乘法公式学习要点

1、乘法公式学习要点江苏刘顿乘法公式是指：平方差公式；完全平方公式.这两个公式都是乘法运算中极为重要的公式，也是今后进一步学习的基础，它的应用十分广泛，同学们学习时一定要掌握好并能熟练地运用，因此，建议同学们学习时应注意掌握以下几个要点：一、 能正确理解公式的结构特征平方差公式可以用语言叙述为“两个数的和与这两个的差积等于这两个数的平方差”，即用字母表示为：(a+b)(ab)=a2b2；其结构特征是：公式的左边是两个一次二项式的乘积，并且这两个二项式中有一项是完全相同的，另一项则是互为相反数，右边是乘式中两项的平方差.完全平方公式可以用语言叙述为“两个数和（或差）的平方，等于第一数的平方加上（或减

2、去）第一数与第二数乘积的2倍，加上第二数的平方”，即用字母表示为：(a+b)2=a2+2ab+b2；(ab)2=a22ab+b2；其结构特征是：左边是“两个数的和或差”的平方，右边是三项，首末两项是平方项，且符号相同，中间项是2ab，且符号由左边的“和”或“差”来确定.二、正确理解乘法公式的几何意义结合几何图形，利用面积的关系，可以加深对乘法公式实际意义的理解和运用.1，平方差公式如图1，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2b2，若把小长方形旋转到小长方形的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成S+ SS+S(a+b)(ab).从而验证了平方差公式(a+b)(ab)

3、=a2b2. aabbbbab图1图2baba2，完全平方公式如图2，大正方形的面积可以表示为(a+b)2，也可以表示为SS+ S+ S+S，同时Sa2+ab+ab+b2a2+2ab+b2.从而验证了完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2；同样也可以验证完全平方公式(ab)2=a22ab+b2. 三、注意理解乘法公式中字母的广泛意义在乘法公式中，字母a、b都具有广泛意义，它们既可以分别取具体的数，也可以取一个单项式、一个多项式或代数式.如（3n+2m）（2m3n）（2m+3n）（2m3n）4m29n2，这里的2m就相当于平方差公式里的a，3n就相当于平方差公式里的b，又如(3x+y2)2

4、(3x+y)22(3x+y)2+229x2+6xy12x+y24y+4，或者(3x+y2)2(3x)2+23x (y2)+ (y2)29x2+6xy12x+y24y+4.前者是把3x+y看成是完全平方公式中的a，2看成是b；后者是把3x看成是完全平方公式中的a，y2看成是b.四、注意掌握乘法公式常见的恒等变形乘法公式的几种常见的恒等变形有：1，a2+b2(a+b)22ab(ab)2+2ab.2，ab(a+b)2（a2+b2）(a+b)2(ab)2.3，(a+b)2+(ab)22a2+2b2.4，(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca.利用上述的恒等变形，我们可以迅速地解决有

5、关看似与乘法公式无关的问题，并且还会收到事半功倍的效果.例1已知a+b+c0，a 2+ b 2+ c 24，试求：a 4+ b 4+ c 4的值.分析乍看待求式和已知条件毫无关系，但细细琢磨一下，可将c视为已知数，对a、b利用完全平方公式（2），再结合（1）即可求解.解由已知条件，得a+bc，a 2+b 24c 2.由上面的变形2，得ab（a+b）2（a 2+b 2）（c）2（4c 2）c 22，再由上面的变形1，得a 4+b 4（a 2+b 2）22 a 2b 2（4c 2）22（c 22）28c 4.所以a 4+ b 4+ c 48.通过上面的例题，我们还知道有些题目往往不能直接地运用乘法

6、公式来求解，所以我们还必须熟练掌握下列几种常见的恒等变换：1， 位置的变换.如(3n+2m)(2m3n)(2m+3n)(2m3n)4m29n2.2， 符号的变换.如(ab)(ab)(a+b)(ab)a2+b2；(ab)2(a+b)2.3， 系数的变换.如(3 m2 n)(9m6 n)3(3 m2 n)227m236 mn+12n2.4，数字的变换.如9901010(100010)(1000+10)10002102999900；10012(1000+1)210002+2000+11002001.5，整体的变换.如(3x+y2)2(3x+y)22(3x+y)2+229x2+6xy12x+y24y+

7、4.五、注意乘法公式的灵活运用乘法公式的学习的关键是要能灵活运用其解题，即不但要会正向和逆向运用，而且要会对公式进行变换运用，现举例说明.例1 计算1.3450.3452.691.34531.3450.3452.分析先逆用分配律，再利用完全平方公式即可.解1.3450.3452.691.34531.3450.34521.345（1.3452+0.34520.3452.69）1.345（1.345221.3450.345+0.3452）1.345（1.3450.345）21.345121.345.说明在有关复杂的数字计算中，如能抓住数字特点，巧用平方差公式或完全平方公式，可简化运算过程，提高运算

8、效率，培养良好的数学素质.例2已知S1222+3242+9921002+1012，试求S被103除的余数.分析观察S中的因数特点可逆用平方差公式直接算出其结果看看.解逆用平方差公式，得S1222+3242+9921002+1012（12）（1+2）+（34）（3+4）+（99100）（99+100）+1012（1+2+3+4+99+100）+1012（1+100）50+（1+100）25151，所以S被103除的余数为1.说明对于两个因数或因式是平方差的形式都可以考虑逆用平方差公式.例3计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（22n+1）的值.分析观察每一个括号内的两项都可以写成

9、平方和的形式，于是为了能便于运用平方差公式，待求式中都是和的形式，没有差的形式，这时可设法构造出差的因数，于是可乘以1，即（21），这样就可巧妙的运用平方差公式了.解（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（22 n +1）（21）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（22 n +1）（221）（22+1）（24+1）（28+1）（22 n +1）（241）（24+1）（28+1）（22 n +1）（22 n1）（22 n +1）42 n1.说明有些题目中虽然没有明显的公式可以套用，但通过适当变形后就会发现其中的奥妙.例4计算：.分析对分母我们既可以医巧妙地运用平方差公式，也可以巧妙地运用完全平