函数的单调性与导数

1、一一. .复习复习 1 、 某点处导数的定义某点处导数的定义这一点处的导数这一点处的导数即为即为这一点处切线的斜率这一点处切线的斜率x x) )f f( (x xx x) )f f( (x xl li im m) )( (x xf f0 00 00 0 x x0 02 、 某点处导数的某点处导数的几何意义几何意义 3 、 导函数的定义导函数的定义x xf f( (x x) )x x) )f f( (x xl li im m( (x x) )f f0 0 x x4、由、由定义定义求导数的步骤（三步法）求导数的步骤（三步法）f f( (x x) )x x) )f f( (x xy y求求增增量量(

2、 (1 1) )x xf(x)f(x)x)x)f(xf(xx xy y算比值算比值(2)(2)x xy yl li im my y求求极极限限( (3 3) )0 0 x x（4）.对数函数的导数对数函数的导数:.1)(ln)1(xx .ln1)(log)2(axxa（5）.指数函数的导数指数函数的导数:.)()1(xxee ).1, 0(ln)()2( aaaaaxx xxcos)(sin1）（3）.三角函数三角函数 ： xxsin)(cos2）（1）.常函数：常函数：(C)/ 0, (c为常数为常数)； （2）.幂函数幂函数 ： (xn)/ nxn 15.基本初等函数的导数公式基本初等函数

3、的导数公式( )( )( )( )f xg xf xg x( )( )( ) ( )( )( )f x g xfx g xf x g x2( )( ) ( )( )( )( ( )0)( )( )f xfx g xf x g xg xg xg x6.6.导数运算法则导数运算法则二二.作业讲评作业讲评ln(1);2)11.yxxy1.已知求求曲线在点（， ）处的切线方程113332.4求 函 数 f(x)=(）x 的 导 数引例、引例、 已知函数已知函数y=2x3-6x2+7,求证：这个函数在区间求证：这个函数在区间(0,2)上是单调递增的上是单调递增的. （1）任取）任取x100，那么，那么y

4、f(x)在这在这个区间个区间(a,b)内单调递增；内单调递增；2) 2) 如果恒有如果恒有f (x)00和和f (x)1，求证：，求证：xln(x+1).f( (x) )f xf x引例：你能引例：你能确定确定y=2x3-6x2+7的大致图的大致图象吗象吗? 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)在在x=x0及其及其附近有定义，如果附近有定义，如果f(x0)的值比的值比x0附近所附近所有各点的函数值都大，我们就说有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是是函数的一个函数的一个极大值极大值，如果，如果f(x0)的值比的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们就附近所有各点的函数值都小，我们就说说f

5、(x0)是函数的一个是函数的一个极小值极小值。 极大值与极小值极大值与极小值统称统称为极值为极值. 函数极值函数极值的定义的定义 如果如果x0是是f/(x)=0的一个根，并且在的一个根，并且在x0的左侧附近的左侧附近f/(x)0，那么是那么是f(x0)函数函数f(x)的一个的一个极小值极小值. 导数的应用二、导数的应用二、求函数的极值求函数的极值 如果如果x0是是f/(x)=0的一个根，并且在的一个根，并且在x0的的左侧附近左侧附近f/(x)0，在，在x0右侧附近右侧附近f/(x)0，那么那么f(x0)是函数是函数f(x)的一个的一个极大值极大值例例1 、求函数、求函数 极值极值. 注、注、极

6、值点是导数值为极值点是导数值为0的点的横坐标的点的横坐标44x-y33x能化出草图吗能化出草图吗?练练:(1)y=(x2-1)3+1 (2)y=-2x2+5x (3)y=x3-27x (4)y=3x2-x3 用导数法求解函数极值：用导数法求解函数极值： (1) 求导函数求导函数f /(x)； (2) 求解方程求解方程f /(x)=0,得出的根称为可得出的根称为可能极值点；能极值点； (3) 检查检查f /(x)在方程在方程f /(x)=0的根的左的根的左右右 的符号，并根据符号确定极大值与极的符号，并根据符号确定极大值与极小值小值.一般通过列表获得一般通过列表获得 (4) 结论结论 用导数法求

7、解函数极值的用导数法求解函数极值的步骤步骤：练习：1，2，的值。，求有极值时在函数ba,101x)(223abxaxxxf的极值点个数）（）时，讨论（) 1(xfRa2aaxxex 3，的单调区间和极值求）处的切线方程（，点（在时，求且)()2(22)(1) 1 ()0,(112)(22xffxfyaaRaRxxaaxxf导数的应用之三、导数的应用之三、求函数最值求函数最值. 在某些问题中，往往关心的是函数在在某些问题中，往往关心的是函数在整个定义域区间上，哪个值最大或最小的整个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题，这就是我们通常所说的问题，这就是我们通常所说的最值问题最值问题. (2)将将y

8、=f(x)的各极值与的各极值与f(a)、f(b)比较，其比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值中最大的一个为最大值，最小的一个最小值 求求f(x)在在闭区间闭区间a,b上的最值的步骤：上的最值的步骤：(1)求求f(x)在区间在区间(a,b)内极值内极值(极大值或极小值极大值或极小值)表格法表格法例例1、求函数求函数f(x)=x2-4x+6在区间在区间1，5内内 的极值与最值的极值与最值 故函数故函数f(x) 在区间在区间1，5内的极小值为内的极小值为2，最大值为最大值为11，最小值为，最小值为2 法二、法二、解、解、 f (x)=2x-4令令f (x)=0，即，即2x-4=0，得得x=

9、2x1（1，2）2（2，5）5y，0y-+3112思考、思考、1.已知函数已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间在区间1,5内的最小值为内的最小值为2，求，求m的值的值 2. 已知已知P为抛物线为抛物线y=x2上任意一点，则当点上任意一点，则当点P到直线到直线x+y+2=0的距离最小时，求点的距离最小时，求点P到抛物到抛物线准线的距离线准线的距离 分析分析 点点P到直线的距离最小时，抛物线在点到直线的距离最小时，抛物线在点P处的切线斜率为处的切线斜率为-1，即函数在点，即函数在点P处的导数处的导数为为-1，令，令P(a,b),于是有：于是有：2a= -1. 3.已知函数已知函数f(x)=x33x29xa, （I）求）求f(x)的单调递减区间；的单调递减区间； （II）若）若f(x)在区间在区间2，2上的最大值为上的最大值为20，求它在该区间上的最小值求它在该区间上的最小值R.aaxxaxxf其中, 86) 1( 32)(233)(xxf在)0 ,()(在xf4.设函数（1）若处取得极值，上为增函数，求上为增函数，求a的取值范围的取值范围. （2）若求常数a的值；练习：练习：若函数若函数在区间在区间(1,4)上为减函数，在上为减函数，在(6，+)上是增