第四节 行列式的性质 2013-2-27修改

1、 第四节 行列式的性质教学目的：熟练掌握行列式的初等变换性质，并能灵活运用初等变换性质进行行列式的计算与证明.教学过程：1.【定义1.5】由个数排成行列构成符号，称为级行列式.规定其运算为 .其中：为行列式的一般项，它由位于行列式不同行、不同列的个元素的乘积并冠以符号构成，为列标排列的逆序数. 的值为取遍行列式各项的代数和.【表示取遍的所有级排列】注意：(1)可简写为或；(2) 中的称为第行第列元素.(3) 中共有个元素，展开式中共有！项，其中冠正、负号的项各半.称为的转置行列式.【性质1.1】行列式与它的转置行列式相等,即.（行列式转置其值不变）一、行(或列)间的性质观察例子 ， .利用行列

2、式的定义不难证明如下结论例1.（1）证明：互换行列式的两行(或两列),行列式值变号.证明:设，即变换两行得到,有 ,(), , , 于是 .（2）证明：行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数,等于用数乘此行列式. （）证明:.（3）证明：用数去乘以行列式，等于的某一行(某一列)中所有的元素都乘以同一数. （）即 .（4）证明：若行列式的某一行（或某一列）的元素都是两数之和，则行列式等于两个行列式之和.（拆列（拆行）即 .证明: .（5）证明：把行列式的某一列（或某一行）的各个元素乘以同一个数后加到另一列（另一行）对应元素上去，行列式的值不变.（倍列加（或倍行加）证明: 右边.【性质1.2

3、】行列式的初等变换性质（1）换行（换列）值反号. 记作.（2）倍行（倍列）倍值. 记作 .（3）倍行加（倍列加）值不变. 记作.【性质1.3】若行列式的某一行（某一列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和.【拆列（或拆行）】【性质1.4】行列式某行（或某列）的公因式可以提到行列式外.【记为 （或）】【推论】用一个数乘以行列式，等于用这个数乘以此行列式的某一行（或某一列）.【就是性质1.2的（2）】例2.证明（1）如果行列式有两行(或两列)完全相同，则.证明: 互换相同的两行，有 .（换行（列）（2）行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式为零证明: 【性质1.5】具有下列特征

4、之一的行列式值为零.（1）一行(或一列)元素全为零.（2）两行(或两列)元素对应相等.（3）两行(或两列)元素对应成比例.（行列式值为零的充分非必要条件）【块行列式的性质】（拉普拉斯定理的特例）.证明: 对上述行列式可以通过倍行加，将左上行列式化为下三角行列式，对上述行列式可以通过倍列加，将右下行列式化为下三角行列式，进而证明.令 ；对实施倍行加，对实施倍列加，可以分别将，化为两个下三角形行列式，从而得到.例 计算 二、应用举例计算行列式常用方法：利用行列式的初等变换把行列式化为上（下）三角形行列式，从而算得行列式的值例计算行列式 解：.例2 计算 解： .提问：设，则 .答案：-12.例3

5、计算行列式 解 （循环行列式）将第列都加到第一列得.例4 计算行列式 解法一： 将第行依次与行交换,再将第列依次与列交换,得.解法二：.解法三：（将第一个行列式再按最后一行展开，第二个行列式按第一列展开）.（同上按照递推的方法可得）例5 设是方程 的三个根，则行列式的值为多少？解 是方程 的三个根，由韦达定理得，（查找一元n次方程的韦达定理）.例6 计算行列式 解.（提问：还有什么方法？）例7 求证 证明： 左边（两个行列式的提取公因式得）（上式作倍列加运算得）（上式提取公因式得）（再作倍列加运算得）（上式提取公因式得）（第二个行列式作两次换列运算：）.三、课堂练习：4.计算下列各行列式：（2）；（4）；（3）48 ,（4）40.小结：（1） 计算行列式常用方法：利用行列式初等变换性质把行列式化为上（下）三角形行列式，由对角线上元素乘积算得行列式的值（2） 对行列式进行初等变换（换行、换列；倍行、倍列；倍行加、倍列加）时最好使的左上角的元素为“，以降低运算难度. 然后按依次解决一行（列）的办法作等价变形，尽量回避分数运算.（3）行列式中零元素较多时，可用选元素法使行列式变为只有极少数的非零项，直接用定义计算行列式的值.布置作业