电路与模拟电子技术第五章非正弦周期交流电路

1、第第5 5章章 非正弦周期交流电路非正弦周期交流电路本章利用信号的谐波分解（非正弦周期本章利用信号的谐波分解（非正弦周期函数的傅里叶级数展开）和叠加原理，结合函数的傅里叶级数展开）和叠加原理，结合第第3章介绍线性电路的正弦稳态分析方法，介章介绍线性电路的正弦稳态分析方法，介绍线性非正弦周期交流电路的谐波分析法，绍线性非正弦周期交流电路的谐波分析法，最后给出有效值和平均功率的计算方法。最后给出有效值和平均功率的计算方法。 高等学校电子教案高等学校电子教案: :电路与模拟电子技术电路与模拟电子技术第五章第五章 非正弦周期交流电路非正弦周期交流电路按空格键继续按空格键继续第第2页页5.0 傅里叶级数

2、复习傅里叶级数复习5.1 非正弦周期交流电路的分析方法非正弦周期交流电路的分析方法5.2 非正弦周期量的有效值和平均值非正弦周期量的有效值和平均值5.3 非正弦周期交流电路的计算非正弦周期交流电路的计算5.4 非正弦周期交流电路的功率非正弦周期交流电路的功率返回总目录返回总目录高等学校电子教案高等学校电子教案: :电路与模拟电子技术电路与模拟电子技术第五章第五章 非正弦周期交流电路非正弦周期交流电路按空格键继续按空格键继续第第3页页满足狄里赫利条件满足狄里赫利条件2.2.在函数的一个周期内，只有有限个极值；在函数的一个周期内，只有有限个极值；1.1.函数值有限；函数值有限；3.3.在函数的一个

3、周期内连续或只有有限个第一类间断点。在函数的一个周期内连续或只有有限个第一类间断点。的周期为的周期为T T 的函数构成函数空间，在函数空间上存在一个完的函数构成函数空间，在函数空间上存在一个完备的正交基函数系：备的正交基函数系：22cos(),sin()ntntnZTT基函数的正交性：基函数的正交性：000222cos()cos()d0222sin()sin()d022cos()sin()d0TTTTnmntmttnmTTTnmntmttnmTTntmttTT高等学校电子教案高等学校电子教案: :电路与模拟电子技术电路与模拟电子技术第五章第五章 非正弦周期交流电路非正弦周期交流电路按空格键继续

4、按空格键继续第第4页页满足狄里赫利条件周期函数空间中的函数，均可表示为基函满足狄里赫利条件周期函数空间中的函数，均可表示为基函数的线性组合：数的线性组合：010122( )cos()sin()2sin()nnnnnnf tAantbntTTAAntT其中，其中，00001( )d2222( )cos()d( )sin()d ;1, 2,TTTnnAf ttTaf tnttbf tnttnTTTT函数的平均值22arctannnnnnnbAaba三角形式的傅里叶级数展开三角形式的傅里叶级数展开高等学校电子教案高等学校电子教案: :电路与模拟电子技术电路与模拟电子技术第五章第五章 非正弦周期交流电

5、路非正弦周期交流电路按空格键继续按空格键继续第第5页页指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数2 j( )entTnnf tC2 j0( ) edTntTnCf tt系数系数 Cn 通常为复数并有通常为复数并有*nnCC指数形式的傅里叶级数和三角形式的傅里叶级数可以指数形式的傅里叶级数和三角形式的傅里叶级数可以互相转换。互相转换。高等学校电子教案高等学校电子教案: :电路与模拟电子技术电路与模拟电子技术第五章第五章 非正弦周期交流电路非正弦周期交流电路按空格键继续按空格键继续第第6页页2j22( )ecos()jsin()ntTnnnnnf tCCntCntTT002Re2ImnnnnACaC

6、bC 001902nnnCACA0122()cos()()sin()nnnnnCCCntj CCntTT0122cos()sin()nnnAantbntTT22j()j()00112ee( )sin()2jnnntntTTnnnnnf tAAntAAT22jjj90j900111eee22nnntntTTnnnAAeA高等学校电子教案高等学校电子教案: :电路与模拟电子技术电路与模拟电子技术第五章第五章 非正弦周期交流电路非正弦周期交流电路按空格键继续按空格键继续第第7页页n非正弦周期交流电路非正弦周期交流电路 n电路中激励电源为非正弦周期电压源或电流源。电路中激励电源为非正弦周期电压源或电流

7、源。 它们一般可借助傅里叶级数展开为谐波分量的叠加。它们一般可借助傅里叶级数展开为谐波分量的叠加。n电路中，一般含有储能元件。电路中，一般含有储能元件。因此，描述电路输入输出关系的不再是代数方程（组）因此，描述电路输入输出关系的不再是代数方程（组）而是线性微分方程（组）。而是线性微分方程（组）。n应用叠加原理和第应用叠加原理和第3章关于单一频率正弦波激励（单一谐章关于单一频率正弦波激励（单一谐波）时电路的相量分析方法，我们可以分析电路的各次波）时电路的相量分析方法，我们可以分析电路的各次谐波输出。谐波输出。高等学校电子教案高等学校电子教案: :电路与模拟电子技术电路与模拟电子技术第五章第五章

8、非正弦周期交流电路非正弦周期交流电路按空格键继续按空格键继续第第8页页n非正弦周期电压、电流的谐波分解非正弦周期电压、电流的谐波分解 在电路中出现的非正弦周期电压、电流一般都满足狄里在电路中出现的非正弦周期电压、电流一般都满足狄里赫利条件，因此，都可以利用傅里叶级数展开为正弦电压、赫利条件，因此，都可以利用傅里叶级数展开为正弦电压、电流的加权叠加电流的加权叠加。 设非正弦周期电压为设非正弦周期电压为 u(t)，周期为，周期为T，频率为，频率为 f = 1/T，则，则010m1( )cos(2 )sin(2 )sin(2 )nnnnnnu tUan ftbn ftUUn ft高等学校电子教案高等

9、学校电子教案: :电路与模拟电子技术电路与模拟电子技术第五章第五章 非正弦周期交流电路非正弦周期交流电路按空格键继续按空格键继续第第9页页其中，其中，00001( )d2( )cos(2 )d2( )sin(2 )dTTnTnUu ttTau tn fttTbu tn fttT22marctan(/)nnnnnnUabba直流分量直流分量n次谐波幅度次谐波幅度n次谐波初相位次谐波初相位频率频率f 称为基频，称为基频，nf 称为称为n次谐波频率次谐波频率高等学校电子教案高等学校电子教案: :电路与模拟电子技术电路与模拟电子技术第五章第五章 非正弦周期交流电路非正弦周期交流电路按空格键继续按空格键

10、继续第第10页页u0tT2TUm-Um方波电压方波电压m142( )sin(21)(21)nUu tntnT直流分量：直流分量：001( )d0TUu ttT/2/20022 22 cos()d()cos()d0TTnmmnnaUttUttTTTT/2mm0/2/2m0m22 22 sin()d()sin()d42 sin()d2111, 2,TTnTTnnnbUttUttTTTTnUttTTUnn 谐波分量：谐波分量：高等学校电子教案高等学校电子教案: :电路与模拟电子技术电路与模拟电子技术第五章第五章 非正弦周期交流电路非正弦周期交流电路按空格键继续按空格键继续第第11页页u0tTUm-U

11、m1m221( 1)82( )sin(21)(21) nnUu tntnT三角波三角波直流分量：直流分量：U0 = 0谐波分量：谐波分量：由于波形奇对称，所以只含有奇函数项由于波形奇对称，所以只含有奇函数项 b2n-1sin(2n-1) t/43 /4mm21/4/4/4m/41m2244221221sin(2 )d()sin(2 )d21621sin(2 )d8( 1)1, 2,21TTnTTTTnUUnTnbttttttTTTTTTUntttTTUnn 高等学校电子教案高等学校电子教案: :电路与模拟电子技术电路与模拟电子技术第五章第五章 非正弦周期交流电路非正弦周期交流电路按空格键继续按

12、空格键继续第第12页页u0tTUmmm12 ( )sin2nUUnu ttnT锯齿波锯齿波直流分量：直流分量：mm001d2TUUUt tTTm022 cos()d0TnUnatttTTTm0mm00m22 sin()d2 2 coscos()d2 2 1, 2,TnTTUnbtttTTTUUnnttttn TTn TTUnn谐波分量：谐波分量：高等学校电子教案高等学校电子教案: :电路与模拟电子技术电路与模拟电子技术第五章第五章 非正弦周期交流电路非正弦周期交流电路按空格键继续按空格键继续第第13页页mm21224 ( )cos(41)nUUnu ttnTu0tTUmm2|sin|UtT全波

13、整流全波整流直流分量：直流分量：/2m0mm00212 22 sindsindTTUn tn tUUtUtTTTT/2mm0/2m2222 222 sincosdsincos()d1( 1) 1, 2,(1)TTnTnn tnaUttUtttTTTTTTUnn 谐波分量：偶函数只含有谐波分量：偶函数只含有cos项，项，bn=0高等学校电子教案高等学校电子教案: :电路与模拟电子技术电路与模拟电子技术第五章第五章 非正弦周期交流电路非正弦周期交流电路按空格键继续按空格键继续第第14页页u0tTUm半波整流半波整流mmm2124 ( )sincos2(41)nUUUnu tttTnT已知全波整流电

14、压（幅度相同）分解为已知全波整流电压（幅度相同）分解为mm1m21222 4 ( )sincos(41)nUUn tnu tUtTnT从波形特点可见，半波整流电压可表示为：从波形特点可见，半波整流电压可表示为：m112 ( )sin( )2n tu tUu tT因此有因此有高等学校电子教案高等学校电子教案: :电路与模拟电子技术电路与模拟电子技术第五章第五章 非正弦周期交流电路非正弦周期交流电路按空格键继续按空格键继续第第15页页n非正弦周期交流电路的谐波分析方法非正弦周期交流电路的谐波分析方法 线性无线性无源电路源电路非正弦周期非正弦周期信号频率信号频率f非正弦周期交流非正弦周期交流电路的稳

15、态响应电路的稳态响应谐波分解谐波分解时域叠加时域叠加直流直流分量分量一次一次谐波谐波二次二次谐波谐波直流电路直流电路分析分析频率频率 f 的正的正弦稳态电路弦稳态电路频率频率2f 的正的正弦稳态电路弦稳态电路直流响直流响应分量应分量一次谐波一次谐波响应分量响应分量二次谐波二次谐波响应分量响应分量高等学校电子教案高等学校电子教案: :电路与模拟电子技术电路与模拟电子技术第五章第五章 非正弦周期交流电路非正弦周期交流电路按空格键继续按空格键继续第第16页页n有效值的定义有效值的定义电压、电流的有效值定义为与其作功等效的一个直流电压、电压、电流的有效值定义为与其作功等效的一个直流电压、电流值，它们作

16、用在电流值，它们作用在 1 欧姆电阻上时，电阻消耗功率的平均欧姆电阻上时，电阻消耗功率的平均值互相等效：值互相等效：220011( )d( )dTTUu ttIi ttTTu(t)1 U1 一周期内作功相等一周期内作功相等20( )dTWu tt2WUT高等学校电子教案高等学校电子教案: :电路与模拟电子技术电路与模拟电子技术第五章第五章 非正弦周期交流电路非正弦周期交流电路按空格键继续按空格键继续第第17页页n正弦电压、电流的有效值正弦电压、电流的有效值m( )sin(2 )u tUnfm( )sin(2)i tIn f 20m1( )d12TUu ttTU20m1( )d12TIi ttT

17、I正弦电压、电流的有效值是其幅度的正弦电压、电流的有效值是其幅度的12高等学校电子教案高等学校电子教案: :电路与模拟电子技术电路与模拟电子技术第五章第五章 非正弦周期交流电路非正弦周期交流电路按空格键继续按空格键继续第第18页页n非正弦周期电压电流的有效值非正弦周期电压电流的有效值0m1( )sin(2)nnnu tUUn ft 2220m1011( )d2TnnUu ttUUTm02sin(2 )sin(2 )d0TnTnmn ftm fttnm三角函数（信号分解的基函数）具有正交性三角函数（信号分解的基函数）具有正交性非正弦周期电压、电流的有效值的平方等于其各次谐波有效值非正弦周期电压、

18、电流的有效值的平方等于其各次谐波有效值的平方和。的平方和。222222201201m2m222222201201m2m11221122UUUUUUUIIIIIII高等学校电子教案高等学校电子教案: :电路与模拟电子技术电路与模拟电子技术第五章第五章 非正弦周期交流电路非正弦周期交流电路按空格键继续按空格键继续第第19页页n非正弦周期电流或电压的平均值非正弦周期电流或电压的平均值为了表示周期信号的平均幅度大小，定义交变量的绝对值在为了表示周期信号的平均幅度大小，定义交变量的绝对值在一个周期内的平均值为绝对平均值，简称平均值。一个周期内的平均值为绝对平均值，简称平均值。av01| ( )| dTU

19、u ttTav01| ( )| dTIi ttT对于正弦电压、电流对于正弦电压、电流 m( )sin(2 )u tUn fm( )sin(2 )i tIn favm2UUavm2II高等学校电子教案高等学校电子教案: :电路与模拟电子技术电路与模拟电子技术第五章第五章 非正弦周期交流电路非正弦周期交流电路按空格键继续按空格键继续第第20页页非正弦周期电压源或电流源作用在线性电路：非正弦周期电压源或电流源作用在线性电路：线性无线性无源电路源电路+- -u(t)uo(t)将非周期的电压源分解成各将非周期的电压源分解成各次谐波的叠加：次谐波的叠加：0m1012( )sin()( )( )nnnu t

20、UUn tUu tu tm( )sin()2sin()nnnnnu tUn tUn t其中，第其中，第n次谐波次谐波线性无线性无源电路源电路+- -u1(t)uo(t)+- -U0+- -u2(t).高等学校电子教案高等学校电子教案: :电路与模拟电子技术电路与模拟电子技术第五章第五章 非正弦周期交流电路非正弦周期交流电路按空格键继续按空格键继续第第21页页根据叠加原理，响应电压（或电流）可以分解成各根据叠加原理，响应电压（或电流）可以分解成各次谐波单独激励下的响应之和：次谐波单独激励下的响应之和：ooo( )2sin()( )2sin()1, 2,nnnnnnu tUn tutUn tnoo

21、0o1o2( )( )( )u tUutut00oUU直流直流谐波谐波时间域叠加时间域叠加高等学校电子教案高等学校电子教案: :电路与模拟电子技术电路与模拟电子技术第五章第五章 非正弦周期交流电路非正弦周期交流电路按空格键继续按空格键继续第第22页页对于各次谐波单独激励情况下的响应，可按正弦稳对于各次谐波单独激励情况下的响应，可按正弦稳态响应的分析方法一一求解。直流分量可当作频率为态响应的分析方法一一求解。直流分量可当作频率为 0 0 的正弦稳态电路分析。的正弦稳态电路分析。线性无线性无源电路源电路n +- -nUnUonnUnHU)(o() |()|()H nH nno01( ) |(0)|

22、2 |()|sin()nnnu tHUH nUn tnn次谐波的网络函数次谐波的网络函数高等学校电子教案高等学校电子教案: :电路与模拟电子技术电路与模拟电子技术第五章第五章 非正弦周期交流电路非正弦周期交流电路按空格键继续按空格键继续第第23页页n非正弦周期电路的分析过程：非正弦周期电路的分析过程：1. 将非正弦周期电源分解成谐波叠加将非正弦周期电源分解成谐波叠加2. 求电路在各次谐波频率时的传输函数求电路在各次谐波频率时的传输函数()oninUH nU)()()(210tutuUtu3. 计算各次谐波响应计算各次谐波响应o( )2 |()|sin()nnnutH nUn tn4. 在时间域

23、将各次谐波响应叠加，得到总响应：在时间域将各次谐波响应叠加，得到总响应：)()()(2o1o0ootutuUtu高等学校电子教案高等学校电子教案: :电路与模拟电子技术电路与模拟电子技术第五章第五章 非正弦周期交流电路非正弦周期交流电路按空格键继续按空格键继续第第24页页例：计算图示电路的输出电压例：计算图示电路的输出电压uo，输入电压如图。，输入电压如图。RCu(t)uo(t)u0tTUmm2|sin|UtT全波整流电压全波整流电压 =2 /T1.mm21224 ( )cos(41)nUUnu ttnT2.R1jn CnUnUoj()1jn RCH nn RC2arctan()21 ()n

24、RCn RCn RC高等学校电子教案高等学校电子教案: :电路与模拟电子技术电路与模拟电子技术第五章第五章 非正弦周期交流电路非正弦周期交流电路按空格键继续按空格键继续第第25页页3.00oUmo122( )sin(arctan()321()URCuttRCRC 4. 时间域叠加时间域叠加mo2222( )sin(2arctan(2)721(2)URCuttRCRC )()()(2o1o0ootutuUtu高等学校电子教案高等学校电子教案: :电路与模拟电子技术电路与模拟电子技术第五章第五章 非正弦周期交流电路非正弦周期交流电路按空格键继续按空格键继续第第26页页n非正弦周期交流电路中的平均功率非正弦周期交流电路中的平均功率设非正弦周期电流电路中某支路电压电流为（关联方向）设非正弦周期电流电路中某支路电压电流为（关联方向）0101( )2sin()( )2sin()nunnninnu tUUn ti tIIn t则，该支路的瞬时电功率则，该支路的瞬时电功率)()()(titutp00011( )( ) ( )dcos()TnnuninnPp tu t i ttU IU IT平均功率平均功率电路元件电路元件iu高等学校电子教案高等学校电子教案: :电路与模拟电子技术电路与模拟电子技术第五章第五章 非正弦周期交流电路非正弦周期交流电路按空格键