第1章不定积分

1、精品文档第1章不定积分1.1.1原函数概念这节课我们讲原函数的概念，先来看什么是原函数.已知求总成本函数边际成本C(x)C(x)II()MC()=MC求已知已知总成本C(x),求边际成本C'(x),就是求导数.反之如果已知边际成本，用MC麦示，要求总成本，这就是我们要讨论的问题，也就是要知道哪一个函数的导数等于MC我们引进一个概念：定义1.1若对任何xwD,F(x)=f(x),则称F(x)为f(x)的原函数.我们来看具体的问题：例如.，32(x)=3xF(x)f(x)二x3是3x2的原函数.大家用自己的方法把它搞清楚，不要和导数的概念搞混了.先考虑这样一个问题，2x的原函数是哪个？由原

2、函数的概念我们就要看哪个函数的导数是2x,即它使得()'=2x成立，我们在下列函数中进行选择：2,1+x2,x24,lnx,2x+1,经验证知1+x2和x2-4是2x的原函数.通过这个过程应该弄清，求已知函数的原函数，就是看哪个函数的导函数是已知函数，这个函数就是所求的原函数.另外，2x的原函数不唯一.它告诉我们原函数不止一个.再从另一方面提出问题，sinx为哪个函数的原函数？(sinx)'=cosx,说明sinx是cosx的原函数.同样，(sinx+3)'=cosx,说明sinx+3是cosx的原函数.事实上，sinx+c都是cosx的原函数，说明原函数有无穷多个.那

3、怎样求出一个函数的所有原函数呢？这是下面要讨论的.若F(x),G(x)都是f(x)的原函数,则G(x)=F(x)+c证：设H(x)=F(x)G(x),H'(x)=F'(x)G'(x)=f(x)f(x)=0可知H(x)=-c,即G(x)=F(x)c这个结论非常重要，我们已经知道，若F(x)是f(x)的原函数，则F(x)+c都是f(x)的原函数.而这个结论告诉我们任意两个原函数之间差一个常数.所以只要求出一个原函数，就能得到所有原函数.一，1,人例1求一的全体原函数.x分析：先求一个原函数，再将这个原函数加任意常数就得到全体原函数.求原函数就是看一，1哪个函数的导数是一.x

4、1一11解：因为(lnx)'=,所以lnx是一的一个原函数.故一的全体原函数为lnx+cxxx一1I例2判断一是哪个函数的原函数.x1分析：看1的导函数是哪个函数.x一，1,1_,11解：因为(1)=一，所以是一2的原函数.xxxx1.1.2不定积分的定义定义1.2f(x)的所有原函数的全体称为不定积分.记作f(x)dx,其中f(x)称为被积函数，x称为积分变量，1称为积分符号.例1求2x+x2的全体原函数.3解：全体原函数就是2x+x2的不定积分：f(2x+x2)dx=x2+二+c3例2求通过点(0,1)的曲线y=f(x),使它在x点处的切线斜率为3x2.23解：13xdx=x+c,

5、得到一族曲线：y=x3+c曲线过点(0,1),即y(0)=1,得到：1=03+c=c.所求曲线为y=x3+1导数与不定积分的关系我们来讨论两个问题，首先ff<x)dx=?,有两个答案给我们选择：f'(x),答案当然是f(x).但另f (x)dx = f (x) cf(x)f(x)+c要求f(x)的不定积分，也就是要看哪个函数的导函数是一方面不定积分是要求全体原函数，所以正确的选择是再讨论第二个问题(,f(x)dx)""?有三个答案给我们选择f(x)十cf(x)+cf(x)所以正确的选择是(f(x)dx),=f(x)由这两个问题我们了解到，导数和不定积分是两种互

6、逆的运算.求导数一三茎T求不定积分求导公式反过来就是积分公式.例：求Jdf(x).分析：由微分定义有：df(x)=f'(x)dx解：由微分定义有df(x)=Jf'(x)dx=f(x)+c,即求ffx)dx.1.2积分基本公式正因为求导与求不定积分互为逆运算，所以导数基本公式和积分基本公式也是互逆的.也就是说，有一个导数公式，反过来就有一个积分公式.先让我们回顾一下导数基本公式(c) =0(sinx)=cosx(x-)-二x：(cosx)=-sinx(In x)x(ax) = ax In a (a 0, a - 1)(tan x)二一1 cos x(cot x)1一一 2 sin

7、 x精品文档0dx =cx dx 二一1 x_ 1 c : ; _ 1.& 11 dx = ln x cxxx aa dx = c (a 0, a = 1)In asin xdx = -cosx c12 dx = tan x c cos x1.2dx :-cotx c sin xx,xedx=ec以上这些积分基本公式都是需要牢记的.另外，有一种方法可以检验不定积分计算的正确与否，那就是将计算结果求导数，看是否等于被积函数.由此可见，积分基本公式固然很重要,但最最重要的还是导数基本公式.1再来说明积分公式,dx=lnxcx,一,1当x>0时，(lnx)'=(lnx)'

8、;=1.1当x<0时，(lnx)'=ln(x)'=(x)'=一-xxe,、，m,1将两个结果统一起来就得到积分公式(一dx=inx+c.x说明在积分基本公式中为什么没有Jinxdx的公式.分析：从不定积分运算和导数运算的关系加以说明，1一一、，一说明：在导数公式中(inx)H=-是由定义及相关法则直接求得的.而inx的不定积分需要x找一个函数，使该函数的导函数是inx,我们无法在导数基本公式中得到这样的结果，并且即使通过其它方法找到这个结果，一般来说也不是一个实用的公式.所以在积分基本公式中没有Jinxdx公式，类似地原因也没有Jtanxdx和ccotxdx,我们

9、所得到的积分基本公式更加强调导数与不定积分之间互为逆运算的关系.1.3.1不定积分的性质1 .若f(x),g(x)是可积函数,则有f(x)_g(x)dx=f(x)dx_.g(x)dx2 .若f(x)是可积函数，k为非0常数，则有，kf(x)dx=kf(x)dx有了积分基本公式和这两条性质，我们就可以把一些基本的函数的不定积分计算出来.例如:(2xx2)dx=2xdx-.ix2dx=2xdx-ix5 1dx=21x22直接积分法.这种利用不定积分的运算性质和积分基本公式直接计算出不定积分的方法称为求17x(x2+x2)dx,解:x(x2x2)dx-xx2dx-I、xx2dx=x2dx-ix

10、9;dx+inx+inx+c解:e3xdx=13x,一eedx=233-exdx=exc22例3求ex(3+2x)dx.解：ex(32x)dx=3exdxex2xdx=3exdx(2e)xdx=3ex-(25)-cln(2e)例4已知边际成本为2q+3,固定成本为30,求总成本函数.2解：因为C(q)=C'(q)dq,有j(2q+3)dq=q+3q+cC(q)=q2+3q+c,将C(。)=30代入，得c=30,总成本函数为C(q)=q2+3q+30例5求Ju2du.213解：uduu=x1uc31Q由变重替换得(x1)d(x1)=-(x1)c31Q注意到d(x+1)=dx,即j(x+1

11、)2dx=&(x+1)3+c2 2右直接计算左胡有(x,1)dx=xdx，,i2xdx，,i1dx3 2132x3x3x1113二一xxxc1'c1二一(x1)c33133用变量替换的方法显然简单得多.我们再介绍两种计算不定积分ff(x)dx的方法.1 .第一换元积分法：这种方法是将被积函数凑成f(x)=f1(u(x)u'(x)的形式.或是将f(x)dx凑成f(x)dx=f1(u(x)du(x)的形式(凑微分).就是说将被积表达式f(x)dx凑成某个中间变量u的函数f1(u)乘以这个中间变量的微分du.而f(u)的原函数F(u)是已知的或是容易求得的.此时就有f(x)d

12、x=F1(u(x)c这种方法的关键是将凑出f(x)dx=f1(u)du,且f(u)du容易计算.我们称这种方法为第一换元积分法(也称为凑微分法).2 .第二换元积分法：这种方法是将积分变量作变量替换x=u(t),将被积函数f(x)变成f(x)=f(u(t)u'(t)=f1(t)的形式.或f(x)dx=f(u(t)u'(t)dt=f1(t)dt即将被积表达式f (x)dx凑成某个中间变量t的函数f1(t)乘以这个中间变量的微分1 . dt .而fi(t)的原函数Fi(t)是已知或是容易求得的.此时就有f (x)dx= Fi(u (x)十c这种方法的关键是 f1 (t)dt容易计算

13、.我们称这种方法为第二换元积分法例 1 求 Je?xdx .解：exdx = ex1-2x=一 e c2一 ,、1例2求fdx .3x -4将3x-4看作一个整体，可 以利用积分公式一 111斛：dxd(3x - 4)3x -4 3x - 4 3131n 3x-4,1, j-dz = In +c x3,d(3x -4)=解：x2 Jx3 + 1dx = J Jx3 +1 二 d( x3 + 1)31131 1133(x 1)2 C工 , x 1d(x 1) 3 13I将x3+1看作一个整体，可以利用积分公式Vdx = £K + 1二 2(x3931)2 c1cos-1Tdx.x解:1

14、cos-2xdxx11,1,1、，1,1、,1cos-2dx=cos(-)dx-cos-d(-)-sincxxxxxxx例5求f-nxdx./Qnx)'=_x:一lnx1.一一12解：dx=lnxdx=lnx(Inx)dx=Inxd(lnx)=-(Inx)cxx2分析：设法去掉被积函数的根号，将根式表达式用新变量替换.解：令71-x=t,即有x=1-1 T 1 cos2、 a2 ,1 .、a2. x x 22(二角公式 cos 8=.) =(t+ sin2t)=arcsin+ n a - x +c2222 a 2(二角公式 a2 sin2t = a22sintcost = 2asint

15、 a2 -a2 sin2t=2asin t<a2 (asint)2 =2xda2 -x2 -)1.3.4分部积分法分部积分的方法一般是用于被积函数是两个函数乘积的形式.我们来导出分部积分公式(uv)"二？对于这个问题，由导数运算法则容易得到(uv)' = uv' + vu'上式两端积分，得 (uv) dx = (uv vu )dx,dx=-2tdt.得1-t222Q2(-2t)dt=(2t-2)dt-2t3-2tc-2,(1-x)3-2.1-xct33例7计算卜a2x2dx(a>0).分析：设法去掉被积函数的根号，将根号下的表达式用变量替换变成完全

16、平方.用三角公式替换.解：令x=asint,dx=acostdt.得2/2222.222aa-xdx-a-asintacostdt=acostdt=(1cos2t)dt2由积分与导数运算的关系及积分的性质得到uv=uv'dx十fvu'dx整理后得到Juvdx=uv-Jvudx,它的另一种形式是：Judvnuv-Jvdu于是就得到分部积分公式：uvdx=uv-vudxudv=uv-：vdu分部积分的关键在于被积函数的一个乘积项是某个函数的导函数，即ff(x)dx=fugdx写成juv'dxv'=g(或dv=gdx),可知v是g的一个原函数.利用分部积分公式uvdx

17、=uv-vudx它的意义在于将juvdx的计算转化为jvudx的计算，如果后者的计算比前者简单，这种方法就获得了成功.它将一个较难的积分化为一个较简单的积分.例1求Jxexdx.解：令u=x,v'=ex(或dv=exdx),u'=1(或du=dx),v=exXXXxxxxedx=xe-.e1dx=xe-ec=(x7)ec例2求Jxsinxdx.解：令u=x,v'=sinx(或dv=sinxdx),u'=i(或du=dx),v=cosxxsinxdx=x(-cosx)-：(-cosx)dx=-xcosx,icosxdx-xC0sxsinxc例3求Jlnxdx.解：Inxdx=Inxidx1-.1.令u=lnx,v=1(或dv=1dx),u=一(或du=dx),v=x1lnxdx=lnx1dx=xlnx-x-dxx例4求Jxlnxdx.解：设u=lnx,V=x(或dv=xdx),x2x21x2xInx