随机变量的数学期望与方差

1、1.下列说法中，正确的是 A.离散型随机变量的均值 B.离散型随机变量的方差 C.离散型随机变量的均值 D.离散型随机变量的方差 解析:离散型随机变量X()E(X)反映了 D(X)反映了 E(X)反映了 D(X)反映了限时作业62随机变量的数学期望与方差 一、选择题X取值的概率平均值X取值的平均水平X取值的平均水平X取值的概率平均值的均值反映了离散型随机变量X值的平均水平，随机变量的方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度答案:C2.已知随机变量的概率分布是X123P0.40.20.4则D(X)等于()A.0B.0.8C.2D.1解析:根据方差的计算公式，易求V(X) = 0.8.答案：B3

2、 .若随机变量X服从两点分布，且成功的概率p=0.5,则E(X)和D(X)分别为()A.0.5 和 0.25B.0.5 和 0.75C.1 和 0.25D.1 和 0.75解析:. X服从两点分布，X的概率分布为X01P0.50.5E(X) =0X0.5+1 >0.5= 0.5,D(X) = 0.52 >0.5+(1 0.5)2 >0.5 = 0.25.答案:A4 .离散型随机变量 X的分布列为P(X=k)=pkq1-k(k=0,1,p+q=1),则EX与DX依次为()A.0 和 1B.p 和 p2C.p 和 1 pD.p 和 p(1p)解析：根据题意，EX = 0Xq+1X

3、p = p,DX = (0 p)2q+(l p)2p= p(l p)或可以判断随机变量X满足两点分布，所以 EX与DX依次为p和p(1 -p),选D.答案：D5 .已知XB(n,p),EX =8,DX = 1.6,则n与p的值分别是()A.100,0.08B.20,0.4C.10,0.2D.10,0.8解析：由于 XB(n,p),EX =8,DX = 1.6,即 np=8,np(1 - p)= 1.6,可解得p = 0.8, n=10,应选D.答案：D二、填空题6 .连续不断地射击，首次击中目标所需要的射击次数为X;南京长江大桥一天经过的车辆数为X;某型号彩电的寿命为X;连续抛掷两枚骰子，所得

4、点数之和为X;某种水管的外径与内径之差 X.其中是离散型随机变量的是 .(请将正确的序号填在横线上)解析:中X的取值有限，故均为离散型随机变量；中 X的取值依次为1,2,3, 虽然无 限，但可按从小到大顺序列举，故为离散型随机变量；而中X的取值不能按次序一一列举，故均不是离散型随机变量.答案:5. 57 .设l为平面上过点（0, 1）的直线，l的斜率等可能地取 2J2,J3, J,0,二，d3,2J2 ,22用X表示坐标原点到l的距离，则随机变量 E的数学期望EX=1解析：设直线万程为y = kx+1 ,则点（0 , 1）到直线的距离X = ，将k取 .k2 1-2 .2,- 3,22 1 1

5、一 一,1,，由于l的斜率33 2 3I。,更 巧,2 J2代入，分别求得距离为22取什么值是等可能的, 所以X的分布列为X13122 31P2727271712122214因此EX =-1372737774答案：478 .一只青蛙从数轴的原点出发，当投下的硬币正面向上时，它沿数轴的正方向跳动两个单位当投下的硬币反面向上时，它沿数轴的负方向跳动一个单位.若青蛙跳动4次停止，设停止时青蛙在数轴上对应的坐标为X,则E（X）=解析:所有可能出现的情况分别为1硬币4次都反面向上，则青蛙停止时坐标为x1=4，此时概率p1 = ；16硬币3次反面向上而1次正面向上，则青蛙停止时坐标为X2=1，此时概率2

6、16硬币2次反面向上而p3 = C42次正面向上，1则青蛙停止时坐标为X3 = 2，此时概率516次反面向上而3次正面向上，则青蛙停止时坐标为x4 = 5，此时概率P41 11 3(1)(2)5161 ,1硬币4次都正面向上，则青蛙停止时坐标为X5=8，此时I率p5 =C：父（一）4 =一 ,216E(X) = X1p1+X2P2+X3p3+X4p4+X5p5= 2.答案：2三、解答题9.设有甲、乙两门火炮，它们的弹着点与目标之间的距离为随机变量 分布列为：-x828390-X1和X2（单位：cm）,其9298X28286.59092.594p0.20.20.20.20.20.20.20.20

7、.20.2求EX1,EX2,DX1,DX2,并分析两门火炮的优劣.解:根据题意，有 EX1= 82X0.2+83 >0.2+90 X0.2+92X0.2+98>0.2= 89,EX2= (82+86.5+90+92.5+94) >0.2=89,DX1 = (82 89)2x0.2+(83 89)2X0.2+(90 89)2 X0.2+(92 89)2X0.2+(98-89)2X0.2= 35.2, DX 2 = (82 89)2x0.2+(86.5 89)2 D.2+(90 89)2 >0.2+(92.5 89)2 >0.2+(94 89)2X0.2= 18.5.

8、 EXi = EX2,故两门火炮的平均性能相当，但DXi>DX2,故乙火炮相对性能较稳定，则甲火炮相对分布较分散，性能不够稳定.10.设一汽车在前进途中要经过遇到红灯(禁止通行)的概率为34个路口，汽车在每个路口遇到绿灯 (允许通行)的概率为一，41.假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，X表示停4车时已经通过的路口数，求：(1)X的概率分布及期望 EX;(2)停车时最多已通过3个路口的概率.解:(1)X的所有可能值为0, 1,2, 3, 4,用Ak表示 汽车通过第k个路口时不停(遇绿灯)：3一则 P(Ak)= (k=1,2,3,4)，且 A1,A2,A3,A4独立.41故 p(x

9、 = 0)=p(a )=-,316,144丁 31P(X=1)=P(A1 A2 )=-=<- =4 43、2641 _ 27 4 一 25681, 256P(X = 2) = P(A1 A2 A3)=()43、3P(X = 3) = P(Ai A2 A3 A4 )= ( ) m 4_,3、4P(X = 4)=P(Ai A2 A3 A4)= (-) =41392781EX = 01 2 一 3 4 一41664(2)P(XW 3)= 1 P(X = 4)= 1 一25625681175525256256，停车时最多已通过3个路口的概率为256175从而X的概率分布为X01234P13927

10、814166425625625611.(2009广东汕头统测，理 20)NBA总决赛采用7场4胜制，即若某队先取胜 4场则比赛结 束.由于NBA有特殊的政策和规则，能进入决赛的球队实力都较强，因此可以认为，两个队在每一场比赛中取胜的概率相等.根据不完全统计，主办一场决赛，组织者有望通过出售电视转播权、门票及零售商品、停车费、广告费等收入获取收益2 000万美元(相当于篮球巨星科比的年薪).(1)求所需比赛场数 X的概率分布；(2)求组织者收益的数学期望.1解:所需比赛场数X是随机变量，其所有可能取值为4,5,6, 7,从而P(X=k)= C；()k ,k2= 4,5,6,7.(1)X的概率分布

11、为X4567P1155841616115593(2)所需比赛场数的数学期望是 E(X) =4x8 +5父4 +6x16 +7x16 = 16 =6,组织者收益的数学期望为 一 X2 000= 11 625万美元.1612.某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二道工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级 对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品.(1)已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率 P甲、P乙；(2)已知一件产品的利润如表二所示，用X、Y分别表示一件甲、乙产品的利润，在 (1)的条件下，求X、Y的概率分布及 E(X)、E(Y);(3)已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示.该工厂有工人 40名，可用资金 60万元.设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在(2)的条件下，x、y为何值时，z= xE(X)+yE(Y)最大？最大值是多少？(解答时需给出图示)表二 等级 利润、i* T甲5（力兀）2.51力元）乙2. 5（万元）1. 5(“心表二项目用量、资金（万元）88乙2105x+10y <60,8x+2y <40,由题设，知、x -0,y -0.目标函数为 z=xE(X)+yE(Y)