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文档简介

1、-1-4反证法目标导航1.了解间接证明的一种基本方法反证法.2.了解反证法的思考过程、特点.知识梳理1.反证法的定义(1)在证明数学命题时,要证明的结论要么正确,要么错误,二者必居其一.我们可以先假定命题结论的反面成立,在这个前提下,若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾,或与命题中的已知条件相矛盾,或与假定相矛盾,从而说明命题结论的反面不可能成立,由此断定命题的结论成立.这种证明方法叫作反证法.(2)反证法是一种间接证明的方法.【做一做1】 在应用反证法推出矛盾的推导过程中,下列可以作为条件使用的是()与结论相反的判断,即假设;原命题的条件;公理、定理、定义等;原结论.A.B.C.D.答案:C

2、知识梳理2.反证法的证题步骤(1)作出否定结论的假设;(2)进行推理,导出矛盾;(3)否定假设,肯定结论.知识梳理名师点拨常见的“结论词”与“反设词” 知识梳理【做一做2】 命题“在ABC中,若AB,则ab”的结论的否定应该是()A.a0,即a+b+c0,这与a+b+c0矛盾,所以a,b,c中至少有一个大于0. 反思结论中含有“至少”“至多”等词的命题,常用反证法证明,注意假设要写正确,这是反证法证题的关键.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练2】 用反证法证明:若函数f(x)在区间a,b上是增加的,则方程f(x)=0在区间a,b上至多有一个实根.证明:假设方程f(x)=0在区间a,b上

3、至少有两个实根,不妨设,为其实根,且,则f()=f()=0.因为函数f(x)在区间a,b上是增加的,又,所以f()f(),这与假设f()=f()=0相矛盾.所以方程f(x)=0在区间a,b上至多有一个实根.典例透析题型一题型二题型三题型四唯一性命题的证明【例3】 求证:函数f(x)=2x+1有且只有一个零点.分析:一般先证存在性,再用反证法证唯一性.典例透析题型一题型二题型三题型四反思1.结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的“唯一”性命题,由于假设结论不成立易于导出矛盾,所以用反证法证明简单明了.2.“有且只有”的含义有两层:(1)存在性:本题中只需找到函数f(x)=2x+1

4、的一个零点即可;(2)唯一性:正面直接证明较为困难,故可采用反证法寻求矛盾,从而证明原命题的正确性.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练3】 过平面内一点A,作直线a,求证:a是唯一的.证明:假设a不是唯一的,则过点A至少还有一条直线b满足b.a,b是交于点A的相交直线,a,b可以确定一个平面.设和相交于过点A的直线c.a,b,ac,bc.又ab=A,c.这与c矛盾.故过点A垂直于平面的直线有且只有一条,即a是唯一的.典例透析题型一题型二题型三题型四易错辨析易错点证明时因未涉及假设而致误【例4】 已知实数p满足不等式(2p+1)(p+2)0,则实数p的取值范围是.解析:本题从正面解答较难,可利用反证法,先求在0,1内

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