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1、微积分rxdtdx微微 积积 分分微积分第一章第一章 函数函数第二章第二章 极限与连续极限与连续第三章第三章 导数与微分导数与微分第四章第四章 中值定理中值定理, ,导数的应用导数的应用第五章第五章 不定积分不定积分第六章第六章 定积分定积分第七章第七章 无穷级数无穷级数( (不要求不要求) )第八章第八章 多元函数多元函数第九章第九章 微分方程微分方程复习微积分第一章第一章 函数函数 集合集合 函数概念函数概念 函数的几种特性函数的几种特性 反函数反函数 复合函数复合函数 初等函数初等函数 微积分函数函数-集合集合是指具有特定性质的一些事集合是指具有特定性质的一些事物的总体物的总体. .组成

2、这个集合的事物称为该集合的元素组成这个集合的事物称为该集合的元素. . 通常用大写拉丁字母表示集合，小写字母表示元素.a是集合M的元素,记作aM(读作a属于M)；a不是集合M的元素,记作aM (读作a不属于M).集集合合定定义义微积分函数函数-集合例子例子1. 19901. 1990年年1010月月1 1日在南宁市出生的人。日在南宁市出生的人。2. 2. 彩电、电冰箱、彩电、电冰箱、VCDVCD。3. 3. x x2 2-5x+6=0-5x+6=0的根。的根。集合具有确定性，即对某一个元素是否属于某个集合具有确定性，即对某一个元素是否属于某个集合是确定的，是或不是二者必居其一。集合是确定的，是

3、或不是二者必居其一。由有限个元素构成的集合由有限个元素构成的集合，称为有限集合。，称为有限集合。由无限多个元素构成的集合由无限多个元素构成的集合，称为无限集合；，称为无限集合；4. 4. 全体偶数全体偶数。微积分函数函数-集合集合的表示法集合的表示法1. 列举法列举法：按任意顺序列出集合的所有元素,并用括起来。例例： 由x2-5x+6=0的根所构成的集合A，可表示为：A=2,3注注：必须列出集合的所有元素，不得遗漏和重复。微积分函数函数-集合2.描述法描述法：设P(a)为某个与a有关的条件或法则，A为满足P(a)的一切a构成的集合，记为：A=a|P(a)例例： 由x2-5x+6=0的根所构成的

4、集合A，表示为：A=x|x2-5x+6=0例例：全体实数组成的集合通常记作R，即：R=x|x为实数微积分函数函数-集合子集如果集合A的元素都是集合B的元素，即若 xA则必xB，就说A是B的子集，记作AB(读作A包含于B)或BA(读作B包含A)如果A B且或AB，则称A与B相等。1. AA即集合A是其自己的子集。2. 传递性 AB、B C 则A C。3. A，即空集是任何集合A的子集。微积分函数函数-集合全集与空集全集与空集所研究的所有事物构成的集合称为全集所研究的所有事物构成的集合称为全集, ,记为记为: :U U。不含任何元素的集合称为空集，记为：不含任何元素的集合称为空集，记为： 。例例1

5、 1：x x2 2+1=0+1=0实数根集合为空集。实数根集合为空集。例例2 2：平面上两条平行线的交点集合为空集。：平面上两条平行线的交点集合为空集。注：注： 0 0 及及 都不是空集，前者有元素都不是空集，前者有元素0 0，后者，后者有元素有元素。微积分函数函数-集合集合的运算集合的运算集合的并：集合的并：A A B=x|x B=x|x A A 或或x x B B 集合的交：集合的交：A A B=x|x B=x|x A A 且且x x B B 集合的差：集合的差：A A- -B=x|x B=x|x A A 且且x x BB 微积分函数函数-集合区区间间 在一条直线上指定了一点作为在一条直线

6、上指定了一点作为原点原点OO，再指，再指定了定了正向正向，此外又规定了，此外又规定了单位长度单位长度，这条直，这条直线就称为数轴。线就称为数轴。 数轴上的点与实数之间可以建立一一对应数轴上的点与实数之间可以建立一一对应的关系。有时为了形象化起见，把的关系。有时为了形象化起见，把数数x x称为点称为点x x，就是指数轴上与数，就是指数轴上与数x x对应的那个点。对应的那个点。1 1-1-10 0OOx x微积分函数函数-集合闭区间： a,b=x|axba,b=x|axb开区间：( (a,b)=x|axba,b)=x|axb左闭右开区间： a,b)=x|axba,b)=x|axb左开右闭区间：(

7、(a,b=x|axba,b=x|axb有有限限区区间间OOx xa ab bOOx xa ab bOOx xa ab bOOx xa ab b微积分函数函数-集合a, + a, + )=x|ax)=x|ax(- (- ,b=x|xb ,b=x|xb(- (- ,b)=x|xb ,b)=x|xb无无限限区区间间实数集实数集(- (- ,+ ,+) )=x | - =x | - x+ x+ OOx xa aOOx xb b(a, +(a, +)=x|ax)=x|axOOx xb bOOx xa a微积分函数函数-集合邻邻域域(a,)=x| |x-a| =x|a-xa+=(a-,a+)称为点a的邻域

8、邻域。a称为邻域的中心，称为邻域的半径。xaa- a+ 例例：(2 ,1 )= x | |x-2|1 =x | 1x3 =( 1, 3)x213=1=1微积分函数函数-集合空空心心邻邻域域( a , )= x | 0|x-a| = x | a- xa 或或 axa+ =(a- , a)U(a , a+ )称为点a的空心邻域空心邻域。xaa- a+ 例例：U(2,1)=x|0|x-2|1=x|1x2或或2x03x-2 1x2/3x 1D=(2/3,1) (1,+)例例2：确定函数y=arcsin 的定义域。25-x21x-15+解：解：解：解：x-15 125-x2 025-x2 0-4x 6

9、|x-1| 525-x2 0-5x0tgx 0tgx1x ( k , k + )解：解：xk +2 2x (k + , k + )42x (k + , k + ), k=0, 1, 2, 3, 为所求的定义域4 2微积分函数函数-函数的性质1函数的有界性函数的有界性:,)(, 0,成立成立有有若若MxfXxMDX .)(否否则则称称无无界界上上有有界界在在则则称称函函数数XxfM-Myxoy=f(x)X有界有界M-MyxoX0 x无界无界存在存在任意任意微积分函数函数-函数的性质例例1:f(x)=sinx在(-,+)内是有界的。因为|sinx| 1。例例2:f(x)=1/x在(0 ,1)内是无

10、界的。在1,+)内有界。例例3:内有界在),(1)(2xxxf),(211) 1(11)(222122xxxxxxxxf微积分函数函数-函数的性质2函数的单调性函数的单调性:,)(DIDxf 区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数,2121时时当当及及上任意两点上任意两点如果对于区间如果对于区间xxxxI ),()()1(21xfxf 恒有恒有;)(上上是是单单调调增增加加的的在在区区间间则则称称函函数数Ixf)(xfy )(1xf)(2xfxyoI微积分函数函数-函数的性质,2121时时当当及及上任意两点上任意两点如果对于区间如果对于区间xxxxI ),()()2(21xfxf 恒有恒有;

11、)(上是单调减少的上是单调减少的在区间在区间则称函数则称函数Ixf)(xfy )(1xf)(2xfxyoI,)(DIDxf 区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数微积分例如例如, 函数函数 y x 3 在在( , )内单调增加。内单调增加。3xy xyo微积分 而函数而函数 y x 2 在区间在区间( , 0)内单调减少；在区间内单调减少；在区间(0, )内单调增加。内单调增加。2xy xyo微积分函数函数-函数的性质例例1: 1:判断函数y=y=x x3 3的单调性。解：解：对于任意的xl、x2 ，设xlx2x23 -x130,所以x23 x13 ，故 y=x3在(- ,+)是单调增加的。

12、当 x1 x2 0 时 x12 + x1 x2 + x22 0 所以f(x2)-f(x1)0f(x2)-f(x1)=x23 - x1 3 =(x2 - x1)(x12 + x1 x2 + x22)当 x1 x2 0所以f(x2)-f(x1)0微积分函数函数-函数的性质例例2:2:判断函数y=2y=2x x2 2+1的单调性。解：解： xl、x2 R ，设xlx2(x1+x2)0f(x1)f(x2)f(x)单调减少单调减少(x1+x2)0当当 xl、x2 0,+ )f(x1)-f(x2)0f(x1)1时，函数单调增加；时，函数单调增加；当当0a1 时时, 函数单调增加；函数单调增加；当当 0a0

13、,a1)对数函数对数函数 y=logax (a是常数,a0,a1)三角函数三角函数 y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx,y=secx, y=cscx;反三角函数反三角函数 y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx . 0,过(0,0),(1,1),在(0, +)递增 1递增,0a1递增,0a1递减由常数及基本初等函数经过有限次四则运算及有限由常数及基本初等函数经过有限次四则运算及有限次的复合所构成并可以用一个式子表示的函数，叫次的复合所构成并可以用一个式子表示的函数，叫初等函数初等函数。微积分函数函数-初等函数三角函数三角函数

14、y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx,y=secx, y=cscx;函数定义域值域周期奇偶单调y=sinx(-, +)-1,12奇(-/2+2k, /2+2k)递增(/2+2k, 3 /2+2k)递减y=cosx(-, +)-1,12偶(+2k, 2 +2k)递增(2k, +2k)递减y=tgxx/2+k(-, +)奇(-/2+k, /2+k)递增y=ctgxxk(-, +)奇(k, +k)递减y=secxx /2+k (-, -1U1, +)2偶(2k, /2+2k),(/2+2k, +2k) 递增(-/2+2k,2k),(+2k,3/2+2k)递减y=cscxxk(-

15、, -1U1, +)2奇(-/2+2k,2k),(2k, /2+2k)递增(/2+2k,+2k),(+2k, 3/2+2k)递减微积分函数函数-初等函数y=cscxy=secxy=ctgxy=tgxy=cosxy=sinx微积分函数函数-初等函数y=arcsinxy=arccosxy=arcctgxy=arctgx微积分 由基本初等函数经过有限次的四则运算或复由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合运算得到的一切函数统称为合运算得到的一切函数统称为初等函数初等函数. . 二、初等函数二、初等函数例如，例如，21xy ，xy2sin ，)sin1ln(xy 等等。等等。本课程讨论的函数绝大多数都

16、是初等函数本课程讨论的函数绝大多数都是初等函数. .微积分例例1 1xxysin 是初等函数吗？是初等函数吗？利用对数恒等式利用对数恒等式,logxaxa ,eelnsinlnsinsinxxxxxxy 解解是初等函数。是初等函数。一般地，一般地，幂指函数幂指函数)()(xgxfy )0)( xf也是初等函数：也是初等函数：)()(xgxfy .)(log)(xfxgaa 微积分例例2 2分段函数是初等函数吗？分段函数是初等函数吗？解解不是初等函数；不是初等函数； 010001sgnxxxxy当当当当当当符号函数符号函数 0000|xxxxxxy当当当当当当是初等函数，因为是初等函数，因为.|2xxy 分段函数可能是初等函数，也可能不是。分段分段函数可能是初等函数，也可能不是。分段只是一