第四节函数展开为幂级数

1、整理ppt一、函数展开为幂级数二、函数展开为幂级数的应用举例第四节 函数展开为幂级数整理ppt 如何将函数表示为幂级数?怎么做？怎么做？一、函数展开为幂级数整理ppt ,将函数表示为我们在前面已经遇到过实际上 泰勒公式：多项式的情形200000)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxf . )o()(! )(000)(nnnxxxxnxf 马克劳林公式： . )o( ! )0( ! 2)0( )0()0()()(2nnnxxnfxfxffxf 1、泰勒级数、泰勒级数整理ppt 将函数展开为幂级数的问题是否就是将函数展开为泰勒级数的问题?整理ppt一个幂级数在其收敛区间内代表一个函数,

2、即它的和函数:) ,( )(0RRxxSxannn任意一个函数能否在某一个区间内表示为某一个幂级数的形式呢 ? 即是否有 ? ) )( ( )()(00 xfxxaxfnnn ? 如何确定系数na? )( 的关系如何与xfan问题整理ppt )( )U( )( 000即的和函数，内为幂级数在若nnnxxaxxf)U( ,)()( 000 xxxxaxfnnn . ), 2, 1, 0( ! )( 0)(nnxfann则定理整理ppt证证由定理的条件可知, , )U( 0内幂级数收敛在x, )U( 0内可对其进行逐项求导故在x且其和函数. )U( )(0内具有任意阶导数在xxf于是有nnxxax

3、xaxxaaxf)()()()(020201010203021)()(3)(2)(nnxxnaxxaxxaaxf 204032)(34)(232)(xxaxxaaxf20)() 1(nnxxann)( 23) 1() 1(! )(01)(xxannnanxfnnn整理ppt则有代入上述各式以 , 0 xx , )(00 xfa , )(01xfa, ! )(0)(nxfann由数学归纳法, 得), 2 , 1 , 0( )(0)(nnxfann！该定理说明, 内为某个在如果 )U( )( 0 xxf000)()(! )(nnnxxnxf幂级数的和函数, 则该幂级数一定是下列形式:整理ppt )

4、( 0则称有任意阶导数，在点设xxf000)()(! )(nnnxxnxf . )( 0处的泰勒级数在点为xxf 定理和定义给我们提供了什么信息 ?整理ppt定理和定义告诉我们：0 )( xxf在点如果处有任意阶导数, 则它就有一个相应的泰勒级数存在. 但此泰勒级数不一定收敛, 即算收敛, 其和函数也不一定等于. )(xf就是说,函数与它的泰勒级数间划等号是有条件的.)U( )( 0 xxf在如果内可表示为幂级数的形式, 则该幂级数一定是函数 f ( x ) 的泰勒级数.整理ppt问问 题题 ,在什么条件下 ? )U( )(0数呢内可以展开为一个幂级在xxf )( , )(呢？且和函数等于的泰

5、勒级数收敛xfxf ,在什么条件下整理ppt回忆泰勒中值定理的构建过程 , ) 1( )U( )( 0则阶的导数内有直到在设nxxf , )()(! )()(000)(xRxxkxfxfnnkkk . )(! ) 1()()( 10)1(为拉格朗日余项其中nnnxxnfxR由级数的部分和及收敛性质看出一点什么没有 ?整理ppt定理 , )U( )( 0内具有任意阶导数在设xxf内处的泰勒级数在在点则 )U( )( 00 xxxf的充要条件是收敛于 )( xf0)(limxRnn )( )( ,0处泰勒公式的拉在为其中xxfxRn. 格朗日余项整理ppt证 )(! )( 000)(的部分和为级数

6、nnnxxnxf )(! )()(000)(knkknxxkxfxS )( 的泰勒公式为函数xf )()(! )()(000)(xRxxnxfxfnknkk)()()( xSxfxRnn故 余下的工作由学生自己完成.整理ppt10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR) , 2 , 1 , 0( | )(| )(nMxfn若整理ppt推 论, ),( 为常数内若在0210| )(|)U()(0M, , , nMxfxn )U( )( 0内可展开为泰勒级数在则xxf. )U( ,)(! )()(0000)(xxxxnxfxfnnn整理ppt证（提示） )(! ) 1()( | )(|

7、010)1(nnnxxnfxR)( 0! ) 1(1nnMn . ) (为邻域半径 . )( 0! lim ,Ranann此外自己做!整理ppt0)( ! )0(nnnxnf 2! 2)0()0()0(xfxffnnxnf ! )0()( , 0 0级数即得到常用的马克劳林在泰勒级数中取x整理ppt , )( 0处具有任意阶导数在点只要函数xxf就可写出它的泰勒级数. 但它的泰勒级数不一定收敛,. )(xf只有当拉格朗日余项 0)()(nxRn时, 泰勒级数才收敛于 . )(xf一个函数如果能够展开为幂级数形式, 则该幂级数一定是它的泰勒级数, 且这种展开是唯一的. )(也不一定等于xS即使收

8、敛,其和函数整理ppt2、函数展开为、函数展开为幂级数幂级数函数展开为幂级数直接展开法间接展开法整理ppt该方法是先求出函数 , )( )()(xfxfn的导数写出它的泰勒级数,然后, 判断泰勒公式中的拉格朗日余项是否满足, 0)(limxRnn确定级数的收敛区间.整理ppt. )( 为马克劳林级数展开xexf) , 2 , 1 , 0( 1)0(0)(nefxxn 的马克劳林级数为xe0! nnnx! 1nxxn 011lim|lim 1naannnn由于 . ,R该级数的收敛半径为所以例1解解整理ppt ! ) 1(| |! ) 1()( | | )(| 0 1| | 1)1(nxexnf

9、xRnxnnn而 ) 0 (之间与在x , )( 0! lim Ranann因为 ) ) ,( 0! ) 1(|lim 1| xnxenxn所以 , 0)(lim 故所求马克劳林级数为即xRnn . ) ,( , ! 0 xnxennx整理ppt . sin)( 展开为马克劳林级数将xxf , )2sin()( )(nxxfn因为)( 12 ,) 1( 2 , 0 )0( ,)(Zkknknfkn所以 sin 的马克劳林级数为故x1121 ) 12() 1(nnnnx！! 5! 353xxx例2解解整理ppt , ! ) 12() 1()( 121nxxunnn记 02) 12(lim|lim

10、21nnxuunnnn . R故该级数的收敛半径为) , 2 , 1 , 0( 1 | )0(| )(nfn因为 , sin ,即林级数可以展开为它的马克劳所以x). ,( , ! ) 12() 1(sin1121xnxxnnn整理ppt从一些已知函数的泰勒展开式出发, 利用幂级数的四则运算和解析运算性质, 以及进行适当的变量代换来求出另外一些函数的泰勒公式的方法, 称为间接展开法.整理ppt常用函数的幂级数展开式常用函数的幂级数展开式x11,) 1(132nnxxxx) 1, 1(x,132nxxxx) 1, 1(xx11xe1),(xx2!21x,!1nxn! ) 12() 1(12nxn

11、nxsinx!33x!55x!77x),(x整理ppt . cos)( 展开为马克劳林级数将xxf)(sincosxx ) ! ) 12() 1( (1121nnnnx1121) ! ) 12() 1(nnnnx1221 ! )22() 1(nnnnx. ) ,( , ! )2() 1(02xnxnnn例3解解整理ppt) ,( ! ) 12() 1(sin012xnxxnnn) ,( ! )2() 1(cos02xnxxnnn整理ppt . )( 2展开为马克劳林级数将xexf, 2xy令 , ) ,( , ! 0ynyenny因为 . ) ,( ,! ) 1( 022xnxennnx所以利

12、用变量代换例4解解整理ppt211x x11 将函数展开成 x 的幂级数.因为nnxxx) 1(12)11(x把 x 换成2x211xnnxxx242) 1(1)11(x, 得例5解解整理ppt . )3( 1)(的幂级数为展开xxxf)3(311xx331131x等比级数的和例6解解 , ) 1 , 1( , 11) 1( 0得由xxxnnn331131 1xx03)3() 1(31nnnnx, 3)3() 1(01nnnnx1331x？x. )6 , 0(x整理ppt将函数)1ln()(xxf展开成 x 的幂级数.xxf11)()11() 1(0 xxnnn从 0 到 x 积分, 得xxx

13、xnnnd) 1()1ln(00,1) 1(01nnnxn定义且连续, 区间为.11x利用此题可得11) 1(41312112lnnn11x11x上式右端的幂级数在 x 1 收敛 ,有在而1)1ln(xx所以展开式对 x 1 也是成立的,于是收敛例7解解整理ppt将xsin展成4x)(sinsin44xx)sin(cos)cos(sin4444xx)sin()cos(4421xx2132)4(!31)4(!21)4(121xxx)(x的幂级数. 2)4(!21x4)4(!41x1)4(x3)4(!31x5)4(!51x例8解解整理ppt 将3412 xx展成 x1 的幂级数. )3)(1(13

14、412xxxx)3(21)1 (21xx 14121x 4121x222) 1(xnnnx2) 1() 1( 81141x224) 1(xnnnx4) 1() 1(nnnnnx) 1(2121) 1(3220)31(x)21(x 18141x1例9解解整理ppt内容小结内容小结1. 函数的幂级数展开法(1) 直接展开法 利用泰勒公式 ;(2) 间接展开法 利用幂级数的性质及已知展开2. 常用函数的幂级数展开式xe1),(xx2!21x,!1nxn式的函数 .整理ppt! ) 12() 1(12nxnnxsinx!33x!55x!77xx11,) 1(132nnxxxx),(x) 1, 1(x,

15、132nxxxx) 1, 1(xx11整理ppt思考与练习思考与练习1. 函数0)(xxf在处 “有泰勒级数”与 “能展成泰勒级数”有何不同 ?提示提示: 后者必需证明, 0)(limxRnn前者无此要求.2. 如何求xy2sin的幂级数 ?提示提示:xy2cos21210! )2(1) 1(2121nnn,! )2(4) 1(2121nnnnxn),(xnx2)2(整理ppt备用题备用题 1. 将下列函数展开成 x 的幂级数xxxf11arctan)(解解:)(xf211x,) 1(02nnnx)1 , 1(x)0()(fxf002d) 1(nxnnxx01212) 1(nnnxnx1 时, 此级数条件收敛,4)0(f,12) 1(4)(012nnnxnxf1, 1x因此 整理ppt)1 (