2017年福建省高中数学竞赛预赛试题

1、2017福建省高中数学竞赛预赛试题2017年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛暨2017年福建省高中数学竞赛试卷参考答案(考试时间：2017年5月21日上午9:0011:30,满分160分)、填空题(共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上)1 .已知集合Axlog2(x1)取值范围为.【答案】 【解答】(1,5)由 log2(x 1) 1 ,得 02,得 2 x a 2，贝U a 2 1或a2 3,a 2,1或a3,(a(123) o a 2) 0B时，a的取值范围为(1,5)2.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且函数f(x 1)为偶函数，当0时,f(x)x3,则f

2、(|)【解答】由函数y 又f(x)为奇函数，f(x 1)为偶函数，知1)f(x1)。f (x2) f (x) f(x)f (x4)f (x2)f(x)9 f(2)1 f(2)1f( 2)2)3知an为等比a)a20171f(x)21 x2f(a1)g)【答案】f(a3) Lf (a2017)an2017由 f (x)21 x2-1知，f (x) f(-) x为等比数列，且a1a2017a1a2017a2a2016a3a2015a2017 a1。f ( a1)f (a2017 )2 f(a)gf(a2)3)f (a2016 )f ( a3)LMaGf(ai)f (a2017)2(1)2x21 x

3、22x2-2- x2。f ( a2015)Lf (a2017)f(a1) 2。f (a2)f (a2016)f (as)f (a2015)Lf (a2017)f(a1)2 2017。f(ai)f。)f(a3)Lf9如7)2017。4 .将8个三好生名额分配给甲、乙、丙、丁4个班级，每班至少1个名额，则甲班恰好分到2个名额的概率为。【答案】27【解答】将8个三好生名额分配给甲、乙、丙、丁4个班级，每班至少1个名额的不同分配方案有C335种。(用隔板法：将8个名额排成一排，在它们形成的7个空挡中插入3块隔板，则每种插入隔板的方式对应一种名额分配方式，反之亦然。)其中，甲班恰好分到2个名额的分配方案

4、有C；10种。(相当于将6个名额分配个3个班级，每班至少1个名额。)所以，所求的概率为1023575 .三棱锥PABC中，ABC是边长为2向的等边三角形，PBPC75,且二面角PBCA的大小为45,则三棱锥PABC的外接球的表面积为【答案】25【解答】如图，取BC中点D,连AD,PD。由ABC是边长为24的等边三角形，PBPC75知,ADBC,PDBC,PD72。PDA为二面角PBCA的平面角，PDA45,BC面PAD,面PAD面ABC。作PO1AD于O1,则PO1面ABC。PO1O1D1,002,。1为4ABC的外心，三棱锥PABC为正三棱锥。设三棱锥PABC外接球的球心为O,半径为Ro2则

5、O在直线PO1上，且PO1POQA2OA2。CCC5.(R1)222R2,R5,二棱锥PABC的外接球的表面积为4R2250226.已知P为双曲线C：1上一点，F1、F2为双曲线C的左、右焦点，M、I分412别为PF1F2的重心、内心，若MIx轴，则PF1F2内切圆的半径为【答案】.6【解答】如图，不妨设点P在第一象限，D、E、F分别为。I与PF1F2三边相切的切点。(PE| EF2I) FFJ I EF21FiD| I F2D则由切线长定理以及双曲线定义，得2aPF1IIPF21(PFIIFF1)(Xdc)(cXd)2xdXD设 P(x0,y。)a 2 , XmXiXd 2。由M为PF1F2

6、重心，X0 3xm 6, y0 4庖I PF1 I J(6 4)2 (4、.6 0)2 14| PF2 I (6 4)2 (4 %6 0)2 10设PF1F2内切圆半径为r,则SA PF1F22( PF1PF2明|) r16r 。知巧另一方面,SA PF1 F2F1F216r16付ry01 8 4.62厌。16.67.在4ABC中，内角A、B、C所对的边分别是,L一A_.Ab、c,且sinCcos(2cosC)sin,223cosA3,a4,则AABC的面积为。5【答案】6【解答】由sinCcos公(2cosC)sin公，知2sinCcos2公2(2cosC)sincos022222sinC(

7、1cosA)(2cosC)sinA,sinCsinCcosA2sinAcosCsinA。A) 2sin A。sinCsinCcosAcosCsinA2sinA,sinCsin(CsinCsinB2sinA,即cb2a。又cosA3,54。42 b2 c2 2bccos A,即 42b2 (8 b)2 2b(8 b)33,解得b3或b5。53,或5ABC的面积S1bcsinA26。8.若关于x的方程x2axb3R)在区间1,2上有实根，则a2(b4)2的最小值为.【答案】【解答】_2a2由x2axb30知,2a2a(b4)2(x21,2,(b4)22/2a(x1)(x21axb1)22x2aax

8、(x23。1)22axa2)(x21)(x9.函数【答案】_2222ax(x1)ax22a)x1o3时，等号成立。(b4)2的最小值为2。f(x)2x7.12x44x的最大值为11由柯西不等式知,(、.2x7,12x,44x)2晨32x7J.12x、6.44x)2(3212x244x)6112。当且仅当3122x2x76)(2Tz644x即一92x_4712x3644xx8时等号成立。f(x)的最大值为11。10.A、B、uuu不重合)，若OC【答案】C为圆。上不同的三点，且AOBuiruuuOAOB(,1,2R),则如图，连结OC交AB于点Douuuuuuuur设ODmOC,则由OCuirO

9、AuurOB,120，点C在劣弧Ab内(点c与a、b的取值范围为uuuODuiruurmOAmOB。A、三点共线,不妨设圆的半径为1,作OEAB于E,由AOB120,知OEODOE1,且点C在劣弧AB内（点A、B不重合），1m1o于7H,12o2的取值范围为1,2。另解：如图，以O为原点，线段AB的垂直平分线所在直线为y轴建立直角坐标系不妨设圆O半径为2,则由AOB120,知人（J3,1）,B（J3,1）。设C（2cos,2sin）。uuuuururn则由OCOAOB,得（2cos,2sin）（曲，1）（逐，1）。2sino点c在劣弧Ab内（点c与a、b不重合），30150。1.，c.一sin

10、1,2sin1,2。2的取值范围为1,2。二、解答题(共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程)11.若数列an中的相邻两项an、an1是关于x的方程x2nxg0(n1,2,3,)的两个实根，且a11。(1)求数列an的通项公式；(2)设bnC2n1,求数列0的通项公式及0的前n项的和Tn。(必要时，可以利用：122232Ln2nlnb【解答】(1)依题意，由韦达定理，得anan1n,Cnanan11 ,即 an 2 an 1。 5 分，都是公差为1的等差数列。10分(an1an2)(anan1)(n1)n;a1,a3,a5,；和a2,a4，a6,又a11,a21a10。*一对k

11、N,a2k1k,a2kk1。，n为奇数即an2。n为偶数2(2)由(1)知，bnc2n 1 a2n 1 a2n2n112n22n(n1)nn。2215分Tn(1222 32 L n2) (1 2 3 Ln)n(n 1)(2n 1) n(n 1)62n(n1)(n1)320分2212.已知椭圆C：。与 a b条互相垂直的直线分别交椭圆于 A、B两点A、B与点P不重合)。求证：直线AB过定点,1(ab0)过点P(2,1),且离心率为-o过点P作两21,解彳3a2 6, b23。椭圆C的方程为易知直线AB斜率存在，设AB方程为ykx(2k2 设 A(x1kx m2 得yy- 13221)x 4mkx

12、 2my1)， Bd贝 x x24mk2k2 1，X1X22m2 62k2mo5分10分uir uur由 PA PB 知，PA PB 0。(X2)(x22) (%1)(y21)(x,2)诲 2) (kx1即(k21)x1 x2(km k2)(x1x2) m2 2m 5 0。m 1)(kx2 m 1) 0 ,(k2 1) 2-m-6 (km k 2) ( 4mk ) m2 2m 5 0 2k2 12k2 1._2_. 2_ 一3m 8mk 4k 2m 1 0 0(3m 2k 1)(m 2k 1) 0。由直线AB不过点P( 2,1),知m 2k 1 0O15分3m 2k 1 0, m21, ,21

13、2k 1,直线AB方程化为y kx -k 13333并求该定点的坐标 直线AB过定点D(3)。20分,a2b213.如图，PA、PBC分别是圆。的切线和割线，其中A为切点，M为切线PA的中点,弦AD、BC相交于点E,弦AB延长线上的点F,满足FBDFED求证：P、F、D三点共线的充分必要条件是 M、B、D三点共线设直线AB , DP交于点Fi o（第13题）则由塞瓦定理知,AM1 PFM1P FD又点F、Fi均在直线AB上，因此F、Fi重合。P、F、D三点共线。15分（2）若P、F、D三点共线设直线DB、AP相交于点MiEF/AP,空处，FDEDAM111,AM1M1P,M1PM、Mi重合。M

14、、B、D三点共线B、D三点共线由（i）、（2）可彳P、F、D三点共线的充分必要条件是M20分【解答二】由FBDFED知，B、F、D、E四点共圆。AFEBDE。由PA为圆O的切线知，BDEPAF。AFEBDEPAF。EF/AP05分(1)若M、B、D三点共线。连结BM、DP、DF0由M为切线PA的中点知，22MPMBMP2M1P M1A , M1P M1A0因此，M1为PA的中点，M、M1重合。 M、B、D三点共线。由(1)、(2)可彳P、F、D三点共线的充分必要条件是 M、B、D三点共线20分MA2MBMD,即。MDMP10分MPBszMDP。MDP MPB APB。又由B、F、D、E四点共圆

15、以及EF/AP知,MDFBDFBEFAPB。MDFMDP。P、F、D三点共线。(2)若P、F、D三点共线。设直线DB、AP相交于点Mi,则PDM1又PM1BDM1P,AM1PBsM1DP。2MPM1BM1Do215分FDB FEB M1PB o又M1AM1BM1D,14.已知a0,f(x)ln(2x1)2ax4aex4。(1)当a1时，求f(x)的最大值；(2)判断函数f(x)零点的个数，并说明理由【解答】(1)当a 1时，f (x)ln(2x 1) 2x2v4e 4 , f (x) 2 4e。2x 1x 1 时，f (x)24(2x 1)24ex一.1口刈在(1,)上为减函数。又f(0)22

16、40,1 一，x0时，f(x)0;x0时，f(x)0。2f(x)在区间-,0上为增函数，在0,上为减函数。2.a1时，f(x)的最大值为f(0)005分2x4x(2)f(x)2a4ae,f(x)24ae2x1(2x1)1 .当a0,且x时，f(x)0o21口刈在(1,)上为减函数。2:x1时，f(x);x时，f(x)。2.f(x)存在唯一实根，设此根为x。i1一，一，则一xx0时，f(x)0;xx0时，f(x)002f(x)在区间1 ,x0上为增函数，在x0,2上为减函数。f(x)有最大值f(x°)10分当a 1时，由(1)知,当0 a 1时，由f (0)f(x0) f(0) 4a

17、4f(x)有唯一零点。2 2a 4a 2 2a 0 知，x00o一1一又x-时，f(x);x时，f(x)2f (x)在区间(当 0a 1时,f(x)有两个零点。15分由 f (Xo)1时,由f (0)xo o2xo 12a4ae"o ,知 4aeXo2xo 12af (Xo) ln(2 Xo1)2 aXo4aeXo 4ln(2 Xo1)2aXo2Xo- 2a) 41设 g(X)ln(2X 1)x o时,ln(2Xo1)2aXo2Xo 12aXoo) oc22ax 2x 12a 4g(X) 2b2a(2xo,g(X)在区间1一，。上为增函数。2x o 时, 2g(x) g(o) 2 2a o于是,f (Xo)内各有一个零点。.a1时，f(x)不存在零点。综合得，当0a1时，f(x)有两个零点；当a1时，f(x)只有1个零点；当a1时,f(x)不存在零点。2。分定存在4个互不相同15.设a?,a3,a4，a§是5个正实数（可以相等）。证明:的下标i , j , k , l ,使得【解答】不妨设& a?曳 aja3akaia41-o2a5,考虑以下5个分数:ala3ala2a