欧几里得空间习题解答

1、精选优质文档-倾情为你奉上第九章 欧几里得空间习题解答P394.1.1 对称性成立，是一个内积, =(2,1,3,2), =(1,2,-2,1), =(1,2,2,3), =(3,1,5,1), =(1,1,1,2), =(3,1,-1,0)P393. 3 P393.4在解设所求证:因为证，小题：P393.6 而P394.8，解：解出：Schmidt: 单位化便得到解空间的标准正交基：P394.9 已知解：单位化标准正交基P394，11设两个基： P394.11，取V的一个基P394，13，设：因为A正交，故A'A=E，令A=由第1行列，由1与其余各列正交，1j（j>1），（1，

2、j）=其中A1仍为上三角正交矩阵，但阶数少1，故可用归纳法给出证明，且n=1时显然为真，由归纳法原理，证毕。P394，14，设用Schmidt方法把它们正交化T2T-1=E，T2=T，满秩 Q2=QP394，14，A正交，则存在C可逆使A=C'C而C可逆，由，有C=QT，Q正交T上三角。 A=C'C=T'Q'QT=T'ET=T'TP395，15，A P395，15， P395，15，P395，17：P395，17，A=解：P395,17, P395,17：解：秩（A）=1， 得：令T=P395，18f=X'另解法，作正交矩阵，H=即令P3

3、95,18又A=-B+3E即为17中的A（见P9,138,10,3）令，则P395，18,P395，18，P395,19,A实对称，存在正交矩阵T，使P396.20“充分性”，设为A的实特征根，取的单位特征向量，扩充为的标准正交基 故由归纳假设（n=1，显然成立），存在T2正交。为上三角矩阵P396，21“必要性”T-1AT=B，则A，B相似，故特征值全部相同，“充分性”，若A，B的特征值都由1，2，n， 则存在，T1，T2正交，使 P396、24“必要性”，若反对称，在标准正交基下 则：“充分性”，若 以坐标为AX、AY。 即，A为反对称的P396、24设V1为/A-子空间，A反对称。W=

4、A（A，）=（，A）=0 故W为A-子空间。充分性，取 和2),由于正交补是唯一的P397补1，设为A（正交）的特征值，定义AX=AX，则A为正交变换P397，补2， A为V中正交变换，|A|=1 设A的特征值为。P397补3（仿上题），|A|=-1，剩下的n-2k个实根之积为-1，其中必有特征值= -1。P397,补4：令而是正交变换，则A由假设有正交变换A1，由于A1保持内积及Gram矩阵，行列式的线性相关系。任何一个局部的线性关系相同，设W=L ,作线性变换/A， P397补7,作正交替换,X=TY, P397，补9，取P397，补9，设正交变换A，标准正交基： 作镜面反射不妨设BK是一系列镜面反射使：作一镜面反射 继续下去，n步后必存一系列反射之积|B使 由线性变换的唯一存在性，是一系列镜面反射之积P397，补10，设C可逆，使C'BC=E （>0）令A1=C'AC，实对称，存在正交Q，使Q'AQ对角形令T=CQ，可逆，则T'AT=Q'(C'AC)Q=Q'A'Q，对角形T'BT=Q'(C'BC)Q=Q'EQ=E，对角形，（证毕） 即为上三角且对角线上全大于0,其次，另设A=