雨水排放问题

1、雨水排放问题摘要 本文主要通过求解目标规划，对雨水管道的排放能力进行了分析和评价，并给出了北京市管网改造的合理化建议。针对问题一,所求系统最大排放能力即为在各管道未达到最大流量下的情况下，出水口的最大排放量。所以以各出水口排放量之和为目标函数，各管流量为约束条件建立规划，从而得到管网最大排水量为2.266m3 /s,所能承受的最大降水强度为0.775361mm/min, 再通过分析降水强度随时间的变化关系，会发现在红色预警时，会有80min的积水时间，因此得到管网不能够抵御红色预警，只能抵御橙色预警。通过分析降水强度与降水重现期的关系，求得管网可以抵御重现期为2年的暴雨。问题二中将管道改为D2

2、200实际该变了模型一中的管网的约束条件，所以将模型一中的约束条件加以调整后得到模型二。计算解的得管网最大排水量为31.2124m3/s，所能承受的最大降水强度为10.67578mm/min。结果表明，当把全部管网改为D2200时，该排水管网能够应对640mm/h的降雨量。通过查阅资料，获得北京的年均降水量和月降水量的分布规律，及北京地区的地形特点。考虑到北京的气候和地形对降水的影响，对管网改造提出如下建议：建造可持续排水系统；在郊区等降雨量大的地区采用直径较大的管道，并增加管网密度和进水口数量；增加地表渗透，利用雨水补充城市用水。关键词：最大排放量 线性规划 降水强度 管网改造一、问题重述2

3、012年7月21日，北京遭遇61年来最强降雨，导致多条环路及主干道积水拥堵，部分环路断路,部分地铁线路部分区段停运,城市交通一度混乱。一场暴雨，暴露了这个城市排水系统的脆弱，也引出了我们对于这个城市排水问题的思考。随着经济的不断发展，城市中建设越来越多的高楼大厦、柏油马路、城市广场、立交桥、停车场等等，市区内的裸露土地越来越少，一旦下起雨来，雨水很难渗入地下。遇到大雨、暴雨，雨水来不及通过下水道流走，就形成径流，汇积成了了积水。虽然现在许多现代化城市、包括我国新建的不少城市都有比较现代化的排水和下水管道系统，但遇到降雨量过大时，仍然会发生排水不及形成积水，同样的情况国外许多现代化的都市也难以避

4、免。积水的多少与降雨的强度、降水历时以及下水系统的设计有很大关系。问题一：试建立模型讨论在暴雨警报时图示区域管网整体排放能力；问题二：如若对该区域雨水管网进行改造，全部管网改为D2200的排水能力能符合多大强度降雨的实际需求。（降雨历时设为60min）；问题三：查阅相关资料和数据，试对北京市的雨水管网改造提出合理化建议。其中Xi表示该区域雨水的收水点，Yj表示城市内河的出水点，Vk表示雨水管网的检查口，线段表示铺设管道，数据反映管道的长度和坡度，如D1200-0.9。（255）表示管径为1200mm，坡度为0.0009，长度为255m。二、问题分析问题一要求我们建立模型讨论排水管网的整体排放能

5、力。可以先考虑通过上下级管道间水流分流、汇流的关系作为各个管道最大流量制约条件，从而将问题转化以每个管道能排放的最大流量为容量制约条件的最大流问题。要确定管网所能承受的最大降雨量，可以首先通过分析雨水在各汇点的分流情况，找到各排水管道的体积流量的关系，然后将其转化为最优化问题，建立相应的函数关系和约束条件，考虑使用lingo求解。最后将求解的结果换算成为每小时的降雨量，通过与暴雨等级相比较，得到排水系统的排放能力。最后，可以通过对结果的分析，找出模型的不足之处，重新设定整体排放能力的标准，提出新的优化模型。问题二是在问题一的基础上，将管道全部改为同一口径，因此，应该可以继续采用问题一思路进行求

6、解。因此问题二的关键应该是分析管道改为D2200之后，对所求目标函数和约束条件的影响。另外，要考虑题目所设定的降雨时间对所建模型的影响。通过对问题一和问题二的分析求解，在对影响排水系统排放能力的因素有了一定了解之后，可以通过查阅资料和数据，结合北京地区的实际情况，分析得到降雨规律和北京排水管网的现状。然后与所建模型进行比较，尝试通过改变条件使排水管道满足最大降雨量的要求。最后，可以根据对条件的修改，得到改造排水管道的合理化建议。三、模型假设1. 假设地表是水平的。2. 该区域是一个独立系统，不受外界系统的影响。3. 假设区域内雨水只能通过收水点进入，出水点排出，出水点能够顺利排水。4. 城市内

7、河的水流均不会淹没出水点。5. 检查口处由于坡度影响，水流只能沿箭头方向流动，而不会倒流。6. 各管道都可顺利排水，不考虑堵塞。四、符号说明mj-流入各入口的体积流量 （j=1,2,3,4）Qi管道i的体积流量 （i =1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ） Li-管道i允许流过的最大体积流量 （i =1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ）Ya流出各出水口的体积流量 (a=1,2,3,4）S-汇流面积P3小时的排水流量A过流断面面积I水力坡度n管壁粗糙度i降水强度，表示降水的密集度TE表示降水重现期t表示降水历时五、模型的建立与求解为方便表述，将题目所给的图简化为图二图二5.1问题

8、一5.1.1 模型一5.1.1.1 各级管道的流量关系 首先利用汇点处的分流关系，求得各管道之间的体积流量关系。查阅资料 ，发现当管道未满时，管道在汇点处分得的体积流量按管道直径分配。根据这一关系，通过递推可以求得各管道的体积流量与4个入水口体积流量的关系，关系如下： 同时可以得到，出水口的体积流量与进水口体积流量的关系如下： 根据流体力学可知 ，管道允许流过的最大流量公式：li= 其中过流断面的面积，,单位：水力半径，单位：m；为管道直径，单位：m；水力坡度； 管壁粗糙率，对水泥管道，取求得各管允许的最大体积流量如表一：（m3） 表一 最大体积流量表li1234567数值0.99560.18

9、031.28380.18030.38830.04920.8868li891011121314数值0.10250.11090.08651.08610.22080.0371.1448li15161718192021数值0.54910.05680.11090.2723.37530.11840.04925.1.1.2 建立目标函数问题转化成为求管网允许的最大体积流量问题。因为求解的是管网的整体排放能力，所以当其中一个入水口达到最大体积流量后，只要剩余3个入水口中有任一管口没有达到最大体积流量，那么多余的部分仍可以通过这一管口排出。因此所求最大体积流量应该等于四个出水口的体积流量的和。这是一个线性规划问

10、题。在流经各管道的体积流量小于等于各自的体积的约束条件下，利用lingo软件，能够求得管网处于绝对安全工作状态的条件下的最大排水能力。所建目标函数如下：Max=Y1+Y2+Y3+Y Qi<=li l1=l2+l3l2=l4+l5l3=l6+l7l9=l4+l8s.t. l10=l5+l6l7=l11+l12l13=l15+l16l19=l14+l15l9+l10=l17+l18l16+l17 =l20+l21利用lingo进行求解，解得 Max=1.530904m3 /s根据图中所给数据，求得区域面积 S=280 630+（75+255）30/2-150 40解得 S=175350m23

11、小时的排水流量满足 P=3 3600Max/S解得 P=94.29mm 结果分析：管网能够应对3小时94.29mm降雨量的暴雨。 但是，根据约束条件，能够通过分析，得到到在此暴雨强度下，管网排水时，只有其中直径最小的管道可能被充满。所以，此时的管网并没有处于满负荷工作状态，直径大的管道仍然具有继续增大排水流量的能力。而所求的最大排水能力，应该是指管网在满负荷工作状态下的排水流量。因此，需要对模型一进行优化。 模型二模型建立当管网处于绝对安全工作状态时，如果继续增大入水口的流量，那么在管道体积流量达到最大的汇点处，体积流量的分流关系将不再满足与直径成正比，而新增加的体积流量将全部流入仍未达到最大

12、值的管道。因此，需要对模型一的约束条件进行修改。当管网处于满负荷工作状态时，几乎所有管道都会达到体积流量的最大值，因此，只需要满足下一级管道体积流量的和等于上一级流入的体积流量，同时流经各管道的体积流量不能大于自身体积即可。此时，出水口的体积流量变为：Y1= Q19+ Q20Y2= Q12Y3= Q21Y4= Q11+Q18在这个条件下，建立新的目标函数：Max= Y1 +Y2 +Y3 +Y4 Qi<=li l1=l2+l3l2=l4+l5l3=l6+l7l9=l4+l8s.t. l10=l5+l6l7=l11+l12l13=l15+l16l19=l14+l15l9+l10=l17+l1

13、8 l16+l17 =l20+l21利用lingo求解得Max=2.266000m3 /s此时解得三小时的排水量为 P=139.565mm5.1.2.2 结果分析 通过数据对比发现，与模型一求得的P=94.29mm相比，模型二的P值更大。也就是说，应用模型二求解，求得管网能够应对更大降水量的暴雨。此结果说明在分流处，水流在分流管道之间的调配能大大提高系统的排水能力。3 暴雨等级与降雨量的关系登陆中国气象局网站5，得到暴雨等级与降雨量有以下关系：暴雨预警信号分四级，分别以蓝色、黄色、橙色、红色表示。（一）暴雨蓝色预警信号标准：12小时内降雨量将达50毫米以上，或者已达50毫米以上且降雨可能持续。

14、（二）暴雨黄色预警信号标准：6小时内降雨量将达50毫米以上，或者已达50毫米以上且降雨可能持续。（三）暴雨橙色预警信号标准：3小时内降雨量将达50毫米以上，或者已达50毫米以上且降雨可能持续。（四）暴雨红色预警信号标准：3小时内降雨量将达100毫米以上，或者已达100毫米以上且降雨可能持续。为为了简化模型，在次假设暴雨均匀持续进行，因此降雨量与暴雨预警信号级别的关系如表2：表2 降雨量与暴雨预警信号级别的关系暴雨级别蓝色暴雨预警n=1黄色暴雨预警n=2橙色暴雨预警n=3红色暴雨预警n=4降雨量（）4.1678.33316.66733.33所以，如果仅仅比较3小时的降雨量的话，会发现该排水管道能

15、够应对红色预警。但是，考虑到降雨是一个不均匀的过程，流进入水口的流量不是恒定不变的，而且排水系统排水需要一定的时间。因此，需要对降雨过程以及路面积水的限定标准作进一步分析后，才能准确确定管网能够应对的暴雨级别。根据生活经验，降雨过程是一个先增大，后减小的过程。因此，可以用正态分布近似模拟降雨过程。当暴雨强度达到红色警报时，利用matlab求得降水强度（每分钟降水量）随时间的变化关系如下图：由模型二求得降水强度i满足：i= =0.775361mm/min 由上图可以看出，当降水时间大约达到一小时之后，降水强度开始超出排水管网的最大排水能力，此时路面开始积水，当降水时间大约达到两小时时，降水强度开

16、始小于排水管网的最大排水能力，路面积水开始消退。因此存在80分钟的积水期，所以该管网尚不能完全应对红色预警，可以应对橙色预警。通过查阅资料，我们找到了一个降雨强度与降水重现期的关系式。所谓降雨重现期，是指某一强度的降雨重复出现的平均周期，如10年重现期即为平均10年出现一次不小于该强度的降雨。关系式如下： 其中TE表示降水重现期，t表示降水历时。根据题目已知条件，t为60min，由此可以建立i与TE的函数关系如下图： 根据降水强度与降水重现期的关系，可得，当i=0.775361时，对应的降水重现期为2年。所以该管网能够抵御重现期为2年的暴雨。5.2问题二（模型三）模型建立问题二是求解当所有管道

17、改换为D2200时，管网的整体排水能力。参照模型二，求解管网在满负荷工作状态下所能排放的流量。仍旧是一个单目标规划问题，可以利用lingo进行求解。目标函数是4个入水口体积流量的和，约束条件为下一级管道体积流量的和等于上一级流入的体积流量，同时流经各管道的体积流量不能大于自身体积。求得各管允许的最大体积流量如表二：（m3） 表二 最大体积流量表li1234567数值8.15145.76398.15145.76395.76399.98334.4647li891011121314数值7.05935.76938.15145.46817.059312.22715.7639li1516171819202

18、1数值8.151411.52785.76395.76935.76398.15149.98334个出水口的体积流量满足：Y1= Q19+ Q20Y2= Q12Y3= Q21Y4= Q11+Q18建立目标函数如下：Max= Y1 +Y2 +Y3 +Y4 Qi<=li l1=l2+l3l2=l4+l5l3=l6+l7 l9=l4+l8 s.t. l10=l5+l6l7=l11+l12 l13=l15+l16 l19=l14+l15 l9+l10=l17+l18 l16+l17 =l20+l21利用lingo求解，得Max=31.21240m3 /s求得 P=1921.6mm 因为限定时间为60

19、min,所以 P/3=640.547mm结果分析 结果表明，当把全部管网改为D2200时，该排水管网能够应对640mm/h的降雨量。与模型二比较，容易发现在将管网的管道直径增大之后，应对降雨的能力大大提高。这是由于不仅每根管道自身的最大体积流量增大，而且，通过管网内部的分流，使得能够排出的流量大大增加。因此，在降雨量偏大地区的排水管网的建设中，应该使用口径较大的排水管道，以提高排水管网的整体排放能力。5.3问题三查阅资料，得到北京地区年降水量的分布表如下：北京市历年降雨量(降水（mm）)年份2009200720062005200420032002200120001999降雨量480.6483.

20、9318410.7483.5444.5370.4338.9371.1266.9年份1998199719961995199419931992199119901989降雨量731.7430.9700.9572.5813.2506.7541.5747.9697.3442.2年份1988198719861985198419831982198119801979降雨量673.3683.9665.3721488.8489.9544.4393.2380.7718.4年份1978197719761975197419731972197119701969降雨量664.87796843928474.7698.2374

21、.2511.2597913.2年份1968196719661965196419631962196119601959降雨量386.7593.4527.9261.8817.77756366.9599.8527.11406年份1958195719561955195419531952195119501949降雨量691.9486.8115.7933.2961.4657.7557.3481.6910.9921（1）北京市属于亚洲暖温带季风性气候，降水特征显著。根据历年降水资料（1）北京市属于亚洲暖温带季风性气候，降水特征显著。根据历年降水资料，北京地区的主汛期为“七下八上”，也就是七月下旬至八月上旬，两

22、个月的平均降雨量在243毫米左右，最大月平均降水量为415毫米。降水季节分配很不均匀，全年降水的80%集中在夏季6、7、8三个月，7、8月有大雨。同时北京降水由于气候、地形、城市热岛效应具有降水快、急，降水区域集中等特点。所以在进行排水系统改造时，应选用直径较大的排水管道，防止在降雨集中的月份中，无法应对大的暴雨。（2）北京的西、北和东北，群山环绕，东南是缓缓向渤海倾斜的平原。北京平原的海拔高度在2060米，山地一般海拔10001500米，与河北交界的东灵山海拔2303米，为北京市最高峰。境内贯穿五大河，主要是东部的潮白河、北运河，西部的永定河和拒马河。北京的地势是西北高、东南低。西部是太行山

23、余脉的西山，北部是燕山山脉的军都山，两山在南口关沟相交，形成一个向东南展开的半圆形大山弯，人们称之为“北京弯”，它所围绕的小平原即为北京小平原。因此北京地域受地形影响，暖湿气流容易形成抬升运动，而抬升过程中一遇到冷空气就容易发展成强降雨云团。同时由过区域河流较多，空气湿度大，易在迎风坡形成强对流降水。所以在迎风坡上地区，如，铺设更多收水点，增加管道密度与管径。（3）北京分为城区、郊区、南部山区及北部山区4个区域。郊区降水量最多(620 mm),城区与南部山区降水量较少,而北部山区降水量最少(476 mm);城区与南部山区的年降水量较接近,二者与郊区和北部山区都有显著差异。所以排水管网改造中，应该考虑在郊区使用相对直径更大的管道，增大排水管网的密度，同时应该根据地形，适量增加进水口与出水口数量。(4)查阅资料后发现，北京人均水资源占有量不足400m3。这严重制约着首都经济的发展。北京多年平均降水量626mm,地表水多年平均径流量26亿m3/a,地下水多年平均补给量39.51亿m3/a,地下水平均年可供水量26.33亿m3。因此，在雨水管网的改造过程中，可