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1、精选优质文档-倾情为你奉上武汉理工大学考试试题纸（ A 卷）课程名称 实变函数与泛函分析专业班级2006题号一二三四五六七八九十总分题分 备注: 学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题 一、选择题（每小题3分，共12分）1、设是闭区间中的无理点集，则（ ） ； ；是不可测集； 是闭集。2、设是可测集，是不可测集，则是（ ）可测集且测度为零； 可测集但测度未必为零；不可测集； 博雷尔(Borel)集。3、设，是上几乎处处有限的可测函数列，是上几乎处处有限的可测函数，则几乎处处收敛于是依测度收敛于的（ ）必要条件； 充分条件；充分必要条件； 无关条件。4、设是上的可测函数，则（ ）是上的

2、连续函数； 是上的勒贝格可积函数；是上的简单函数；可表示为一列简单函数的极限。二、填空题：（每小题3分，共分）1、设，如果的任何邻域中都含有的 点，则称是的聚点。2、设，若是有界 点集，则至少有一个聚点。3、设是上的可测函数，则是上的 函数。4、 设在上，依测度收敛于，则存在的子列，使得在上， 收敛于。5 康托集的测度是 6 n维欧氏空间Rn 的基数是 三、计算题与证明题（每小题10分，共70分）1、设，求 2、设E是函数 的图形上的点所作成的集合，在R2内讨论E 的导集,E的开核与E的闭包.3、 设是上的实值连续函数，是任意给定的实数，证明 是开集。4、 证明：由直线上某些互不相交的开区间作

3、为集合A的元素，则A至多为可数集。5、设为有理数集，用定义证明：A的外测度为零。6、 用定义证明：函数 是可测函数7、 (1）证明：中的所有实数构成一个不可数集。 （2）设为有理数集，证明是不可数集。武汉理工大学教务处 试题标准答案及评分标准用纸| 课程名称 实变函数与泛函分析 （ A 卷）| 一、A C B D (每小题3分)装 二、无穷，无穷，可测，几乎处处、0，c (每小题3分)| 三、1. =+=1/4 （按等式3分，7分，10分）| 2. E=E （3分）， (3分) （4分）| 3， 如果G 为空集合,则显然G为开集合 (3分)如果G 不为空集合, , 则,因为连续函数的保不等式性

4、, 则有 , 使得 >, (7分)所以, 故,x0 是内点,G是开集 (10分)| 4， 在每个开区间B可以取一个有理数 ra，B ra 3分 （有理数集） 7分 A= 最多是可数集。 10分钉 5， 设可数集为A= 对于任意， 对于，取一个区间，使得（ 区间长度为， 3分覆盖A 的区间长度之和为 （= 7分 由的任意性，可知 m*A=0 10分| 6 .14 E>= 可测 3分 E>=3.14,可测 5分 7分 <1, E>=0,1可测 10分 故函数可测| 7，（1） 反证法, 利用实数的正规表示. 假设(0,1)可数, (0,1)= 3分 =0. . 5分 可以找

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