高考数学(理数)一轮复习课时作业75《不等式的证明》(教师版)

1、课时作业75不等式的证明1已知函数f(x)|2x1|，xR.(1)解不等式f(x)<|x|1；(2)若对x，yR，有|xy1|，|2y1|，求证：f(x)<1.解：(1)f(x)<|x|1，|2x1|<|x|1，即或或得x<2或0<x<或无解故不等式f(x)<|x|1的解集为x|0<x<2(2)证明：f(x)|2x1|2(xy1)(2y1)|2(xy1)|2y1|2|xy1|2y1|2×<1.2已知x，y都是正实数，且xy2.(1)求x2y2的最小值；(2)求证：2和2至少有一个成立解：(1)(x2y2)0，当且仅当x

2、y时等号成立，所以x2y22，当xy1时，x2y2取得最小值，最小值为2.(2)证明：假设2和2都不成立，则有>2且>2，即1x>2y且1y>2x，两式相加，得2xy>2x2y，即xy<2，这与已知矛盾，因此2和2至少有一个成立3已知实数a，b满足a24b24.(1)求证：a2；(2)若对任意的a，bR，|x1|x3|ab恒成立，求实数x的取值范围解：(1)证明：因为a24b24，所以a|a|·2.(2)由a24b24及a24b224|ab|，可得|ab|1，所以ab1，当且仅当a，b或a，b时取等号因为对任意的a，bR，|x1|x3|ab恒成立，

3、所以|x1|x3|1.当x1时，|x1|x3|4，不等式|x1|x3|1恒成立；当1<x<3时，|x1|x3|2x2，由得1<x；当x3时，|x1|x3|4，不等式|x1|x3|1不成立综上可得，实数x的取值范围是x|x4已知函数f(x)x1|3x|，x1.(1)求不等式f(x)6的解集；(2)若f(x)的最小值为n，正数a，b满足2naba2b，求证：2ab.解：(1)根据题意，若f(x)6，则有或解得1x4，故原不等式的解集为x|1x4(2)证明：函数f(x)x1|3x|分析可得f(x)的最小值为4，即n4，则正数a，b满足8aba2b，即8，2ab(2ab)，原不等式得

4、证5已知函数f(x)|x1|.(1)若x0R，使不等式f(x02)f(x03)u成立，求满足条件的实数u的集合M；(2)已知t为集合M中的最大正整数，若a>1，b>1，c>1，且(a1)(b1)(c1)t，求证：abc8.解：(1)由已知得f(x2)f(x3)|x1|x2|则1f(x2)f(x3)1，由于x0R，使不等式|x01|x02|u成立，所以u1，即Mu|u1(2)证明：由(1)知t1，则(a1)(b1)(c1)1，因为a>1，b>1，c>1，所以a1>0，b1>0，c1>0，则a(a1)12>0(当且仅当a2时等号成立)，b

5、(b1)12>0(当且仅当b2时等号成立)，c(c1)12>0(当且仅当c2时等号成立)，则abc88(当且仅当abc2时等号成立)6已知函数f(x)|2x1|2x1|，不等式f(x)2的解集为M.(1)求M；(2)证明：当a，bM时，|ab|ab|1.解：(1)f(x)2，即|2x1|2x1|2，当x时，得(2x1)(12x)2，解得x，故x；当<x<时，得(2x1)(2x1)2，即22，故<x<；当x时，得(2x1)(2x1)2，解得x，故x.所以不等式f(x)2的解集Mx|x(2)证明：证法一当a，bM时，a，b，得|a|，|b|.当(ab)(ab)0

6、时，|ab|ab|(ab)(ab)|2|a|1，当(ab)(ab)<0时，|ab|ab|(ab)(ab)|2|b|1，所以|ab|ab|1.证法二当a，bM时，a，b，得|a|，|b|.(|ab|ab|)22(a2b2)2|a2b2|因为a2，b2，所以4a21,4b21.故(|ab|ab|)21，所以|ab|ab|1.7已知函数f(x)m|x1|x2|，mR，且f(x1)0的解集为0,1(1)求m的值；(2)若a，b，c，x，y，zR，且x2y2z2a2b2c2m，求证：axbycz1.解：(1)由f(x1)0，得|x|x1|m.|x|x1|1恒成立，若m<1，不等式|x|x1|

7、m的解集为，不合题意；若m1，不等式|x|x1|1的解集为0,1若m>1，当x<0时，x<0；当0x1时，得x1xm,0x1；当x>1时，得2x1m,1<x.综上可知，不等式|x|x1|m的解集为.由题意知，原不等式的解集为0,10，1，解得m1.m1.(2)证明：x2a22ax，y2b22by，z2c22cz，当且仅当xa，yb，zc时等号成立三式相加，得x2y2z2a2b2c22ax2by2cz.由题设及(1)，知x2y2z2a2b2c2m1，22(axbycz)，axbycz1，不等式得证8设函数f(x)x|x2|x3|m，若xR，4f(x)恒成立(1)求实数m的取值范围；(2)求证：log(m1)(m2)>log(m2)(m3)解：(1)xR，4f(x)恒成立，mx|x2|x3|4恒成立令g(x)x|x2|x3|4函数g(x)在(，3上是增函数，在(3，)上是减函数，g(x)maxg(3)2，mg(x)max2，即m200，m>0，综上，实数m的取值范围是(0，)(2)证明：由m>0，知m3>m2>m1>1，即lg(m3)>lg(m2)>lg(m1)>lg 10.要证log(m1)