高等数学(2017高教五版)课件多元函数微分学的几何应用(工科类)

1、第八讲 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用一、一元向量值函数及其导数二、空间曲线的切线与法平面三、曲面的切平面与法线多元函数微分学的几何应用一、一元向量值函数及其导数二、空间曲线的切线与法平面三、曲面的切平面与法线一、一元向量值函数及其导数（一）向量值函数的概念（二）向量值函数的极限和连续（三）向量值函数的导数（四）举例一、一元向量值函数及其导数（一）向量值函数的概念（二）向量值函数的极限和连续（三）向量值函数的导数（四）举例引入空间曲线的参数方程),(tx ),(ty ),(tz , tzkyjxir ktjtittf)()()()( )(tfr 映射3, :Rf 一元向量值函

2、数定义设数集,RD 则称映射nRDf:为一元向量值函数，通常记为：因变量自变量定义域Dttfr ),(l注(1) 一元向量值函数是一元函数的推广一元函数一元向量值函数自变量因变量实数值实数值实数值n维向量(2) 这里只研究n=3的情形表示法在3R中, 若向量值函数Dttf ),(的三个分量函数依次为,),(),(),(321Dttftftf 则向量值函数f可表示为Dtktfjtfitftf ,)()()()(321或Dttftftftf ),(),(),()(321图形xyzOMr设,OMr 当t 改变时,终点M的轨迹(记作曲线)称为向量值函数Dttfr ),(的终端曲线，曲线也称为向量值函数

3、Dttfr ),(的图形一、一元向量值函数及其导数（一）向量值函数的概念（二）向量值函数的极限和连续（三）向量值函数的导数（四）举例一、一元向量值函数及其导数（一）向量值函数的概念（二）向量值函数的极限和连续（三）向量值函数的导数（四）举例定义设向量值函数)(tf在点0t的某一去心邻域内有定义, 如果存在一个常向量,0r对于任意给定的正数, 总存在正数, 使得当t 满足 |00tt时,对应的函数值)(tf都满足:,|)(|0 rtf那么,常向量0r就叫做向量值函数)(tf当0tt 时的极限，记作,)(lim00rtftt 或00,)(ttrtfl注向量值函数)(tf当0tt 时的极限存在的充要

4、条件:)(tf的三个分量函数)(),(),(321tftftf当0tt 时的极限存在,且有: )(lim),(lim),(lim)(lim3210000tftftftftttttttt定义l注 向量值函数)(tf在0t连续的充要条件:设向量值函数)(tf在点0t的某一邻域内有定义, 若)()(lim00tftftt 则称向量值函数)(tf在0t连续.)(tf的三个分量函数)(),(),(321tftftf都在0t连续.定义设向量值函数.),(Dttf 若,1DD )(tf在1D中的每一点都连续，则称)(tf在1D上连续,并称)(tf1D为上的连续函数.一、一元向量值函数及其导数（一）向量值函数

5、的概念（二）向量值函数的极限和连续（三）向量值函数的导数（四）举例一、一元向量值函数及其导数（一）向量值函数的概念（二）向量值函数的极限和连续（三）向量值函数的导数（四）举例定义.|dd0tttr 设向量值函数)(tf在点0t的某一邻域内有定义, 如果ttfttftrtt )()(limlim0000存在,那么就称这个极限向量为向量值函数)(tfr 在0t处的导数或导向量,记作)(0tf 或l注)(tf的三个分量函数)(),(),(321tftftf都在0t可导.0t向量值函数)(tf在可导的充要条件:当)(tf在0t可导时,.)()()()(321ktfjtfitftf )(tf1D),(0

6、tf 设向量值函数.),(Dttf 若,1DD )(tf在1D中的每一点都存在导向量在上可导.那么就称运算法则(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)0dd Ct)()(ddtuctcut )()()()(ddtvtutvtut )()()()()()(ddtuttuttutt )()()()()()(ddtvtutvtutvtut )()()(ddtuttut )()()()()()(ddtvtutvtutvtut 设)(),(),(ttvtu 可导,C是常向量,c是任一常数，则几何意义xyzOr割向量0 t向量向量值函数Dttfr ),(的终端曲线,为空间曲线割向量切向量与t 的增长方向

7、一致0 t与t 的增长方向相反与t 的增长方向一致与t 的增长方向一致向量值函数Dttfr ),(的终端曲线在点M处的一个切向量,其指向与t 的增长方向一致.MNr tr trt 0lim: )(0tf ),(0tfOM )(0ttfON 指向, 0)(0 tf设一、一元向量值函数及其导数（一）向量值函数的概念（二）向量值函数的极限和连续（三）向量值函数的导数（四）举例一、一元向量值函数及其导数（一）向量值函数的概念（二）向量值函数的极限和连续（三）向量值函数的导数（四）举例u例1).(lim4tft 设,)(sin)(cos)(tkjtittf 求u例2u例3(1)滑翔机在任意时刻t 的速度

8、向量和加速度向量;(2)滑翔机在任意时刻t 的速率;(3)滑翔机的加速度与速度正交的时刻.设空间曲线的向量方程为,),62 , 34 , 1()(22Rttttttfr 求曲线在与20 t相应的点处的单位切向量.一个人在悬挂式滑翔机上由于快速上升气流而位置向量为ktjtittfr2)sin3()cos3()( 的路径螺旋式向上. 求多元函数微分学的几何应用一、一元向量值函数及其导数二、空间曲线的切线与法平面三、曲面的切平面与法线多元函数微分学的几何应用一、一元向量值函数及其导数二、空间曲线的切线与法平面三、曲面的切平面与法线过点 M 与切线垂直的平面空间曲线在点 M 处的割线的极限位置空间曲线

9、在点 M 处的切线空间曲线在点 M 处的法平面xyzOM二、空间曲线的切线与法平面（一）参数式方程的情形（二）一般式方程的情形二、空间曲线的切线与法平面（一）参数式方程的情形（二）一般式方程的情形)(, )(, )(:tztytx切线方程000zzyyxx)(0t)(0t)(0tM(x0,y0,z0)对应的参数为t0法平面方程)(00 xxt)( )(00yyt0)(00zzt)(0tf T)(),(),(000ttt 切向量l注不全为0)(),(),(000ttt zyxo),0(20kRMu例4切线方程000zzyyxx)(0t)(0t)(0t法平面方程)(00 xxt)( )(00yyt

10、0)(00zzt求曲线 32,tztytx的切线方程和法平面方程.在点(1,1,1)处u例5求螺旋线 kzRyRx,sin,cos2对应点处的切线方程和在法平面方程.特例)(, )(:xzxy视为参数方程 ),(, )(,xzxyxx 参数为x， 切线方程000zzyyxx1)(0 x)(0 x法平面方程0)()()(00000zzxyyxxxT)(),(, 1 (00 xx 二、空间曲线的切线与法平面（一）参数式方程的情形（二）一般式方程的情形二、空间曲线的切线与法平面（一）参数式方程的情形（二）一般式方程的情形光滑曲线0),(0),(:zyxGzyxFF,G有对各个变量的连续偏导数0),(

11、),(),(000 zyxzyGF在),(0000zyxM的某邻域内)(xy )(xz 0)(),(, xxxF 0)(),(, xxxG 两边对x求导0dddd xzzFxyyFxF0dddd xzzGxyyGxGT)(),(, 1 (00 xx 000),(),(,),(),(,),(),(MMMyxGFxzGFzyGF切线方程法平面方程 000zzyyxxMzyGF),(),(MxzGF),(),(MyxGF),(),(MzyGF),(),()(0 xxMyxGF),(),(MxzGF),(),()(0yy0)(0 zzT 000),(),(,),(),(,),(),(MMMyxGFxz

12、GFzyGFu例6 求曲线处的切线及法平面方程. 0, 6222 zyxzyx在点) 1 , 2, 1 ( 处多元函数微分学的几何应用一、一元向量值函数及其导数二、空间曲线的切线与法平面三、曲面的切平面与法线多元函数微分学的几何应用一、一元向量值函数及其导数二、空间曲线的切线与法平面三、曲面的切平面与法线三、曲面的切平面与法线（一）隐式方程情形（二）显式方程情形三、曲面的切平面与法线（一）隐式方程情形（二）显式方程情形, 0),(: zyxF设有光滑曲面MT 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都在同一平面上.此平面称为 在该点的切平面.有关概念过该点垂直于切平面的直线称为 在该点的法线.推导在

13、上取一点M(x0,y0,z0)，对应于参数t=t0考虑内过M的任意曲线, )(, )(, )(:tztytx在上0) )(, )(, )(tttF两边在t=t0处求导得：)(0t0),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFz)(0t)(0t令),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx ).(, )(, )(000tttT 0)( ),()( ),()( ),(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx曲面 在点 M 的法向量曲面的法线方程 000zzyyxx曲面曲面的切平面方程的切平面方程),(000zyxFx),

14、(000zyxFy),(000zyxFzMTn),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx由于曲线 是任意的, 这些切线都在以为法向量的平面上,nnT 切向量三、曲面的切平面与法线（一）隐式方程情形（二）显式方程情形三、曲面的切平面与法线（一）隐式方程情形（二）显式方程情形)( ),(000 xxyxfx),(:yxfz 1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx)( ),(000yyyxfy0zz曲面的切平面方程曲面的法线方程令,),(),(zyxfzyxF 1, zyyxxFfFfF法向量) 1,( yxffn)( ),(000 xxyxfx)( ),(000yy