清华大学杨顶辉数值分析第6次作业

1、19.令Tn*(x) Tn(2x 1),x 0,1，试证T；(x)是在0,1上带权(x)的正交多项式，并求 T0(x),T1*(x),T2*(x),T；(x).证明:(x)Tn*(x)T；(x)dxT=rTn(2x 1)Tm(2x 1)dx0.X x令t 2x 1,那么(x)Tn*(x)T；(x)dx1 1 11 Tn(t)Tm(t)dt2 1 t 1 (t 1)2:2 ( 2 )1由切比雪夫多项式Tn(x)关于权函数。1 2的正交性，可得V1 x20 m n1 * * 1 1 1(x)Tn(x)Tm(x)dx2Tn(t)Tm(t)dt=； m n 001 1 t22m n 0所以T；(x)是

2、在0,1上带权(x)的正交多项式Jx X2T0(x) T°(2x 1) 1T1* (x) T1(2x 1) 2x 1T2 (x)E(2x 1)2(2 x1)21 8x2 8xT；(x)T3(2x 1)4(2x1)33(2x 1) 32x348x218x 114.实验数据如下:Xi1925313844yi用最小二乘法求形如y a bx2的经验公式，并求均方误差解：法方程为(1,1) (1,x2) a(1,y)(x2,1) (x2,x2) b(x2,y)55327 a271.45327 7277699 b369321.5解得a 0.972579b 0.050035拟合公式为 y 0.97

3、2579 0.050035X2均方误差422yi a bx20.015023i 021给出f (x) In x的函数表如下:xln x用拉格朗日插值求ln 0.54的近似值并估计误差计算取n 1及n 2解：n 1 时，取 x00.5, x10.6由拉格朗日插值定理有1x 06x 05L.(x)f (xj)lj(x)0.6931470.510826j 00.5 0.60.6 0.51.82321 0x 1.604752所以 ln0.54 L1(0.54)0.620219误差为 ln0.54 ( 0.620219)= 0.004032n2 时，取 x° 0.4,捲 0.5, X2 0.6

4、由拉格朗日插值定理有2L2(x)f(Xj)lj(x)j o(x0.5)(x 0.6)(x0.4)(x 0.6)(x0.4)(x 0.5)0.9162910.6931470.510826 (0.40.5)(0.40.6)(0.50.4)(0.50.6)(0.60.4)(0.60.4)22.041150x4.068475x 2.217097所以 InO.54 L2(0.54)0.615320误差为InO.54 ( 0.615320)8.662994 1023.建立三次样条插值函数s(x)，并求f(O)的近似值s(O)，这里已给函数表。Xif(Xi)边界条件 s''( 0.3) s&

5、#39;'(O.3) O1 1解：由剖分节点可知hO h1 h2 °2 12 2，12 -d1 6 f x0, x1, x2 6.4215, d2 6 f x1, x2, x3 6.4215得到方程组M1M26.42156.4215解得 M1 M 22.5686注意到Mo M3 0得到三次样条插值函数s(x)2.14O5X3 1.92645X2 1.O64215X 0.000632,x O.3, O.1s(x) 1.2843X2 x O.OO2773,x O.1,O.12.14O5X3 1.92645X2 0.935785x 0.000632,x O.1,O.329.确定以下

6、求积公式的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出所构造出的求积公式所具有的代数精度:hBf (0)Cf(h)1 f(x)dx Af ( h)h解:取 f(x) 1,x,x2 ，有2hh1dx A B Chhxdx Ah Chh2h33hx2dxhAh2 Ch2解以上方程,ih，B-h3求积公式为hf (x)dxhf(h)4hf(0)3-hf (h)3取 f(x)3 x，x3dxh0,Af(h)Bf(0) Cf(h)取 f (x)4 xh2,5 1 , zB 01 ,25x4dxh5 -h(h)4hh4-h5h5333h所以x4dxAf(h)Bf(0)Cf(h)hh0h因此构造的求积公式代数精度为

7、30证明求积公式f(x)dx -5f( ,|)8f(0)5f(：)的代数精度为5证明：取f(x) xi1那么对任意的i 0，有 f(x)dx11xidx11 i +1,1 lx 1|1_1i1|-1(1)i1i 10, i为奇数,i为偶数i 1i为奇数时，f (x)为奇函数95f(，5)8f(0)0时5f (95匕 3)=15f(8f(0)5f(3)3)=訥5f5=22时,扣(3)8f(0)5f(315)=954时5f(93)8f(0)5f(3)T56时5f (98f(0)5f(1= 9-5f(1x0dx1=l1x2dx1从而有E(xi)0,0i 5,E(x6)所以求积公式的代数精度为、 、1

8、 133.求 X1,X2,A1,A,使公式=f (x) 0 Vx解：构造区间0,1上关于权函数由P2(x)与俐X正交，可得0° 丄 P,x)dx0 vxax b)dx92527125251755卒2551x4dx1276125= 251x6dx15f=03)Af(X!)A2f(X2)为高斯型求积公式1-的二次正交多项式P2(x) X2 ax b00 丄xP2(x)dx0 VxXx(x0 -、Xax b)dx-a 2b53联立以上方程,可得a§ b 27353_35求P2(X)的零点即为高斯求积公式的节点所以 F2(x) x2x1 1(3 2.675)X2 丄(3 2、675)