§14全称量词与存在量词学案

1、§ 1.4 全称量词与存在量词一、全称量词与存在量词1.表示整体或全部的含义的量词叫作全称量词,其形式为“所有”“每一个”“任何一个”“任意一条”“一切”等,通常用符号“”表示. 读作“任意”.2.含有全称量词的命题,叫作全称命题,它的一般形式可表示为“xM,p(x)”,其中M为给定的集合,p(x)是一个关于x的命题.3.表示个别或一部分的含义的量词叫作存在量词,其形式为“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等,通常用符号“”表示,读作“存在”.4.含有存在量词的命题叫作特称命题,它的一般形式可表示为“xM,p(x)”,其中M为给定的集合,p(x)是一个关于x的命题.自我检测：1.

2、判断下列全称命题的真假.(1)xR,f(x)=x2的值域是(0,+);(2)任意两个面积相等的三角形是全等三角形;(3)所有函数的定义域都不是空集.答案:(1)因为x=0时,f(x)=0(0,+),所以此命题为假命题.(2)一个正三角形与一个直角三角形可以做到面积相等,但它们不是全等三角形.故此命题是假命题.(3)由函数的概念,可知此命题是真命题.2.判断下列命题是否为特称命题,并判断其真假.(1)存在一个xR,使=0;(2)存在一组m、n的值,使m-n=1;(3)至少有一个集合A,满足A1,2,3.解析:用特称命题的概念来判定.要判定特称命题“xM,p(x)”是真命题,只需在集合M中找到一个

3、x0,使p(x0)成立即可,如果在集合M中,使p(x)成立的元素不存在,那么它是假命题.答案:(1)是特称命题.不存在xR,使=0成立,所以该命题是假命题.(2)是特称命题.当m=4,n=3时,使m-n=1成立,所以该命题是真命题.(3)是特称命题.存在A=3,使A1,2,3成立,所以该命题是真命题.小结 只需找到命题中满足条件的一个元素就可以说明特称命题是真命题,如果这样的元素不存在,那么这个特称命题就是假命题.练习：2.判断下列命题是全称命题还是特称命题?并判断其真假.(1)对数函数都是单调函数;(2)至少有一个整数,它既能被2整除,又能被5整除.(3)xx|x是无理数,x2是无理数;(4

4、)xx|xZ,log2x>0.答案:(1)全称命题,真命题;(2)特称命题,真命题;(3)全称命题,假命题;(4)特称命题,真命题.含有一个量词的命题的否定5.全称命题的否定是特称命题.即全称命题p: xM,p(x),它的否定非p:xM,非p(x).6.特称命题的否定是全称命题.即特称命题p:xM,p(x),它的否定非p:xM,非p(x).自我检测：判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定.(1)三角形的内角和为180°(2)每个二次函数的图像都开口向下;(3)存在一个四边形不是平行四边形.解析:全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.答案:(1)是全称命题且为真命

5、题.命题的否定是:三角形的内角和不全为180°,即存在一个三角形且它的内角和不等于180°.(2)是全称命题且为假命题.命题的否定是:存在一个二次函数的图像开口不向下.(3)是特称命题且为真命题.命题的否定是:所有的四边形都是平行四边形.小结 全称命题p:xM,p(x),它的否定非p:xM,非p(x);特称命题p:xM,p(x),它的否定非p:xM,非p(x),要注意形式上的变化.变式训练3.写出下列命题p的否定:(1)p:所有能被5整除的整数的末位数字是0或5;(2)p:有的等腰三角形是直角三角形;(3)p:任意两个等边三角形都是相似的;(4)p:xR,x2+2x+2=0

6、.答案:(1)非p:存在一个能被5整除的整数的末位数字不是0或5;(2)非p:所有的等腰三角形都不是直角三角形;(3)非p:存在两个等边三角形,它们不相似;(4)非p:xR,x2+2x+20.基础练习作业1.判断下列命题的真假:(1)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点P;(2)存在一个函数,既是偶函数又是奇函数;(3)每一条线段的长度都能用正有理数表示;(4)存在一个实数,使等式x2+x+8=0成立;(5)有一个实数x,使x2+2x+3=0;(6)存在两个相交平面垂直于同一直线;(7)有些整数只有两个正因数.解析:要判定全称命题“xM,p(x)”是真命题,需要对集合M中每个

7、元素x,证明p(x)成立,如果在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立,这个全称命题就是假命题;判定特称命题“xM,p(x)”是真命题,只需在集合M中找到一个元素x0,使p(x0)成立即可,如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么这个特称命题就是假命题.答案:(1)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)与平面内的点P是一一对应的关系,该全称命题是真命题.(2)如函数f(x)=0,xR,它既是偶函数又是奇函数,所以原特称命题是真命题.(3)每一条线段的长度都能用正有理数表示,由平面几何的知识可知它是正确的,所以原全称命题是真命题.(4)因为x2+x+8=(x+)2+>

8、;0,所以使x2+x+8=0成立的x不存在.所以原特称命题是假命题.(5)由于xR,x2+2x+3=(x+1)2+22,因此使x2+2x+3=0的实数x不存在,所以特称命题“有一个实数x,使x2+2x+3=0成立”是假命题.(6)由于垂直于同一直线的两个平面互相平行,不会相交,所以特称命题“存在两个相交平面垂直于同一直线”是假命题.(7)由于存在整数2只有两个正因数1和2,所以特称命题“有些整数只有两个正因数”是真命题.2.判断下列命题的真假:(1)xR,|x|+22; (2)x0,sinx>0;(3)xR,x2+3>0; (4)xN,x41;(5)xZ,x3<1; (6)x

9、Q,x2=3;(7)xR,x3-3x+2=0; (8)xR,x2+1=0.解析:要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x,证明p(x)成立;判定全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0,使得p(x0)不成立即可,即举出一个反例就行.要判定一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,至少能找到一个x=x0,使p(x0)成立即可,否则,这个特称命题是假命题.答案:(1)xR,总有|x|0,因而|x|+22,所以该全称命题是真命题.(2)00,但sin0=0,所以sin0>0不成立,所以该全称命题是假命题.(3)xR,x20,所以x2+33>0.所以x2+3&g

10、t;0.所以命题“xR,x2+3>0”是真命题.(4)由于0N,当x=0时,x41不成立,所以命题“xN,x41”是假命题.(5)由于-1Z,当x=-1时,能使x3<1,所以命题“xZ,x3<1”是真命题.(6)由于使x2=3成立的数只有±3,而它们都不是有理数,因此,没有任何一个有理数的平方能等于3,所以命题“xQ,x2=3”是假命题.(7)因为只有x=1或x=2时,满足x2-3x+2=0,而不是xR,x2-3x+2=0成立,所以命题“xR,x2-3x+2=0”是假命题.(8)因为不存在一个实数x,使x2+1=0成立,所以命题“xR,x2+1=0”是假命题.7.写出下列全称命题的否定:(1)xR,x2+x+1>0;(2)xQ,x2+x+1是有理数.解析:全称命题的否定是特称命题,即“xM,p(x)”的否定是“xM,非p(x)”.答案:(1)的否定是“xR,x2+x+10”;(2)的否定是“