专题05全等三角形中的常见辅助线强化练习(举一反三)

1、专题05全等三角形中的常见辅助线【举一反三】【人教版】川J分话1【考点i角分线上点向角两边作垂线构全等】【方法点拨】 过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题；【例 1】如图，已知 BP 平分 /ABC, PDBC 于 D, BF+BE=2BD,求证：/ BFP+/ BEP= 180°.BDE C【变式1-1(2019秋很阳区期中)已知：/AOB=90°, OM是/AOB的平分线，将三角板的直角顶点在射线OM上滑动，两直角边分别与 OA、OB交于C、D.(1) PC和PD有怎样的数量关系是 .(2)请你证明(1)得出的结论.【变式1-

2、2（2019W匕京校级期中）已知 Z MAN = 120°, AC平分/ MAN ,点B、D分别在 AN、AM上.（1）如图1,若/ABC= / ADC = 90°,请你探索线段 AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之;（2）如图2,若/ ABC+/ADC = 180°,则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立,请说明理由.【变式1-3（2019秋秋区校级月考）如图，OP是/MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题:（1）如图，在4ABC中，/ACB是直角，/B = 60

3、°, AD、CE分别是/ BAC、/ BCA的平分线， AD、CE相交于点F.请你判断并写出 FE与FD之间的数量关系；（不需证明）（2）如图，在4ABC中，/B = 60°, AD、CE分别是/BAC、/ BCA的平分线，AD、CE相交于点 F,请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.B图【考点2截取法构全等】【方法点拨】 利用对称性，在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形;【例2】（2019秋皿浦区校级期中）已知：在四边形ABCD 中，BC>BA, / A+/C= 180° ,且 / C = 60°,44

4、BD 平分/ABC,求证：BC=AB+DC.【变式2-1】已知 ABC中，/A=60°, BD, CE分别平分/ABC和/ACB, BD、CE交于点 O,试判断BE,CD, BC的数量关系，并说明理由.BC【变式2-2(2019秋邵阳期末)如图 ，在4ABC中，ZACB=2ZB, AD为/ BAC的角平分线，求证:AB=AC+CD小明同学经过思考，得到如下解题思路：在AB上截取 AE=AC,连接 DE,得到ADE/ADC,从而易证 AB= AC+CD(1)请你根据以上解思路写出证明过程；(2)如图，若AD为4ABC的外角/ CAE平分线，交BC的延长线于点 D, / D=25

5、6;,其他条件不变, 求/ B的度数.【变式2-3(2019张汀县校级模拟)观察、猜想、探究：在 ABC 中，/ACB = 2/B.(1)如图，当/C=90°, AD为/ BAC的角平分线时，求证：AB=AC+CD;(2)如图，当/CW90； AD为/BAC的角平分线时，线段 AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要 证明，请直接写出你的猜想；(3)如图，当AD为4ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想， 并对你的猜想给予证明.【方法点拨】题目中有垂直于角平分线的线段,则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形;【例3】如图，在4ABC中，/

6、ABC=3/C,AD 平分 / BAC, BEX AD 于 E,求证：BE = X (AC - AB).(提2示：延长BE交AC于点F）.求证：AC-AB = 2BE.【变式3-2（2019秋碰州区期末）已知:/ABC=3/C, /1 = /2, BEXAE./A=90°, AB=AC, BD 平分/ABC, CEXBD,垂足为 E.BE求证：BD = 2CE.【变式3-3（2019城都校级期中）如图，4ABC中，过点A分别作/ABC, / ACB的外角的平分线的垂线AD, AE. D, E为垂足，求证:(1) ED / BC;(2) ED= (AB+AC+BC).2BC【考点4倍长

7、中线法构全等】【方法点拨】 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形【例4】（2019秋徘南区校级期中）已知：在 4ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE =AC,延长BE交AC于F,求证：AF = EF.【变式4-1（2019秋?闵行区期中）如图，在 ABC中，AE平分/BAC,交BC于点E, D是BC边上点,且DE=CE,点F在AE上，联结 DF,满足 DF = AC,求证：DF/AB.【变式4-2（2019春福阳市校级期中）如图,AD为 ABC的中线，/ ADB和/ ADC的平分线分别交 AB、AC 于点 E、F.求证：BE+CF>EF.

8、【变式4-3（2019秋?启东市校级月考）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1, ABC中，若AB=8, AC=6,求BC边上的中线 AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 AD到点E,使DE = AD,请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到 ADCEDB的理由是A. SSSB. SASC. AASD. HL(2)求得AD的取值范围是A. 6VADV8B. 6<AD< 8C. 1VADV7D. 1AD<7【方法感悟】 解题时，条件中若出现 中点“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证 的结

9、论集合到同一个三角形中.【问题解决】(3)如图 2,已知：CD = AB, /BDA=/BAD, AE 是4ABD 的中线，求证： /C=/BAE.【考点5作平行线构全等】【方法点拨】 有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形.或通过 一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形.【例5】若两个三角形的一边及其对角对应相等，并有一对角互补(不是直角)，则这两个三角形为友好三角形.如图1,点D在AB边上，CD = CB,则4ABC和4ACD就是友好三角形.(1)两个友好三角形 全等.(从下面选择一个正确的填入)A. 一定 B.不一定

10、 C. 一定不(2)如图2,在 ABC中，AB = AC,点D在AB上，点E在AC延长线上，连结DE交BC于其中BD由F,若4BDF和4CEF是友好三角形，求证：DF = EF .(3)如图3, CE是4ABC的中线，点D在AC上，BD与CE交于点F, CF = AE, DF = DC ,图中与4ACE成友好三角形的是.【变式5-1（2019秋?建湖县期末）如图，在 ABC, AD 平分/BAC, E、F 分别在 BD、AD 上，且 DE =CD, EF = AC,求证：EF / AB.【变式5-2（2019春？可口区校级期中）如图所示，在 ABC 中，/ACB=90°,CD，AB于

11、D,AE平分/BAC交BC于E,交CD于F, FG / AB交BC于G.试判断CE, CF , GB的数量关系，并说明理由.【变式 5-3】 4ABC 中，/BAC = 60°, /C = 40°, AP 平分 /BAC 交 BC 于 P, BQ 平分/ABC 交 AC 于 Q,求证：AB+BP=BQ+AQ.（有多种辅助线作法）eCB【考点6旋转法构全等】【方法点拨】对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。【例6】(2019秋？青河区校级月考) 如图，正方形ABCD中，E、F为BC, CD的上点且/EAF = 45°,求证:EF= B

12、E+DF .【变式6-1】如图，已知 AB=CD = AE= BC+DE = 2, Z ABC= Z AED = 90°,求五边形 ABCDE的面积.【变式6-2(2019春?泰安校级月考)如图， ABC是边长为3的等边三角形，4BDC是等腰三角形，且/BDC=120度.以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交 AB于点M,交AC于点N,连接MN .(1)求证：MN = BM+NC;(2)求4AMN的周长为多少？【变式6-3已知，在四边形 ABCD中，点E、F分别在边BC、DC上，连接AF、EF.(1)如图1,若四边形 ABCD为正方形，且 /EAF=45°,求证

13、：EF = BE+DF;(2)如图 2,若四边形 ABCD 中，AB = AD, /B+/D=180°, Z EAF= Z BAD,试问(1)中的结论2还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.【考点1角分线上点向角两边作垂线构全等】【方法点拨】 过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题；【例 1】如图，已知 BP 平分 /ABC, PDBC 于 D, BF+BE=2BD,求证：/ BFP+/ BEP= 180°.BDE C【分析】过点 P作PH，AB于H,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD = PH,利用“

14、HL”证明RtBDP和RtABHP全等，根据全等三角形对应边相等可得 BD = BH ,再求出DE = FH ,然后利用“边 角边”证明 ODE和 PHF全等，根据全等三角形对应角相等可得/ BEP=Z PFH ,然后根据/ BFP + /PFH = 180。等量代换即可得证.【答案】证明：如图，过点 P作PHXAB于H, BP 平分/ ABC, PDXBC, PD = PH,在 RtABDP 和 RtABHP 中，M 二 BP, tPD=PH RtABDP RtABHP (HL), BD = BH, BF+BE= 2BD, BD-BF = BE-BD,即 BH - BF = BE - BD,

15、 FH =DE,在ODE和4PHF中，rFH=DE，ZPDE=ZPHF,FD 二 PH.,.ODEAPHF (SAS), ./ BEP = Z PFH , . / BFP+Z PFH =180° ,BFP+/ BEP= 180°BDE C【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，难点在于求出DE = FH.【变式1-1（2019秋很阳区期中）已知：/AOB=90°, OM是/AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与 OA、OB交于C、D.（1） PC和PD有怎

16、样的数量关系是 .（2）请你证明（1）得出的结论.【分析】过P分别作PELOB于E, PFLOA于F,由角平分线的性质易得 PE=PF,然后由同角的余角相等证明/ 1=7 2,即可由ASA证明CFPDEP,从而得证.【答案】解：（1） PC=PD. （4分）（2）过P分别作PELOB于E, PFLOA于F, ./CFP = / DEP=90° , （6 分） . OM是/ AOB的平分线， .PE=PF, （7分）1 + /FPD=90° ,（直角三角板）又. / AOB = 90° , ./ FPE = 90° ,.2+Z FPD =90°

17、,Z 1 = Z 2, （9 分）在4CFP和 DEP中叱 CFP=/DEP' PF-PE , IZ1=Z2.,.CFPA DEP （ASA）, （10 分），PC=PD. （12 分）【点睛】此题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，难度中等，作辅助线很关键.【变式1-2（2019W匕京校级期中）已知 Z MAN = 120°, AC平分/ MAN ,点B、D分别在 AN、AM上.（1）如图1,若/ABC= / ADC = 90°,请你探索线段 AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之;（2）如图2,若/ ABC+/ADC = 180°,则（1

18、）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立,请说明理由.【分析】（1）得到/ ACD = /ACB=30°后再可以证得 AD=AB = AC从而，证得结论;2（2）过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为 E、F,证得 CEDCFB后即可得到 AD+AB=AEED+AF+FB = AE+AF,从而证得结论.【答案】（1）关系是：AD+AB= AC （1分）证明： AC 平分/ MAN, Z MAN = 120° ./ CAD = Z CAB = 60 °又/ ADC = Z ABC =90 ° , ./ ACD = / ACB=30°

19、（2 分）则AD=AB = AC （直角三角形一锐角为 30° ,则它所对直角边为斜边一半）（4分）AD+AB = AC （5 分）；（2）仍成立.证明：过点 C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为 E、F （6分）. AC 平分/ MANCE= CF （角平分线上点到角两边距离相等）（7分） . /ABC+/ADC= 180° , / ADC+/CDE = 180° ./ CDE = Z ABC又/ CED = / CFB = 90° , .CEDA CFB （AAS） （10 分） ED = FB,AD+AB=AE- ED+AF+FB = AE+AF

20、（11 分）由（1）知 AE+AF = AC （ 12 分） .AD+AB = AC （13 分）A F B N【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质、直角三角形的性质等知识，是一道比较好的综合题.【变式1-3（2019秋次区校级月考）如图 ，OP是/MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在4ABC中，/ACB是直角，/B = 60°, AD、CE分别是/ BAC、/ BCA的平分线， AD、CE相交于点F.请你判断并写出 FE与FD之间的数量关系；（不需证明）（2）如图，在

21、4ABC中，/B = 60°, AD、CE分别是/BAC、/ BCA的平分线，AD、CE相交于点 F, 请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.B【分析】图根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，过点 P作PAXOM于A,彳PBXON于B, POA和 POB即为关于直线 OP对称的全等三角形；（1）猜想 FE=FD;（2）过点F作FGLAB于G,作FH，BC于H,作FKXAC于K,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得 FG = FH=FK,根据四边形的内角和定理求出/GFH = 120° ,再根据三角形的内角和定理求出/ AFC

22、= 120° ,根据对顶角相等求出/EFD = 120° ,然后求出/ EFG = / DFH ,再利用“角角边”证明 EFG和 DFH全等，根据全等三角形对应边相等可得FE= FD .【答案】解：图如图所示；(1) FE = FD;(2)如图，过点 F作FGXAB于G,作FH，BC于H ,作FKLAC于K,.AD、CE分别是/ BAC、/ BCA的平分线，fg = fh = fk,在四边形 BGFH 中，/ GFH =360° 60° 90° X 2= 120° ,.AD、CE 分别是/ BAC、/ BCA 的平分线，/ B = 6

23、0° , .Z FAC+Z FCA = (180。- 60° ) = 60° ,2在 AFC 中，Z AFC = 180° (/ FAC+/FCA) =180° 60° =120° , ./ EFD = Z AFC= 120° , ./ EFG = Z DFH ,在 EFG和 DFH中，rZEFG=ZDFH& FG=FH,、NEGF 二 NDHF 二 90。EFGA DFH (ASA),FE= FD.B【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，遇到角平分线，作角平分线上的

24、点到两边的距离构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点.【考点2截取法构全等】【方法点拨】 利用对称性，在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形；例2 （2019秋世浦区校级期中）已知：在四边形 ABCD中，BOBA, /A+/C=180°,且/C = 60°,BD 平分/ABC,求证：BC=AB+DC.【分析】先在 BC上截取BE=BA,根据已知条件证明 BADBED,进而可得出 AD = DE , Z A= ZBED,再根据/ BED+ZDEC = 180° , /A+/C=180° , /C=60° ,可知 CDE 是等边三角形，故可

25、 得出结论.【答案】证明：在 BC上截取BE=BA, BD 平分/ ABC, ./ ABD = / EBD,在 BAD和 BED中，rBA=BE ZABD=ZEBDM二BDBADA BED (SAS),AD = DE, / A=/ BED , . Z BED+Z DEC= 180° , /A+/C = 180° , ./ C=Z DEC,DE = DC , DC=AD . / C=60° ,.CDE是等边三角形，DE = CD=CE,BC= BE+CE= AB+CD .【点睛】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等 三角

26、形是解答此题的关键.【变式2-1】已知 ABC中，Z A=60°, BD, CE分别平分/ABC和/ACB, BD、CE交于点 O,试判断BE,CD, BC的数量关系，并说明理由.BC【分析】在 CB上取点G使得CG = CD,可证 BOEA BOG,得BEBG,可证 CDOACGO,得CD=CG,可以求得 BE+CD = BC.【答案】解：在 BC上取点G使得CG = CD , . / BOC= 180° 工(/ ABC+/ACB) = 180° 工(180° - 60° ) = 120° ,22 ./ BOE = Z COD =

27、60° , 在 COD 和 COG 中，'CO=CO' ZDC0=ZGC0,£D=CG .COD，COG (SAS), ./ COG =/ COD = 60 ° , ./BOG = 120° -60° =60° =/ BOE, 在 BOE 和 BOG 中，rZB0G=ZB0E，BO-BO , lZEB0=ZGB0BOEA BOG (ASA),BE= BG,BE+CD = BG+CG= BC.【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角、 对应边相等的性质，本题中求证CD=CG和BE = BG是解题的关键.

28、【变式2-2(2019秋邵阳期末)如图 ，在4ABC中，ZACB=2ZB, AD为/ BAC的角平分线，求证:AB=AC+CD小明同学经过思考，得到如下解题思路：在AB上截取 AE=AC,连接 DE,得到ADE/ADC,从而易证 AB= AC+CD(1)请你根据以上解思路写出证明过程；D=25°,其他条件不变,(2)如图，若AD为4ABC的外角/ CAE平分线，交BC的延长线于点 D, / 求/ B的度数.【分析】(1)首先得出 AEDA ACD (SAS),即可得出/ B=/BDE,求出答案；(2)首先得出 AEDA ACD (SAS),即可得出/ B=/EDC,求出 BE= DE

29、BE = DE = CD,进而得出= CD,进而得出答案. AD为/ ABC的角平分线,【答案】证明：(1)在AB上截取AE=AC,连接DE, ./ EAD = Z CAD,在 AED和 ACD中，rAB=AC二EAD二二 CA2 ,lAD=ADAEDA ACD (SAS),ED = CD, / C=/ AED, . / ACB = 2/ B, ./AED=2/B,/ B+Z BDE=Z AED, ./ B=Z BDE,BE= ED = CD, . AB= AE+BE=AC+CD;(2)在射线BA上截取AE=AC,连接DE, AD为/ EAC的角平分线， ./ EAD = Z CAD,在 AE

30、D和 ACD中，'AE=AC< ZEAD-ZCAD,lad=adAEDA ACD (SAS),ED = CD, / ACD=Z AED, . / ACB = 2/ B, 设/ B = x,则/ ACB = 2x, ./ EAC=3x, ./ EAD = Z CAD = 1.5x, . / ADC+/ CAD = / ACB=2x,Z ADC = 0.5x= 25° ,解得：x=50° ./ EDC = x, ./ B=Z EDC= 50° ,【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形外角的性质等知识，利用已知得出AED0ACD是解题关键.

31、【变式2-3(2019张汀县校级模拟)观察、猜想、探究：在 ABC 中，/ACB = 2/B.(1)如图，当/C=90°, AD为/ BAC的角平分线时，求证：AB=AC+CD;(2)如图，当/CW90； AD为/BAC的角平分线时，线段 AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（3）如图，当AD为4ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想, 并对你的猜想给予证明.【分析】（1）过D作DELAB,交AB于点E,理由角平分线性质得到 ED = CD ,利用HL得到直角三角 形AED与直角三角形 ACD全等，由全等三角形的对

32、应边相等， 对应角相等，得到AE = AC, /AED=/ ACB,由/ACB = 2/B,利用等量代换及外角性质得到一对角相等，利用等角对等边得到BE = DE,由AB=AE+EB,等量代换即可得证；（2） AB=CD+AC,理由为：在AB上截取AG = AC,如图2所示，由角平分线定义得到一对角相等，再由AD=AD,利用SAS得到三角形 AGD与三角形ACD全等，接下来同（1）即可得证；（3） AB = CD - AC,理由为：在 AF上截取AG = AC,如图3所示，同（2）即可得证.【答案】图 图 图解：（1）过D作DELAB,交AB于点E,如图1所示, AD 为/ BAC 的平分线，

33、DCAC, DEXAB,DE = DC,在 RtAACD 和 RtAAED 中,AD=AD, DE = DC, RtAACD RtAAED (HL),AC= AE, / ACB=Z AED, . / ACB = 2/ B, ./AED=2/B,又. / AED = Z B+Z EDB,B=Z EDB,BE= DE = DC, 则 AB=BE+AE=CD+AC;(2) AB = CD+AC,理由为：在AB上截取 AG=AC,如图2所示, ,AD为/ BAC的平分线，/ GAD = / CAD , 在 ADG 和 ADC 中，'AG = AC，ZGAD-ZCAD,lad=ad .ADGAA

34、DC (SAS),CD = DG, /AGD = /ACB, . / ACB = 2/ B, ./ AGD = 2/B,又. / AGD = Z B+ZGDB , ./ B=Z GDB,BE=DG=DC, 则 AB=BG+AG = CD+AC;(3) AB = CD - AC,理由为： 在AF上截取AG=AC,如图3所示, ,AD为/ FAC的平分线，/ GAD = / CAD , 在 ADG 和 ACD 中，'AG = AC、ZGAD=ZCAD,lad=ad .ADGAACD (SAS),CD = GD, Z AGD = Z ACD ,即/ACB = /FGD, . / ACB =

35、2/ B, ./ FGD =2ZB,又. / FGD =Z B+/GDB , ./ B=Z GDB,BG = DG=DC,则 AB=BG-AG = CD - AC.【点睛】此题考查了角平分线性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线性质是解本题的关键.【考点3延长垂线段构全等】【方法点拨】 题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形；【例 3】如图，在 4ABC 中，/ABC=3/C, AD 平分 / BAC, BE, AD 于 E,求证：BE = 1 (AC - AB) .(提2示：延长BE交AC于点F).【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得/ A

36、BF = /AFB, AB = AF, BE=EF,根据三角形外角的性 质，可得/ C+ZCBF = Z AFB = Z ABF,根据角的和差、等量代换，可得/ CBF = /C,根据等腰三角形 的判定，可得BF = CF,根据线段的和差、等式的性质，可得答案.【答案】证明：如图：延长 BE交AC于点F,BF± AD, ./ AEB = / AEF. AD 平分/ BAC, ./ BAE = Z FAE在4ABE和 AFE中， j/AEB =/AEF AE=AE ,ABEA AFE (ASA) ./ABF = / AFB, AB = AF, BE=EF. / C+/ CBF=/ AF

37、B = Z ABF,/ ABF+ / CBF = / ABC = 3/ C,.C+2 /CBF= 3/ C, ./ CBF = Z C.BF= CF,BE=-1-BF= J-CF.22 ，CF= AC-AF=AC-AB,BE=X (AC - AB).2【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质,等量代换，等式的性质，利用等量代换得出/CBF = ZC是解题关键.【变式 3-1】已知：如图，在 4ABC 中，ZABC=3ZC, /1 = /2, BEXAE.求证：AC-AB = 2BE.3=/4, AB=AM, .AC -AB=AC-AM【分析】延长

38、BE交AC于M,利用三角形内角和定理，得出/= CM.再利用/ 4是 BCM的外角，再利用等腰三角形对边相等，CM = BM利用等量代换即可求证.【答案】证明：延长 BE交AC于M BEX AE, ./ AEB = / AEM = 90°在4ABE中，, / 1 + Z 3+Z AEB= 180° , / 3=90° / 1同理，/ 4=90° - Z 2Z 1 = Z 2,/ 3= / 4,AB= AM BEX AE,BM = 2BE, .AC - AB=AC-AM= CM,4是4 BCM的外角 / 4=/ 5+/C . /ABC=3/C, Z ABC

39、 = Z3+Z5=Z4+Z53ZC=Z 4+/ 5=2/ 5+Z CCM = BM .AC AB=BM = 2BE【点睛】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题的关键是作好辅助线，延长BE交AC于M,利用三角形内角和定理，三角形外角的性质，考查的知识点较多，是一道难题.【变式3-2（2019秋磁州区期末）已知： /A=90°, AB=AC, BD平分/ABC, CEXBD,垂足为 E.求证：BD = 2CE.BE【分析】延长CE、BA交于点F.根据等角的余角相等，得/ ABD = /ACF;再根据ASA可以证明 ABDACF,则BD=CF;根据ASA可以证明 BCEA

40、 BFE,则CE= EF,从而证明结论.【答案】证明：延长 CE、BA交于点F. CEBD 于 E, / BAC = 90 ./ ABD = / ACF.又 AB = AC, Z BAD = Z CAF = 90° ,ABDA ACF, BD = CF . BD 平分/ ABC, ./ CBE = / FBE.有 BE= BE,BCEA BFE,CE= EF,.-.ce=-Lbd, 2BD = 2CE.B【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质；准确作出辅助线是正确解决本题的关键.【变式3-3（2019城都校级期中）如图， 4ABC中，过点A分别作/ABC, / ACB的外角的平分线

41、的垂线AD, AE. D, E为垂足，求证：（1） ED / BC;【分析】(1)分别延长 AD、AE与直线BC交于点F、G,根据ADXBD,得到/ ADB = / FDB = 90° ,再根据 BD=BD, /ABD = /FBD,证得 ABDA FBD ,进而得到 AD= FD、AE = EG ,证得 DE/ BC.(2)根据上题证得的 ABDA FBD , AB= BF ,同理 AC=CG,证得 GF = FB+BC+GC = AB+BC+AC, 从而证得结论.【答案】证明：（1）分别延长 AD、AE与直线BC交于点F、G,ADXBD, ./ ADB = / FDB = 90&

42、#176; , BD = BD, / ABD = / FBD ,ABDA FBDAD = FD,同理可得AE=EG,DE / BC;(2)由(1)知 ABDA FBD ,AB= BF,同理AC=CG, DE=FG2GF = FB + BC+GC= AB+BC+AC,DE=-L (AB+BC+AC)2【点睛】本题考查了三角形的中位线定理及三角形的有关知识，解题的关键是正确的利用中位线定理得到中位线与第三边的位置或数量关系.【考点4倍长中线法构全等】【方法点拨】 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形.BE =【例4】（2019秋徘南区校级期中）已知：在 4ABC中，

43、AD是BC边上的中线，E是AD上一点,AC,延长BE交AC于F,求证：AF = EF.【分析】根据点 D是BC的中点，延长 AD到点G,得到 ADCA GDB ,利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到AEF中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE等于EF.【答案】证明：如图，延长 AD到点G,使得AD=DG,连接BG.AD是BC边上的中线（已知），DC = DB,在4ADC和4GDB中，fAD=DG、NADC=NGDB（对顶角相等）lDC=DBADCA GDB （SAS）,CAD = / G, BG = AC又 BE=AC,BE= BG, ./ BED = / G, . /

44、BED = / AEF, ./ AEF = / CAD,即：/ AEF = / FAE,AF= EF.1G【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意作辅助线得到全等三角形，利用全等三角形的性质，得到对应的角相等，然后证明两线段相等.【分析】根据点 D是BC的中点，延长 AD到点G,得到 ADCA GDB,利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到AEF中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE等于EF.【答案】证明：如图，延长 AD到点G,使得AD=DG,连接BG.AD是BC边上的中线（已知），DC = DB,在4ADC和4GDB中，ADRG, NADC=NGDB（对顶角

45、相等）ldc=dbADCA GDB （SAS）,CAD = Z G, BG = AC又 BE=AC,BE= BG, ./ BED = / G, . / BED = / AEF, ./ AEF = / CAD,即：/ AEF = / FAE,AF= EF.TG【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意作辅助线得到全等三角形，利用全等三角形 的性质，得到对应的角相等，然后证明两线段相等.【变式4-1（2019秋?闵行区期中）如图，在 4ABC中，AE平分/BAC,交BC于点E, D是BC边上点,且DE=CE,点F在AE上，联结 DF,满足 DF = AC,求证：DF/AB.【分析】延长

46、FE至ij G,使EG=EF.连接CG ,由于已知条件通过 SAS证得 DEFA CEG得到DF = GC, /DFE = /G,由DF=AC得到/ G=/ CAE,继而由角平分线的性质可求得/ BAE=/DEF,可证 明 DF / AB.【答案】证明：如图，延长 FE到G,使EG=EF,连接CG .在4DEF和4CEG中fDE=EC、NDEF:NCEG,lfe=egDEFA CEG (SAS).DF =GC, / DFE = Z G. DF =AC, . G = / CAE, AE 平分/ BAC ./ BAE = Z CAE. . G = / BAE, ./ BAE = Z DFE, DF

47、 /AB.K G【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，通过作辅助线，构造全等三角形进行求解是正确解决 本题的关键.【变式4-2（2019春福阳市校级期中）如图， AD为4ABC的中线，/ ADB和/ ADC的平分线分别交 AB、AC 于点 E、F.求证：BE+CF>EF.连接 CH, FH ,证 EFDA HFD ,推出 EF = FH ,证4 BDEA【答案】证明:3HCDH,推出BE=CH,在 CFH中，由三角形三边关系定理得出CF + CH > FH ,代入求出即可.延长ED至U H,使DE = DH,连接 CH, FH ,.AD是 ABC的中线,BD = DC, DE

48、、DF分别为/ ADB和/ ADC的平分线，1 = / 4 = Z ADB, Z 3=Z 5 = Z ADC ,22. / 1 + /3=/4+/5 =工/ADB+ADC = Lx 180° =90° ,222/ 1 = / 2,即/ EDF =/ FDH ,在 EFD和 HFD中，fDE-DH，ZFDE=ZFDH, iDF二DFEFDA HFD (SAS),EF= FH ,在BDE ACDH 中，rDE=DH, /1=N2，BD=DCBDEA CDH (SAS),BE= CH,在4CFH中，由三角形三边关系定理得：CF+CH>FH,. CH = BE, FH = E

49、F,BE+CF>EF.【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理的应用，题目比较好，但是有一定的难度.【变式4-3(2019秋?启东市校级月考)【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图 1, ABC中，若AB=8, AC=6,求BC边上的中线 AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下 的解决方法：延长 AD到点E,使DE = AD,请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到 ADC0EDB的理由是 A. SSSB. SASC. AASD. HL(2)求得AD的取值范围是A. 6VADV8B, 6<AD< 8 C. 1vAD&l

50、t;7D, 1AD<7【方法感悟】解题时，条件中若出现 中点“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.【问题解决】(3)如图 2,已知：CD = AB, /BDA=/BAD, AE 是4ABD 的中线，求证： /C=/BAE.【分析】延长 ED至ij H,使DE= DH ,连接 CH, FH ,证 EFDA HFD ,推出EF = FH ,证4 BDEACDH,推出BE=CH,在 CFH中，由三角形三边关系定理得出CF + CH > FH ,代入求出即可.-7【答案】证明：-延长ED到H,使DE = DH,连接 CH, FH

51、, AD是 ABC的中线，BD = DC, DE、DF分别为/ ADB和/ ADC的平分线，1 = Z 4 = -l-Z ADB, /3=/5 = L/ADC,22. / 1 + / 3=Z 4+Z 5 = Z ADB+Z ADC = X 180° =2 22Z 1 = Z 2,. / 3+Z 2=90° ,即/ EDF =/ FDH ,在 EFD和 HFD中，fDB=DH，ZFDE=ZFDH,DF=DFEFDA HFD (SAS),EF= FH ,在BDE ACDH 中，rDE=DH，Z1=Z2,lBD=DCBDEA CDH (SAS),BE= CH,在4CFH中，由三角

52、形三边关系定理得：CF+CH>FH,. CH = BE, FH = EF,BE+CF>EF.【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理的应用，题目比较好，但是有定的难度.【考点5作平行线构全等】【方法点拨】 有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形.或通过 一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形.【例5】若两个三角形的一边及其对角对应相等，并有一对角互补(不是直角) ，则这两个三角形为友好三角形.如图1,点D在AB边上，CD = CB,则4ABC和4ACD就是友好三角形.(1)两个友好三角形

53、全等.(从下面选择一个正确的填入)A. 一定 B.不一定 C. 一定不(2)如图2,在 ABC中，AB = AC,点D在AB上，点E在AC延长线上，连结DE交BC于其中BD由F, 若4BDF和4CEF是友好三角形，求证：DF = EF .(3)如图3, CE是4ABC的中线，点 D在AC上，BD与CE交于点F, CF = AE, DF = DC ,图中与 ACE成友好三角形的是 .【分析】(1)由友好三角形的定义可求解；(2)过点D作DG /AC交BC于点G,由友好三角形的定义可得BD = CE, / B+/BCE=180° ,通过证明DFGECF,可得 DF=EF;(3)由题意可得

54、/ DCF =/DFC = / EFB, BE=AE, / BEF+/ AEC= 180 ° ,由友好三角形的定义可得 BEF与 ACE成友好三角形；【答案】解：(1)二.两个友好三角形一对角互补两个友好三角形一定不全等故选C(2)如图2,过点D作DG / AC交BC于点G, BDF和4CEF是友好三角形，BD = CE, /B+/BCE=180° AB= ACB=Z ACB, DG / AC/ ACB = / DGB , / DGC = / BCE ./ ACB = / DGB = Z BDG = DB,且/ DGC = / BCE, / DFG = / CFEDFG E

55、CF (AAS)DF =EF(3)CE ABC 的中线，AE= BE, DF =DC ./ DFC = Z DCF ./ DCF = Z DFC = Z EFB,且 BE= AE, / BEF+Z AEC= 180°BEF与 ACE成友好三角形故答案为： BEF【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解这个题的关键是能根据已知题意和所学的定理进行推理.题目比较好，但是有一定的难度.【变式5-1(2019秋?建湖县期末)如图，在 ABC, AD平分/BAC, E、F分别在 BD、AD上，且 DE =CD, EF = AC,求证：EF / AB.【分析】过 E作AC的平行线于 AD延长线交于 G点，可证明 DEG0DCA,可得EG=EF,可证明EF / AB.【答案】解：过 E作AC的平行线于AD延长线交于G点,