律是负正负，故选A.19.答案B解析令g(x)2f(x)x1，f (x)，g(x)2f (x)10，g(x)为单调增函数，f(1)1，g(1)2f(1)110，当x1时，g(x)0，即2f(x)x1，故选B.20.答案A解析f(x)cosx2f( )，f()cos2f()，即f().f(x)sinxx.又f(x)cosx10，故f(x)在R上递减又f(log32)，即f(a)f(b)21.答案A解析令f(x)x33xm，则f (x)3x233(x1)(x1)，显然当x1时，f (x)0，f(x)单调递增，当1x1时，f (x)0，则此时无解；若a0，则a，综上

10、知，a.23.答案(3，2)解析f (x)3x23，设切点为P(x0，y0)，则切线方程为y(x3x0)(3x3)(xx0)，切线经过点A(1，m)，m(x3x0)(3x3)(1x0)，m2x3x3，m6x6x0，当0x01时，此函数单调递增，当x01时，此函数单调递减，当x00时，m3，当x01时，m2，当3m0时，e2x1，f(x)2(1e2x)0时，f(x)0时，12xe2x0，即12x0，f(x)在(0，)递增令g(x)ax22(a1)xa4(a1)24a28a42当a0时，0，此时g(x)0的两根x1，x2a0，x10，x20，x(0，)，f(x)0故f(x)在(0，)递增3当a0，

11、即a0，x20令f(x)0，x(x1，x2)，f(x)0，x(0，x1)(x2，)f(x)在(x1，x2)递增，在(0，x1)和(x2，)上递减综上所述：当a0时，f(x)在(0，)递增当a0时，f(x)在(x1，x2)递增，在(0，x1)和(x2，)递减(其中x1，x2)当a时，f(x)在(0，)递减26.分析如图，设出AD的长，进而求出|AB|表示出面积S，然后利用导数求最值解析设矩形边长为AD2x，则|AB|y4x2，则矩形面积S2x(4x2)(0x2)，即S8x2x3，S86x2，令S0，解得x1，x2(舍去)当0x0；当x2时，S0，当x时，S取得最大值，此时，S最大，y.即矩形的边

12、长分别为、时，矩形的面积最大点评本题的关键是利用抛物线方程，求出矩形的另一边长27.解析(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)，由导数的几何意义，且切线与yx垂直得f(1)a12，a.(2)由(1)知f(x)lnx，f(x).令f(x)0解得x1或5，1不在定义域之内故舍去当x(0,5)，f(x)0，f(x)在(5，)递增f(x)在x5时取极小值f(5)ln5ln5.28.分析 解析(1)f(x)的定义域为(，)，f (x)exa.若a0，则f (x)0，所以f(x)在(，)单调递增若a0，则当x(，lna)时，f (x)0，所以f(x)在(，lna)单调递减，在(lna，)单调递增(2)由于a1，所以(xk)f (x)x1(xk)(ex1)x1.故当x0时，(xk)f