高中数学统计案例 13 可线性化回归分析练习 北师大版选修12

1、1.3可线性化的回归分析明目标、知重点1.进一步体会回归分析的基本思想.2.通过非线性回归分析，判断几种不同模型的拟合程度1常见的非线性回归模型幂函数曲线yaxb，指数曲线yaebx.倒指数曲线yae，对数曲线yabln_x.2非线性函数可以通过变换转化成线性函数，得到线性回归方程，再通过相应变换得到非线性回归方程探究点一非线性回归模型思考1有些变量间的关系并不是线性相关，怎样确定回归模型？答首先要作出散点图，如果散点图中的样本点并没有分布在某个带状区域内，则两个变量不呈现线性相关关系，不能直接利用回归方程来建立两个变量之间的关系，这时可以根据已有的函数知识，观察样本点是否呈指数函数关系或二次

2、函数关系，选定适当的回归模型思考2如果两个变量呈现非线性相关关系，怎样求出回归方程？答可以通过对解释变量进行变换，如对数变换或平方变换，先得到另外两个变量间的回归方程，再得到所求两个变量的回归方程例1 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：身高x/cm60708090100110体重y/kg6.137.909.9912.1515.0217.50身高x/cm120130140150160170体重y/kg20.9226.8631.1138.8547.2555.05试建立y与x之间的回归方程解根据表中数据画出散点图如图所示由图看出，样本点分布在某条指数函数曲线yc1ec2x的周围，于是令z

3、ln y.x60708090100110120130140150160170z1.812.072.302.502.712.863.043.293.443.663.864.01画出散点图如图所示由表中数据可得115，2.962 5，iyi4 370.5，173 000，b0.020，ab 0.663，z与x之间的线性回归方程为z0.6630.020x，则有ye0.6630.020x.反思与感悟根据已有的函数知识，可以发现样本分布在某一条指数型函数曲线yc1ec2x的周围，其中c1和c2是待定参数；可以通过对x进行对数变换，转化为线性相关关系跟踪训练1在彩色显影中，由经验知：形成染料光学密度y与析

4、出银的光学密度x由公式yAe (b<0)表示现测得试验数据如下：xi0.050.060.250.310.070.10yi0.100.141.001.120.230.37xi0.380.430.140.200.47yi1.191.250.590.791.29试求y对x的回归方程解由题给的公式yAe，两边取自然对数，便得ln yln A，与线性回归方程相对照，只要取u，vln y，aln A.就有vabu.题给数据经变量置换u，vln y变成如下表所示的数据：ui20.00016.6674.0003.22614.28610.000vi2.3031.96600.1131.4700.994ui2

5、.6322.3267.1435.0002.128vi0.1740.2230.5280.2360.255可得ln y0.548，即ye0.548e0.548·e1.73e，这就是y对x的回归方程探究点二非线性回归分析思考对于两个变量间的相关关系，是否只有唯一一种回归模型来拟合它们之间的相关关系？答不一定我们可以根据已知数据的散点图，把它与幂函数、指数函数、对数函数、二次函数图像进行比较，挑选一种拟合比较好的函数，作为回归模型例2对两个变量x，y取得4组数据(1,1)，(2,1.2)，(3，1.3)，(4,1.37)，甲、乙、丙三人分别求得数学模型如下：甲y0.1x1，乙y0.05x20

6、.35x0.7，丙y0.8·0.5x1.4，试判断三人谁的数学模型更接近于客观实际解甲模型，当x1时，y1.1；当x2时，y1.2；当x3时，y1.3；当x4时，y1.4.乙模型，当x1时，y1；当x2时，y1.2；当x3时，y1.3；当x4时，y1.3.丙模型，当x1时，y1；当x2时，y1.2；当x3时，y1.3；当x4时，y1.35.观察4组数据并对照知，丙的数学模型更接近于客观实际跟踪训练2根据统计资料，我国能源生产自1986年以来发展很快下面是我国能源生产总量(单位：亿吨标准煤)的几个统计数据：年份1986199119962001产量8.610.412.916.1根据有关专

7、家预测，到2010年我国能源生产总量将达到21.7亿吨左右，则专家所选择的回归模型是下列四种模型中的哪一种()Aybxa(b0)Byax2bxc(a0)Cyax(a>0且a1)Dylogax(a>0且a1)答案A1散点图在回归分析中的作用是()A查找个体个数B比较个体数据大小关系C探究个体分类D粗略判断变量是否相关答案D2变量x与y之间的回归方程表示()Ax与y之间的函数关系Bx与y之间的不确定性关系Cx与y之间的真实关系形式Dx与y之间的真实关系达到最大限度的吻合答案D3变量x，y的散点图如图所示，那么x，y之间的样本相关系数r最接近的值为()A1 B0.5C0 D0.5答案C4

8、某种产品的广告费支出x与销售额y之间有下表关系，现在知道其中一个数据弄错了，则最可能错的数据是_.x/万元24568y/万元3040605070答案(6,50)呈重点、现规律1对于确定具有非线性相关关系的两个变量，可以通过对变量进行变换，转化为线性回归问题去解决建立回归模型的步骤确定研究对象，明确变量关系；画出散点图，观察变量之间的关系；由经验确定回归方程的类型；按一定规则估计回归方程中的参数2常见曲线方程的变换公式曲线方程变换公式变换后的线性方程ay，xyabxyaxbyln y，xln xyAbx(Aln a)yabln xyy，xln xyabxyaebxyln y，xxyAbx(Aln

9、 a)一、基础过关1下列说法正确的是()线性回归方程适用于一切样本和总体；线性回归方程一般都有时间性；样本的取值范围会影响线性回归方程的适用范围；根据线性回归方程得到的预测值是预测变量的精确值A B C D答案B2某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其线性回归方程可能是()Ay10x200 By10x200Cy10x200 Dy10x200答案A3在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)(n2，x1，x2，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i1,2，n)都在直线yx1上，则这组样本数据的样本相关系数为()A1 B0 C. D1答案D4某学

10、校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01对于表中数据，现给出下列拟合曲线，其中拟合程度最好的是()Ay2x2 By()xCylog2x Dy(x21)答案D解析可以代入检验，当x取相应的值时，所求y与已知y相差最小的便是拟合程度最高的5对于指数曲线yaebx，令uln y，cln a，经过非线性化回归分析之后，可以转化成的形式为()Aucbx BubcxCybcx Dycbx答案A解析对方程yaebx两边同时取对数，然后将uln y，cln a代入，不难得出ucbx.6在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集

11、中于某一条指数曲线yebxa的周围，令zln y，求得线性回归方程为z0.25x2.58，则该模型的回归方程为_答案ye0.25x2.58解析z0.25x2.58，zln y，ye0.25x2.58.7.某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表：推销员编号12345工作年限x/年35679推销金额y/万元23345(1)求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程；(2)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额解(1)设所求的线性回归方程为ybxa，则b0.5，ab0.4.年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为y0.5x0.4.(2)当x11时，y0.5x0

12、.40.5×110.45.9(万元)可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元二、能力提升8研究人员对10个家庭的儿童问题行为程度(X)及其母亲的不耐心程度(Y)进行了评价结果如下，家庭1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，儿童得分：72,40,52,87,39,95,12,64,49,46，母亲得分：79,62,53,89,81,90,10,82,78,70.下列哪个方程可以较恰当的拟合()Ay0.771 1x26.528By36.958ln x74.604Cy1.177 8x1.014 5Dy20.924e0.019 3x答案B解析可以通过画散点图观察知两个变量x、y之间大

13、致呈现对数函数关系9已知x，y之间的一组数据如下表：x1.081.121.191.25y2.252.372.432.55则y与x之间的线性回归方程ybxa必过点_答案(1.16,2.4)解析回归方程ybxa必过样本点的中心(，)，1.16，2.4，样本点的中心为(1.16,2.4)10已知线性回归方程为y0.50x0.81，则x25时，y的估计值为_答案11.69解析当x25时，y0.50×250.8111.69.11在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：x0.250.5124y1612521如何建立y与x之间的回归方程解画出散点图如图(1)所示，观察可知y与x近似是反比

14、例函数关系设y (k0)，令t，则ykt.可得到y关于t的数据如下表：t4210.50.25y1612521画出散点图如图(2)所示，观察可知t和y有较强的线性相关性，因此可利用线性回归模型进行拟合，易得：1.55，7.2，iyi94.25，21.312 5，b4.134 4，ab0.791 7，所以y4.134 4t0.791 7，所以y与x的回归方程是y0.791 7.12某地区六年来轻工业产品利润总额y与年次x的试验数据如下表所示：年次x123456利润总额y11.3511.8512.4413.0713.5914.41由经验知，年次x与利润总额y(单位：亿元)有如下关系：yabxe0.其

15、中a、b均为正数，求y关于x的回归方程(保留三位有效数字)解对yabxe0两边取对数，得ln yln ae0xln b，令zln y，则z与x的数据如下表：x123456z2.432.472.522.572.612.67由zln ae0xln b及最小二乘法公式，得ln b0.047 7，ln ae02.38，即z2.380.047 7x，所以y10.8×1.05x.三、探究与拓展13某商店各个时期的商品流通率y(%)和商品零售额x(万元)资料如下：x9.511.513.515.517.5y64.643.22.8x19.521.523.525.527.5y2.52.42.32.22.1散点图显示出x与y的变动关系为一条递减的曲线经济理论和实际经验都证明，流通率y决定于商品的零售额x，体现着经营规模效益，假定它们之间存在关系式：ya.试根据上表数据，求出a与b的估计值，并估计商品零售额为30万元时的商品流通率解设u，则ya