“数学文化”课

1、1.0 关于 “数学文化”课【摘记】 数学是人类社会进步的产物，也是推动社会发展的动力之一。数学与人类文明、与人类文化有着密切的关系。 2002 年，在北京国际数学家大会期间，陈省身先生为“中国少年数学论坛”活动题词“数学好玩”，鼓励青少年喜爱数学、学好数学。数学，具有超越具体科学和普遍适用的特征，具有公共基础的地位。“数学文化”一词的内涵，简单说，是指数学的思想、精神、方法、观点，以及他们的形成和发展；广泛些说，除上述内涵以外，还包含数学家、数学史、数学美、数学教育、数学发展中的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种文化的关系，等等。“数学文化”课的宗旨是提高学生的数学素养。不管从事什么工作

2、，从数学课程学习中获得的数学素养，数学的思维方法和看问题的着眼点等，倒会随时随地发生作用，使人们在实践中终生受益。一个人不识字可以生活，但是若不识数，就很难生活了。一个国家科学的进步，可以用它消耗的数学来度量。数学不仅是一种重要的“工具”或“方法”， 也是一种思维模式，即“数学方式的理性思维”；数学不仅是一门科学，也是一种文化，即“数学文化”；数学不仅是一些知识，也是一种素质，即“数学素质”。“数学素养”的通俗说法是“把所学的数学知识都排除或忘掉后，剩下的东西”。例如，从数学角度看问题的出发点；有条理的思维，严密的思考、求证； 简洁、 清晰、 准确的表达；在解决问题时、总结工作时，逻辑推理的意

3、识和能力；对所从事的工作，合理的量化、简化，周到的运筹帷幄。“数学素养”包含五点： 一是主动寻求并善于抓住数学问题的背景和本质的素养；二是熟练地用准确、简明、 规范的数学语言表达自己的数学思想的素养；三是具有良好的科学态度和创新精神，合理的提出新思想、新概念、新方法的素养；四是对各种问题以“数学方式”的理性思维，从多种角度探寻解决问题的方法的素养；五是善于对现实世界中的现象和过程进行合理的简化和量化，建立数学模型的素养。“数学文化课”虽然要以知识为载体， 却并不以传授数学理论知识为主要目的，而是以教授数学思想为主，以提升学生的数学素养为主。“数学文化课”是从数学问题、 数学典故、数学观点等角度

4、切入，并以他们为线索来组织材料，进行教学。在“数学文化课”中可能得到的收获有： 了解数学的历史，拓宽对数学认识，引起对数学的兴趣，感悟数学的思想，提高数学素养，学会以数学方式的理性思维观察世界的方法。1.1 数学是什么？【摘记】恩格斯说：数学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的一门学科。美国数学家柯朗说：数学，作为人类智慧的一种表达形式，反映生动活泼的意念，深入细致的思考，以及完美和谐的愿望，它的基础是逻辑和直觉，分析和推理，共性和个性。法国数学家伯雷尔说：数学是我们确切知道我们在说什么，并肯定我们说的是否对的唯一的一门科学。英国数学家罗素说：数学是所有形如p 蕴含 q 的命题的类，而其中命

5、题p 是否对，却无法判断，因此，数学是我们永远不知道我们在说什么，也不知道我们说的是否对的一门学科。南京大学方延明教授搜集的数学的15 种定义：哲学说：数学是一种哲学。哲学从一门学科中的退出，意味着这门学科的建立；而数学进入一门学科，就意味着这门学科的成熟。（古希腊许多数学家同时也是哲学家。）符号说：数学是一种高级语言，是符号的世界。科学说：数学是精密的科学，数学是科学的皇后。工具说：数学是其他所有知识工具的源泉。逻辑说：数学推理依靠逻辑，数学为其证明所具有的逻辑性而骄傲。创新说：数学是一种创新，如发现无理数，提出微积分，创立非欧几何。直觉说：数学的基础是人的直觉，数学主要是由那些直觉能力强的

6、人们推进的。集合说：数学各个分支的内容都可以用集合论的语言表述。结构说（关系说）：数学是一种关系学。模型说：数学就是研究各种形式的模型。活动说：数学是人类最重要的活动之一。精神说：数学不仅是一种技巧，更是一种精神，特别是理性的精神。审美说：数学家无论是选择题材还是判断能否成功的标准，主要是美学的原则。艺术说：数学是一门艺术。万物皆数说：数的规律是世界的根本规律，一切都可以归结为整数与整数比。方延明教授本人对数学的定义：数学是研究现实世界中数与形之间的各种形式模型的结构的一门科学，数学家徐利治关于数学的定义：数学是实在世界的最一般的量与空间形式的科学，同时又作为实在世界中最具有特殊性、实践性及多

7、样性的量与空间形式的科学。数学的三大特点：抽象性、精确性和应用的广泛性。数学的研究对象本身就是抽象的：数学的研究对象是从众多的物质及物质运动形态中抽象出来的事物，是人脑的产物。如：数学中研究的圆。数学抽象的重点在于事物的数量关系和空间形式。数学的抽象程度大大超过了其他学科。核心数学主要处理抽象概念以及概念间的抽象关系。数学的精确性，表现在数学推理的严格和数学结论的确定两个方面德国数学家汉克尔说： 在大多数科学里，一代人要推倒另一代人所修筑的东西，只有数学，每一代人都能在旧建筑上增添一层新楼华罗庚先生说：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用 之繁，数学无处不在。历史上

8、数学应用的精彩例子：哈雷彗星的发现、海王星的发现、电磁波的发现。有趣的中国现象：作为思想教授的大学校长丁石孙一一北京大学苏步青一一复旦大学谷超豪一一中国科学技术大学潘承洞一一山东大学齐民友一一武汉大学丁卓群一一吉林大学吴传喜一一湖北大学王梓坤一一北京师范大学陆善镇一一北京师范大学王建磐一一华东师范大学苏宁中一一东北师范大学侯自新一一南开大学李岳生一一中山大学曹策问一一郑州大学王思明一一湘潭大学 展涛一一山东大学黄达人一一中山大学 周明儒一一徐州师范大学路钢一一华中师范大学 邱玉辉一一西南师范大学王国俊一一陕西师范大学数学与文学: 用数学方法对作品进行写作风格的分析、词汇相关程度分析和句型频谱分

9、析，如红楼梦前八十回与后四十回的作者是否相同？数学与史学：考古对数学史的推进，如“四阶完全幻方”。数学与哲学：迪莫林说“没有数学我们就无法看透哲学的深度， 没有哲学，人们也无法看透数学的深度，而若没有两者，人们就什么也看不透。”数学与经济：获诺贝尔经济学奖的学者中，数学家出身的和有数学背景的人占一半以上。数学与社会学：社会学的许多重要领域已经发展到不懂数学的人望尘莫及的地步。1.1 2000 年是联合国宣布的“世界数学年”，联合国教科文组织指出“纯粹数学与应用数学是理解世界及其发展的一把主要钥匙。 ”世界需要这把钥匙， 生活在现代社会的每个人都需要这把钥匙。1.2 数学发展简史【摘记】数学发展

10、简史分四个阶段：数学起源时期、初等数学时期、近代数学时期、现代数学时期 数学主要起源于四个“河谷文明”地域，即非洲的尼罗河、西亚的底格里斯河和幼发拉底河、中南亚的印度河与恒河、东亚的黄河与长江。刻痕记数是人类最早的数学活动。古埃及的象形数字出现在约公元前3400 年；巴比伦的楔形数字出现在约公元前2400 年；中国的甲骨文数字出现在约公元前1600 年。远古人类的活动，从数数开始逐渐建立了自然数的概念，创造了简单的计算方法，认识了简单的几何图形，逐步形成了数学。初等数学时期分三个阶段：希腊、东方和欧洲文艺复兴时代。数学的希腊阶段最辉煌的著作是欧几里得的几何原本。在算术与代数方面，希腊人做了不少

11、工作，他们奠定了数论的基础，研究了丢番图方程，发现了无理数，找到了求平方根、立方根的方法，知道了算术级数与几何级数的性质。中国最早的数学著作周髀算经， 实际上是从数学上讨论中国“盖天说”古代宇宙模型。该书在数学上的主要成就是分数运算、勾股定理及其天文测量中的应用。九章算术是中国古代最重要的数学著作，书中已经给出了三元一次方程组的解法，同时在世界历史上第一次使用负数，叙述了对负数进行运算的规则，也给出了求平方根与立方根的方法。刘徽是中国古代最杰出的数学家，被称为“中国古代数学第一人”， 他大量使用的“出入相补原理”是我国古代数学特有的推理论证方法，另外他的另一个重大贡献是发明了割圆术，并用割圆术

12、计算圆周率兀，现在称为“徽率”的157/50即3.14 ,作为圆周率的近似值以精确到小数点后两位。祖冲之在历法和数学上都有重大贡献，他计算出圆周率的上限为3.1415927 ，下限为3.1415926, ， 他的另一成就是在刘徽工作的基础上给出了球体积的计算公式，其中不仅用到了“出入相补原理”，还用到了“祖氏原理”，即“幂势既同，则积不容异”。宋元数学四大家：杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰。古代印度人发明了现代记数法，特别是发明了“0”。花拉子米的还原与对消计算概念开创了作为“解方程的科学”的代数学。伽利略说：宇宙这本书是用数学的语言写成的。变量数学建立的第一个里程碑是1637 年笛卡尔的著作几何

13、学。 这本书引入了“坐标”的概念， 借此把平面上的点与有序实数对建立了一一对应的关系，从而奠定了解析几何的基础。恩格斯说：“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了”微积分的起源，主要来自对解决两个方面问题的需要：一是力学的一些新问题，已知路程对时间的关系求速度，以及已知速度对时间的关系求路程；二是几何学的一些老问题，作曲线在某点的切线问题，以及求面积和体积的问题。微分方程论研究的是一种方程，方程中的未知项不是数而是函数；变分法研究的是一种极值问题，所求的极值不是点或数，而是函数；微分几何是关于曲线和曲面的一般

14、理论。18世纪，由微积分、微分方程、变分法等构成的“分析“，已经成为与代数、几何并列的数学的三大学科之一，并在18 世纪里，其繁荣程度远远超过了代数和几何。现代数学时期分三个阶段：现代数学酝酿阶段、现代数学形成阶段、现代数学繁荣阶段。庞加莱是高斯和柯西之后无可争议的数学大师，他在微分方程自守函数、天体力学、拓扑学等方面的研究都有开创性的工作，可以说他是一位“万能数学家”。1.3 数学的魅力【摘记】数学是最具有魅力的，就如同音乐、图画具有魅力一样。渔网的几何规律：相信大家都见过渔网，如果没有见过的话，你一定见过用绳索编织的其他某种网。你是否知道，用数学方法可以证明，无论你用什么绳索织一片网，无论

15、你织一片多大的网，它的结点数（V）,网眼数（F）,边数（E）都必须符合下面的公式：V+F-E=1网，可以是多种多样的，纷繁复杂的，但是，他们全都满足同样的规律，这里，当然有其内在的本质。而用数学方法，不但可以表达这种本质，还可以证明这种本质。你看，是不是具有某种魅力？事实上，这种规律在三维的情形，就是多面体的欧拉公式：V+F-E=2。这里，V表示凸多面体的顶点数，F 表示凸多面体的面数，E 表示凸多面体的棱数。你可能知道多面体的这个欧拉公式，它对任何凸多面体都普遍适用，而上述关于绳索织网的公式，是欧拉公式在二维时的情形。数学就是有这样的本领，能够把看起来复杂的事物变得简明，把看起来混乱的事物理

16、出规律。任何一个省会城市至少有两个人头发根数一样多标题中给出的问题在数学上是一个“存在性问题”。 可以改述为“任何一个省会城市中一定存在两个头发根数一样多的人”。对于存在性问题，通常有两类证明方法：一类是构造性证明方法，即把需要证明存在的事物构造出来，便完成了证明；一类是纯存在性证明，并不具体给出存在的事物，而是完全依靠逻辑的力量，证明事物的存在。上述命题如果采用构造性证明的方法，就是一个一个地去数省会城市中所有人的头发根数，一定可以找到两个具体的人，他们的头发根数一样多，便完成了证明。这个命题如果采用纯存在性证明的方法，则完全是另外一种途径。我们先形象的介绍一个“抽屉原理”：四个苹果放在三个

17、抽屉里，则至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果；n 个苹果放在少于n 个抽屉里，则至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。现在我们来证明这个命题，体会一下抽屉原理的用法。首先介绍一个事实：任何一个人的头发根数都不会多于 20 万根。省会城市中的人数则远远大于20 万，例如50 万人。现在把头发根数为1至头发根数为20万分别当作20万个抽屉，把 50万人放到20万个抽屉里，根据“抽屉原理”，则至少有一个抽屉里有两个或两个以上的人。而同一个抽屉里的人，是头发根数一样多的人。于是便证明了“任何一个省会城市至少存在两个头发根数一样多的人”。 这就是纯存在性的证明方法，这就是数学推理的力量！这里并没有

18、具体给出哪两个人的头发一样多，但是依靠逻辑推理，让你不得不承认，确实存在两个头发一样多的人。圆的魅力圆是非常美丽的图形，圆又非常有用，圆的魅力来自多方面。车轮可以说是古代最伟大的发明之一。圆没有起点，也没有终点，浑身光滑，毫无瑕疵，这使得车轮能够不停的平稳转动。更加重要的是圆上任意一点到圆心的距离都是定长，这使得车轮滚动时，坐在车上的人不会有上下起伏的感觉。所以想到用圆作为车轮的形状，实在是了不起的发明。而在世界的不同地域，人们都各自独立的发明了车轮，就如同人们都各自独立地发明了陶器、各自独立地创造了数字一样。这表明它们是人类智慧进化发展到一定事期的必然产物。无论大圆还是小圆，圆的周长与直径之

19、比总是一个常数。而求出这个常数的近似值，竟成为历史上数学家投入巨大精力解决的难题，并且该近似值的精确度的高低，竟成为一个地域数学发展程度的标志，这个常数后来被称为圆周率，并记作 兀。圆周率 兀不但是常数，是无 理数，而且是超越数。在相同面积的平面图形中，圆具有最短的边界。“三角形三内角之和等于 180 度，这个命题不太好”这句话是1978 年数学大师陈省身先生在北京大学的一次演讲中说的, 后来又多次说过。所以 , 这不是随便说的一句话。陈先生并没有说“三角形三内角之和等于 180 度 , 这个命题不对” , 而是说“这个命题不好”。三角形三内角之和= 180 度n边形n内角之和=180 度x

20、( n - 2 )n 边形 n 外角之和= 360 度四色问题四色问题也称为“四色猜想”或“四色定理”，它于 1852 年首先由一位英国大学生古色利( Francis Guthrie )提出。他在为一张英国地图着色时发现，为了使任意两个具有公共边界的区域颜色不同，似乎只需要四种颜色就够了。但他证明不了这个猜想。于是写信告诉她的弟弟弗雷德里克( Frederick ) ， 弗雷德里克转而请教他的数学老师，即杰出的英国数学家德摩根(Augustus dergan,1806-1871) ，希望老师帮助给出证明。德摩根很容易证明了三种颜色是不够的，至少要四种颜色。但德摩根没能解决四色问题，就又把这个问

21、题转给其他数学家，其中包括著名的数学家哈密顿( W.R.Hamilton, 1805-1865 ) ，但 这 个 问 题 当 时 没 有 引 起 数 学 家 的 重 视 。 直 到 现 1878 年 ， 英 国 数 学 家 凯 来( A.Cayley,1821-1895 ) 对这问题进行了一番思考后，认为这不是一个轻易解决的问题，并于当年在伦敦数学回文集上发表了一篇论地图着色的文章，才引起了更大的关注。一个看起来简单，且容易说清楚的问题，居然如此困难，这引起了许多数学家的兴趣，体现了该问题的魅力。100 多年来许多数学家对四色问题进行了大量研究，获得了一系列成果。1920 年富兰克林( Phi

22、lip Franklin,1898-1965) 证明了，对于不超过25个国家的地图，四色猜想是正确的，1926 年雷诺兹将国家的数目提高到27 个， 1936 年富兰克林将国家数目提高到31 个。 1968年，挪威数学家奥雷证明了，不超过40 个国家的地图可以用四种颜色着色。但是，他们都没有最终证明四色猜想。直到1972年，美国依利诺大学的哈肯(W.Haken)和阿佩尔(K.Appel )在前人的基础上，开始用计算机进行证明。到1976年6月，他们终于获得成功。他们使用3台IBM360型超高速电子计算机，耗时1200 小时，终于证明了四色猜想。素数的奥秘音乐家用1, 2, 3, 4, 5, 6

23、, 7谱写悦耳的歌曲，数学家用1、2、3、4、5编织美妙的数学。 自然数是整个数学中最重要的的元素之一。而自然数中又有一种特别基本又特别重要的数，称为“素数”。 素数是大于1 的自然数中，只能被自己和1 整除的数；大于 1 的自然数中不是素数的都称为“合数”； 1 则既不是素数也不是合数。由于大于1 的自然数中，素数的因数最少，所以素数是特别简单的数。又由于一切大于1 的自然数都能够从素数通过乘法得到，所以素数又是特别基本的数。关于素数的规律，有很多猜想，到现在既没有证明，也没有被否定。素数很早就被古希腊的数学家所研究。2300 多年前欧几里得的几何原本第9 卷的定理20, 就给出了“数有无穷

24、多个”的漂亮证明。但是 , 素数的有些规律, 虽然表述出来很容易听懂 , 研究起来却出人意料的苦难。当然, 素数的有些规律表述出来也是相当复杂的。关于素数的规律, 人类有许多的“猜想”。今还有不少关于素数的重要猜想 , 既没有被证明,也没有被否定。有的猜想的解决, 现在看来可能会十分遥远。有人甚至预言, “人类探寻素数规律的历史 , 将等同于人类的整个文明史”。三个关于素数规律的问题：1、从加法的角度研究素数两个猜想:每一个足够大的偶数都是两个素数的和（简称1+1） （“哥德巴赫猜想”）”；“每一个足够大的奇数都是三个素数的和（简称 1+1+1）”。后一个猜想1937 年已被证明；前一个猜想至

25、今却既没有人举出反例, 也没有人给出证明。前者现在也简称为“哥德巴赫猜想”。2、从乘法的角度研究素数算术基本定理: 任一个大于1 的自然数, 都可以被表示为有限个素数（ 可以重复） 的乘积 , 并且如果不计次序的话, 表法是唯一的。算术基本定理早已被证明, 但不是采用' 构造性 ' 的证明。未解之谜: 这个问题是: 对任一个大于1 的自然数, 试给出一个一般的方法, 以便较快地找到有限个素数（ 可以重复）, 使它们的乘积等于那个预先写出的大于1 的自然数.下面用 ' 构造性 ' 证明的思路, 来试图找到解决的办法, 同时也体会它的困难所在.3、找一个公式来表示素

26、数2n费马素数（1640 年 ）： Fn = 2 + 1n梅森素数（1644 年）：Mn = 2 1 （n = 2,3,5,7,13,17,31,67,127,257 ）“梅森数中是否有无穷个素数”的问题 , 也是未解之谜。关于费马素数,n = 5 时，Fn = 4294967297 = 641 X 6700417梅森的判断中有五个错误:n = 67,257 时 Mn 不是素数；而n = 61,89,107时 Mn 是素数。科尔 : 大数的因子分解1903 年 10 月 267 1193707721 X 761838257287267 1 =193707721 X 761838257287科尔

27、一言未发; 会场上爆发了热烈的掌声.“蒲丰投针”的故事蒲丰是几何概率的开创者，并以蒲丰投针问题闻名于世，发表在其1777 年的论著或然性算术试验中。 其中首先提出并解决下列问题：把一个小薄圆片投入被分为若干个小正方形的矩形域中，求使小圆片完全落入某一小正方形内部的概率是多少，接着讨论了投掷正方形薄片和针形物时的概率问题。这些问题都称为蒲丰问题。其中投针问题可述为：设在平面上有一组平行线，其距都等于D,把一根长l<D的针随机投上去，则这根针和一条直线相交的概率是21/兀d由于通过他的投针试验法可以利用很多次随机投针试验算出兀的近似值，所以特别引人瞩目，这也是最早的几何概率问题.1850 年，瑞士数学家沃尔夫在苏黎士，用一根长36mm的针，平行线间距为 45mm投掷5000次，得 兀3.1596.1864年，英国人福克投掷了 1100次，求得兀3.1419.1901年，意大利人拉泽里尼投掷了3408次，得到了准确到6位小数的兀值。“化归”的方法“化归” , 是把未知的问题, 转化为已知的问题; 把待解决的问