高中圆的基本性质与点圆关系 知识点及试题答案

1、高中圆的基本概念与点圆关系 知识点与答案解析第一节 圆的基本概念1.圆的标准方程： （圆心，半径为）例1 写出下列方程表示的圆的圆心和半径（1）x2 + (y + 3)2 = 2； （2）(x + 2)2 + (y 1)2 = a2 (a0)例2 圆心在直线x 2y 3 = 0上，且过A(2，3)，B(2，5)，求圆的方程.例3 已知三点A(3，2)，B(5，3)，C(1，3)，以P(2，1)为圆心作一个圆，使A、B、C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的方程.2.圆的一般方程：（其中），圆心为点，半径（）当时，方程表示一个点，这个点的坐标为（）当时，方程不表示任何图形。例1：

2、已知方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆，求k的取值范围。解：方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆，解得当时，方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一个圆。例2：若（2m2+m-1）x2+(m2-m+2)y2+m+2=0的图形表示一个圆，则m的值是。答案：3例3：求经过三点A（1，1）、B（1,4）、C（4，2）的圆的方程。解：设所求圆的方程为，A（1，1）、B（1,4）、C（4，2）三点在圆上，代入圆的方程并化简，得，解得D7，E3，F2所求圆的方程为。例4：若实数满足，则的最大值是_。解：由，得点P(x, y)在以（2,1）为圆心，半径r=3的圆C上

3、，原点到圆上的点P(x, y)之间的最大距离为OCr3的最大值为。3.圆的一般方程的特点： (1)x2和y2的系数相同，不等于0。 没有xy这样的二次项。 (2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，只要求出这三个系数，圆的方程就确定了。 (3)与圆的标准方程相比较，代数特征明显，而圆的标准方程几何特征较明显。4.圆的一般方程变形如果是圆，一定有（1）A=C0；（2）B=0；（3）D2+E2-4AF>0。反之，也成立。例1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。例2：方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆时, m的取值范围是（ D ）A. B. C

4、. D. 或例3：如果圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0，那么当圆面积最大时圆心坐标为（ ）A.（-1，1） B.（1，-1） C.（-1，0） D.（0，-1）例4：圆的圆心坐标为 ，半径为 .例5：方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆。 1：求实数m的范围。 2：求该圆半径r的范围。 3：求圆心C的轨迹的普通方程。解：(1)方程表示圆的充要条件是，即：4(m+3)2+4(1-4m2)2-4(16m4+9)>0，解之得-<m<1.(2)，得到r的取值范围(3)设圆心为(x，y)，则消去m得：y=4(x-3)2-1，-<

5、m<1，<x<4，即轨迹为：y=4(x-3)2-1(<x<4)。例6：已知实数满足等式，求的最值。第二节 点与圆的关系1.点与圆的关系的判断方法（1）>，点在圆外（2）=，点在圆上（3）<，点在圆内例1：的三个顶点的坐标是求它的外接圆的方程。解析：用待定系数法确定三个参数。例2：已知圆经过点和,且圆心在上,求圆的标准方程。解析：圆心为的圆经过点和,由于圆心与A,B两点的距离相等，所以圆心在AB的垂直平分线m上，又圆心在直线上，因此圆心是直线与直线m的交点，半径长等于或。例3：写出圆心为半径长等于5的圆的方程，并判断点是否在这个圆上。2.圆的对称性问题：

6、圆的对称性问题可以转化为原点的对称性，而圆的半径r相等。例1：求x2+y2+4x-12y+39=0关于直线3x-4y-5=0的对称圆方程解析：圆方程可以转化为(x+2)2+(y-6)2=1，圆心O(-2,6)，半径为1。设圆心关于直线的对称点O'(a,b) ，OO'和直线3x-4y-5=0对称，因此有：解得 所求圆的方程为。3.与圆有关的轨迹方程方法一：代入转移求轨迹方程如：方法二：参数法求轨迹方程方法三：充分利用韦达定理如：设O为坐标原点,曲线x2+y2+2x-6y+1=0上有两点P,Q,满足关于直线x+my+4=0对称,又满足·=0，求直线PQ的方程。解：曲线方程

7、为（x+1）2+（y3）2=9表示圆心为（1，3），半径为3的圆.点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称，圆心（1，3）在直线上.代入得m=1。直线PQ与直线y=x+4垂直，设P（x1，y1）、Q（x2，y2），PQ方程为y=x+b.将直线y=x+b代入圆方程，得2x2+2（4b）x+b26b+1=0.=4（4b）24×2×（b26b+1）>0，得23<b<2+3。由韦达定理得x1+x2=（4b），x1·x2=。y1·y2=b2b（x1+x2）+x1·x2=+4b.·=0，x1x2+y1y2=0，即b26b+1+4b=0.解得b=1（23，2+3）。所求的直线方程为y=x+1。4.圆中的最值思想（1） 形如的最值问题，转化为动直线斜率的问题；（2） 形如m=ax+by的最值问题，转化为动直线截距的最值问题；（3） 形如m=(x-a)2+(y-b)2最值问题，转化为两点间距离的平方最值问题。如：已知点P（x,y）是圆（x+2）2+y2 =1上任意一点。（1） 求P到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值；（2） 求x-2y的最大值和最小值；（3） 求的最大值和最小值。解：（1）圆心C（-2,0）到到直线3x+4y+12=0的距离为：所以P到直线距离的最大值为