2.2收敛数列的性质

1、 2.2收敛数列的性质教学内容：第二章数列极限一一 2.2 收敛数列的性质教学目标：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法 教学要求：1使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等 式性；2掌握并会证明收敛数列的四那么运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些 收敛数列的极限.教学重点：迫敛性定理及四那么运算法那么及其应用教学难点：数列极限的计算.教学方法：讲练结合教学过程：引言上节引进“数列极限的定义，并通过例题说明了验证lima, a的方法，这是极限较根本n的内容，要求掌握为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题还需要对数列的性质作进一步讨论.、收敛数列的性质

2、性质1 极限唯一性 假设数列an收敛，那么它的极限唯证法一 假设a与b都是数列an的极限，那么由极限定义，对o ， Ni,N2 ,当n Ni 时，有 an an N2时，有an取N ma N1,N2，那么当n N时有b| 2I a b| |(an b) (ana) | | an a| | an由的任意性，上式仅当a b时才成立.证法二 反证假设an极限不唯一，即至少有两个不相等的极限值，设为 a，blim annalim annb且ab故不妨设ab，取 b2a 0由定义,N1当nN1时有an aana ba2 .又N2，当门N2时有anban,a bb2a b因此，当n ma Ni，N2时有a

3、n 2 an矛盾，因此极限值必唯一.性质2有界性如果数列an收敛，那么an必为有界数列.即M 0，使对n有|an| M证明设9n 9取1， N 0使得当n N时有an a 1即何 |9| &9| 1| % | | 9 | 1. 令M max1 | a |,| 印 |,| a? |,| a |那么有对n lanl M即数列an有界.注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件，如 1n.在证明时必须分清何时用取定，何时用任给.上面定理3.2证明中必须用取定，不能用任给，否那么N随在变，找到的M也随在变，界M的意义就不明确了 .lim an a lim an b性质3 保序性设n n ，n n

4、，1假设a b，那么存在N使得当n N时有an bn；2假设存在N，当n N时有an bn，那么a b 不等式性质证明1取心0N2，那么存在N1，当nN1时1弘a|a b a b从而an a 丁二又存在N2，当门N2时1 Sb|bn b当 n max(Ni,N2)时bnan2反证如a b，那么由知必bn这与矛盾.I推论保号性假设nimanN时anb.特别地，假设a 0，那么N，当n N时an与a同号.思考 如把上述定理中的anbn换成%bn能否把结论改成lim an limnnbn ？例设 an 0门 1,2，假设 nimana，那么lim .n 1an 、a证明 由保序性定理可得 a即 ni

5、m Jan0 Ja0.假设a 0，那么N1时有an假设a 0，那么 0，L. an a |N2|an.an aa|数列较为复杂，如何求极限?性质4 四那么运算法那么lim (annN2时有|an|an a |a假设an、bn都收敛,bn)lim an lim bnnnlim特别地，ncanclimnanC为常数如再有limn那么anlim anbnnbnbn、anbn、 anbn也都收敛,lim an lim bnnn0那么bn也收敛，且lim anbnlim annlim bnnbn，故只须证关于和积与倒数运算的结论即可lim an a lim bn b 设n，n，0，Ni，当 nNi 时a

6、na；N2 当 n；， 当N2时an1an 证明由于 an bnan( 1)bn， bnbn b取 N maXNN2，那么当 nN时上两式同时成立. |anbn ab| | (a. a)ga(bn b)|an allbnl |a|bn b|由收敛数列的有界性,M 0，对n有|bn 1 M故当nN时，有|anbn ab| (M | a |)lim anb由的任意性知n nablim bn b 0(2)n.由保号性，No 0及k 0，对n No有|bn| k (如可令k取N max N0，N2，那么当n N时有bnI bn b|bnb|I bn b| klbl k|b|,由 的任意性得lim丄丄n

7、 bn b用数学归纳法，可得有限个序列的四那么运算:Nlim xnk)nlimxnk)n k 1N(k)limxnn k 1N(k) lim Xnk 1 n但将上述N换成，一般不成立事实上k1或k1本身也是一种极限，两种极限交换次序 是个非常敏感的话题，是高等分析中心课题，一般都不能交换，在一定条件下才能交换，具体 什么条件，到后面我们会系统研究这个问题性质5 两边夹定理或迫敛性设有三个数列an、bn、cn，女口 N，当门N时有an Cn bn，且an nim bn l，那么 nim Cn llim a证明n annimbn l0 UN当n Ni时，1an 1；当门N2时，1bn 1取 No

8、max(Ni,N2,N)贝卩当n N 0时以上两式与条件中的不等式同时成立，故有nNo 时 lanCnbn l|Cn l |即 nim Cn该定理不仅提供了一个判定数列收敛的方法，而且也给出了一个求极限的方法推论假设N，当nN 时有 a Cn bn (或 bn Cna，那么limnCnna 例求证nim n!(a 0)证明 k Y使得ka，从而当n k时有n aaa0n!12kkaaaalimlim由于n k!nk!n nka aa a ak k 1 n k! nJ0由推论即可得结论例设ai，a2，绻是m个正数，证明limnna；na2nammax(a ,a2,am )证明设 A max( a

9、i, a2,am)，贝q Anai a；nam n mAI m 1nim1,由迫敛性得结论lim n a 1 (a 1)n在证明中,令hna (1n 0hn)，得hnan，由此推出hn由此例也看出由Xn Znyn 和 nim Xna lim ynnlim zn也推出nlim 丸 n例2证明n 证明令1 hnn (1 hn)n1 nhnhn42 hn22(n 3)0hn两边夹推出九 0，即】n 1.在求数列的极限时，常需要使用极限的四那么运算法那么.下举几例:4n2 6n 1lim 2例3求极限n 3n n 9 4n26n146n14lim2lim丄 n43n.解n3n2n9 n3例4求极限li

10、m(1 an a )(0a1)n1n a1解lim (1aan)limnn1a 1a .3n1n 13n1n11lim ()limlimlim (3 -)lim (1例5nim (nnnnnnnnn n解原式(lim 3lim)(lim 1nnnlim ) n nlimnmamnlimnk 1bk 1nm kamnbkm k 1am 1 nbk 1n 1amaodn b mobkb1n11 kkama0 nambm0, mk分子分母最高次数相同，为最高次系数之比即有理式的极限分子最高次低于分母最高次，那么为0lim如n2n33n34n2510n7lim产n n 1 n12例8设a,b 0，证明

11、【汁舛maXa，b).证明 max(a ,b) ymax(a, b)n Qan bn 翠 2max(a,b)nmax(a,b)二、数列的子列(一) 引言极限是个有效的分析工具但当数列an的极限不存在时，这个工具随之失效.这能说明什 么呢？难道an没有一点规律吗？当然不是！出现这种情况原因是我们是从“整个数列的特 征角度对数列进行研究那么，如果“整体无序，“局部是否也无序呢？如果“局部有序， 可否从“局部来推断整体的性质呢？简而言之，能否从“局部来把握“整体呢？这个“部 分数列就是要讲的“子列.(二) 子列的定义定义1设an为数列，nk为正整数集N的无限子集，且厲n2 n3 L nk L，那么数

12、 列an1 , an2 丄，ank , L称为数列an的一个子列，简记为 ank .注1由定义可见，an的子列ank的各项都来自an且保持这些项在an中的的先后次 序.简单地讲，从an中取出无限多项，按照其在an中的顺序排成一个数列，就是an的一个 子列(或子列就是从 an中顺次取出无穷多项组成的数列).注2子列ank中的nk表示ank是a.中的第m项，k表示a.k是a.k中的第k项，即a.k 中的第k项就是an中的第nk项，故总有nk k .特别地，假设入k，那么a a“，即aa.注3数列an本身以及an去掉有限项以后得到的子列，称为 an的平凡子列；不是平 凡子列的子列，称为 an的非平凡

13、子列.女口 a2k , a2ki都是an的非平凡子列.由上节例知：数列 可与它的任一平凡子列同为收 敛或发散，且在收敛时有相同的极限那么数列an的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢？此即下面的结果:定理2.8 数列an收敛的充要条件是：an的任何非平凡子列都收敛.证明 必要性：设nm an a,ank是an的任一子列.任给 0，存在正数N,使得当k N 时有ak a .由于nk k，故当k N时有nk N，从而也有 a ，这就证明了 ak收 敛(且与an有相同的极限).充分性：考虑an的非平凡子列a2k，a2k1与a3k.按假设，它们都收敛.由于a6k 既是a2k，又是a3k的子列，故由刚刚证明的必要性，“也回氣kim a3k.又a6k 3既是a2k 1又是a3k的子列，同样可得k2amnkK3amHk1K2amHkK2amHk所以由课本例7可知an收敛.由定理2. 8的证明可见，假设数列an的