偏微分方程数值解电子教案

1、.1.2.3学习和了解科学计算的桥梁学习和了解科学计算的桥梁.4偏微分方程数值解偏微分方程数值解 能够做什么？序言.5计算机解决实际问题的步骤计算机解决实际问题的步骤建立数学模型建立数学模型选择数值方法选择数值方法编写程序编写程序上机计算上机计算.6研究偏微分方程的研究偏微分方程的数值实现数值实现、分析分析和和有关理论有关理论基础与基础与软件实现。软件实现。.7F 连续系统的离散化连续系统的离散化F 离散性方程的数值求解离散性方程的数值求解 随着计算机软件硬件的不断更新和计算方法的迅速发展，科学计算科学计算与实验实验以及理论研究理论研究成为现代科学研究的三大主要手段。科学计算还能解决实验及理论

2、无法解决的问题，并由此发现一些新的物理现象，加深人们对物理机理的理解和认识，促进科学的发展。第一章第一章 引引 论论 本章主要引入微分方程的概念本章主要引入微分方程的概念及数值求解微分方程的意义及其数及数值求解微分方程的意义及其数值求解方法概述值求解方法概述. .1 1 微分方程微分方程 数学来源人类的社会生产活动。现代数学的产生数学来源人类的社会生产活动。现代数学的产生和发展与力学、物理学、天文学等应用学科的发展和发展与力学、物理学、天文学等应用学科的发展相辅相成的：它们为数学提出问题，而数学在解决相辅相成的：它们为数学提出问题，而数学在解决这些问题的过程中所获得的更广泛、更深刻的结果这些问

3、题的过程中所获得的更广泛、更深刻的结果反过来推动这些学科的发展。反过来推动这些学科的发展。 现实世界中绝大多数事物的内外联系是及其复现实世界中绝大多数事物的内外联系是及其复杂的，其状态随着时间、地点、条件的不同而不同，杂的，其状态随着时间、地点、条件的不同而不同，我们只能通过对问题进行简化和作某些假定，从中我们只能通过对问题进行简化和作某些假定，从中找出其状态和状态的变化规律之间的关系，也即一找出其状态和状态的变化规律之间的关系，也即一个或一些函数与它们的导数之间的关系，这种关系个或一些函数与它们的导数之间的关系，这种关系的数学表达就是的数学表达就是微分方程微分方程。.10一、偏微分方程简介：

4、1、偏微分方程：偏微分方程是指从物理问题中导出的反映客观物理量在各个地点、时刻之间相互制约关系的一些偏微分方程。偏微分方程分为线性和非线性，这一篇主要讨论二阶线性方程。2、发展史：(1)十八世纪初, Taylor:(2)十九世纪中期，三类偏微分方程：(3)十九世纪末到二十世纪初，其它方程： 高阶方程： KDV方程： 薛定厄方程：fuau22t fu2 fuauxx2tt fuau22tt fuauxxxx2tt 0uuuuxxxxt U(r)2ti22 )()()(),( ,),(,),(,),( xudxxduxxuuxuifztzyxuzuytzyxuuttzyxuuxzzyt)1(),(

5、 22222yxgfuyuexudyucxyubxua 考考虑虑二二阶阶偏偏微微分分方方程程下下偏偏微微分分方方程程的的分分类类。为为例例，简简单单回回顾顾一一以以线线性性二二阶阶偏偏微微分分方方程程注意注意.)1(, )1(,是是拟拟线线性性的的的的函函数数，称称方方程程和和是是和和如如果果系系数数是是线线性性的的。的的函函数数，即即方方程程和和设设为为和和其其中中系系数数yuxuuyxcbayxfedcba ),(.40),(),(,),()1(22222000000 uuuhuuacbyxyxyx 标标准准型型是是二二阶阶双双曲曲型型方方程程的的，其其中中处处如如果果在在点点处处是是双双

6、曲曲型型的的在在点点方方程程),(0),(),(,),()1(2222000000 uuuhuuyxyxyx 准准型型是是，二二阶阶椭椭圆圆型型方方程程的的标标处处如如果果在在点点处处是是椭椭圆圆型型的的在在点点方方程程),(0),(),(,),()1(22000000 uuuhuyxyxyx 准准型型是是，二二阶阶抛抛物物型型方方程程的的标标处处如如果果在在点点处处是是抛抛物物型型的的在在点点方方程程.13四、建立方程的步骤：当确定了研究的是那一类物理量时，建立方程的步骤为：1、划分出一小块，考虑其与邻近部分的关系；2、根据物理学规律，表示出此关系；如：牛顿运动定律、能量守恒定律、麦克斯韦方

7、程等。3、化简、整理，即得偏微分方程。xx2tuau fuuyyxx xx2ttuau 这里主要讨论三类方程，弦振动方程、热传导方程、泊松方程。此三类方程并不包括所有物理问题，如：量子力学中的薛定谔方程，KDV方程等。uuuyyxx2 .147.1 一维波动方程的建立物理分析：物理分析： 弦振动属于机械振动弦振动属于机械振动, 基本规律是牛顿的质点力学基本规律是牛顿的质点力学f=ma. 弦不是质点弦不是质点, 但可以把整个弦细分为许多小段但可以把整个弦细分为许多小段, 每一小段可以看每一小段可以看 作质点作质点. 研究对象取为其中任一小段研究对象取为其中任一小段B (x处的处的dx一小段一小段

8、). 柔软弦的微小横振动柔软弦的微小横振动: 柔软弦柔软弦(不是固体杆，杆对弯曲有抵抗不是固体杆，杆对弯曲有抵抗), 张张 力沿弦的切向力沿弦的切向,平行于截面的应力为零平行于截面的应力为零. 仅横向振动仅横向振动,无纵向振动无纵向振动. 均匀细弦均匀细弦: 与外力、张力相比与外力、张力相比, 重量不计重量不计, 线密度线密度 。 设垂直于设垂直于X轴向上外力的线密度是轴向上外力的线密度是F, dx受外力为受外力为Fdx。1. 1. 弦的横振动方程弦的横振动方程一拉紧的细弦，其横向运动情况。一拉紧的细弦，其横向运动情况。 X轴：弦的平衡位置轴：弦的平衡位置u(x,t)：弦上：弦上x点在点在t时

9、刻的位移时刻的位移如图所示如图所示,ux )(xFl0B ttudxFdxTTyTTx)(sinsin:0coscos:11221122 T21 2 uxx+dxxT1BACFdxxxxxxutgutguxutgtgtg1100 |sin,|sin sin sincoscos 221122112121 ，即即为为斜斜率率而而，由由于于微微小小横横振振动动：)(,|1)(|:0:22121212次项的理解次项的理解作为非齐次方程的非齐作为非齐次方程的非齐单位质量上受的外力，单位质量上受的外力，其中其中 FfTafuauuFdxuTuTudxFdxuTuTyTTxxxttttxxdxxxttxxd

10、xxx 这个方程不仅仅可以描述上述物理过程，也可以用来描述这个方程不仅仅可以描述上述物理过程，也可以用来描述管道气体小扰动的传播、电报方程、均匀杆的纵振动、均管道气体小扰动的传播、电报方程、均匀杆的纵振动、均匀薄膜的微小横振动（二维）、电磁方程（三维）等。匀薄膜的微小横振动（二维）、电磁方程（三维）等。2 2定解问题定解问题满足方程的函数满足方程的函数u(x,t)称为方程的解，对于微分方程，仅仅有方程称为方程的解，对于微分方程，仅仅有方程还不够。无论从数学上，还是物理上都可以来理解。需要有变量还不够。无论从数学上，还是物理上都可以来理解。需要有变量的初始条件。的初始条件。如牛顿力学方程如牛顿力

11、学方程 ,是位移的时间二次导数方程，若要求是位移的时间二次导数方程，若要求解以后的位移情况，需要知道某个时刻（初始时刻）的位移、速解以后的位移情况，需要知道某个时刻（初始时刻）的位移、速度（位移一阶导数）。度（位移一阶导数）。对于具体的上述弦振动方程（称为泛定方程），对于具体的上述弦振动方程（称为泛定方程），x,t有其确定的物有其确定的物理意义，为空间、时间。理意义，为空间、时间。定定解解条条件件初初始始条条件件初初值值条条件件时时的的位位置置、速速度度为为：设设边边界界条条件件边边值值条条件件两两端端固固定定， )( )(),()(),()( ),(),( x0 xux0 xu0t0tlu0

12、t0ut 定解问题定解问题= =泛定方程泛定方程+ +定解条件定解条件定解问题：边值问题，初值问题（定解问题：边值问题，初值问题（Cauchy问题或无边界问题）问题或无边界问题）， 混合问题。混合问题。xmmaf 称自由边界条件。称自由边界条件。若若件。件。为零，称为奇次边界条为零，称为奇次边界条，若若也有）也有）为例，对为例，对（以（以弹性体受外力弹性体受外力端点所受外力端点所受外力端点的运动规律端点的运动规律第三边界条件：第三边界条件：第二边界条件：第二边界条件：第一边界条件：第一边界条件：三类边值条件：三类边值条件：0,t)0(u(t)(t)(t)lx0 xTu(t),t)0hu(,t)

13、0(u(t),t)0(u(t),t)0u(xxxx )( 2 2 数值求解微分方程的意义数值求解微分方程的意义 如果能找到一个（或一族）具有所要求阶连续导数的解如果能找到一个（或一族）具有所要求阶连续导数的解析函数，将它代入微分方程（组）中，恰好使得方程（组）析函数，将它代入微分方程（组）中，恰好使得方程（组）的所有条件都得到满足，我们就将它称为这个方程（组）的的所有条件都得到满足，我们就将它称为这个方程（组）的解析解（也称古典解）。解析解（也称古典解）。“微分方程的真解微分方程的真解”或或“微分方程微分方程的解的解”就是指解析解。寻找解析解的过程称为求解微分方程。就是指解析解。寻找解析解的过

14、程称为求解微分方程。 微分方程的解在数学意义上的存在性可以在非常一般的微分方程的解在数学意义上的存在性可以在非常一般的条件下得到证明，这已有许多重要的结论。但从实际上讲，条件下得到证明，这已有许多重要的结论。但从实际上讲，人们需要并不是解在数学中的存在性，而是关心某个定义范人们需要并不是解在数学中的存在性，而是关心某个定义范围内，对应某些特定的自变量的解的取值或是近似值围内，对应某些特定的自变量的解的取值或是近似值- -这样这样一组数值称为这个微分方程在该范围内的数值解，寻找数值一组数值称为这个微分方程在该范围内的数值解，寻找数值解的过程称为数值求解微分方程。解的过程称为数值求解微分方程。2

15、2 为什么要研究数值求解方法呢？为什么要研究数值求解方法呢？ 1 1）在实际问题中我们所能获取的或感兴）在实际问题中我们所能获取的或感兴趣的，往往只是一个特定点上的数据。如空间趣的，往往只是一个特定点上的数据。如空间的温度分布只能一个点一个点地测定，火箭升的温度分布只能一个点一个点地测定，火箭升空传回的控制信息只能以某个确定的时间为间空传回的控制信息只能以某个确定的时间为间隔，一个个地发送和接受，如此等等。这些离隔，一个个地发送和接受，如此等等。这些离散点上的函数值对于解决实际问题，已经足够散点上的函数值对于解决实际问题，已经足够了，寻找解析解的一般形式未必必要了，寻找解析解的一般形式未必必要

16、。2）在很多情况下，寻找解析解也并无可能。）在很多情况下，寻找解析解也并无可能。现实问题中归结的微分方程不满足解析解的现实问题中归结的微分方程不满足解析解的存在条件的比比皆是，方程中出现的有些函存在条件的比比皆是，方程中出现的有些函数连续性都无法保证，它们并不存在前述意数连续性都无法保证，它们并不存在前述意义的解析解。于是，求数值解便成了在这种义的解析解。于是，求数值解便成了在这种情况下解决问题的重要手段了。情况下解决问题的重要手段了。3）即使微分方程的解析解存在，以并不意味）即使微分方程的解析解存在，以并不意味可以将它表示为初等函数，如多项式、对数函可以将它表示为初等函数，如多项式、对数函数

17、、指数函数三角函数及它们的不定积分的有数、指数函数三角函数及它们的不定积分的有限组合形式限组合形式显式解。显式解。事实上，有显式解的微分方程只占解析解存在事实上，有显式解的微分方程只占解析解存在的微分方程中的非常小的一部分。的微分方程中的非常小的一部分。 ttdeetu022)(0,u(0) 2tu-1u )4 它它的的解解可可以以表表示示成成例例如如对对于于方方程程方方法法来来解解呢呢？值值么么不不一一开开始始直直接接使使用用数数计计算算。既既然然如如此此，为为什什需需要要用用插插值值等等方方法法来来数数值值去去计计算算一一积积分分值值，还还是是必必须须用用时时刻刻的的值值因因此此要要确确定

18、定在在某某个个函函数数表表示示的的，的的原原函函数数是是无无法法用用初初等等我我们们知知道道202)(,00txetute 3 3 数值求解方法概述数值求解方法概述1 1）区域剖分区域剖分 把整个定义域分成若干个小块，以便对每把整个定义域分成若干个小块，以便对每小块上的点或片求出近似值，这样按一定规律小块上的点或片求出近似值，这样按一定规律对定义域分切的过程称为区域剖分。对定义域分切的过程称为区域剖分。2 2）微分方程的离散微分方程的离散 区域剖分完毕后，依据原来的微分方程去区域剖分完毕后，依据原来的微分方程去形成关于这些离散点或片的函数值的递推公式形成关于这些离散点或片的函数值的递推公式或方

19、程。这是它们的未知量已不是一个连续函或方程。这是它们的未知量已不是一个连续函数，而成了若干个离散的未知值的某种组合了，数，而成了若干个离散的未知值的某种组合了，这个步骤称为微分方程离散。这个步骤称为微分方程离散。3 3）初始和边界条件处理初始和边界条件处理 离散后系统是一个递推公式，那它需要若离散后系统是一个递推公式，那它需要若干个初值才能启动。若是一个方程组，那它所干个初值才能启动。若是一个方程组，那它所含的方程个数一般少于未知量的个数，要想求含的方程个数一般少于未知量的个数，要想求解还需要补充若干个方程。这些需要补充的初解还需要补充若干个方程。这些需要补充的初值和方程往往可以通过微分方程的

20、初始条件和值和方程往往可以通过微分方程的初始条件和边界条件来得到，这就是初始和边界条件处理边界条件来得到，这就是初始和边界条件处理过程。过程。 初始和边界条件处理初始和边界条件处理4 4）离散系统的性态研究）离散系统的性态研究 我们主要研究：这个系统是否可解，即解我们主要研究：这个系统是否可解，即解的存在性、唯一性问题；它与精确解的差距有的存在性、唯一性问题；它与精确解的差距有多大，这个差距当区域剖分的尺寸趋于零时，多大，这个差距当区域剖分的尺寸趋于零时，是否也会趋于零，趋于零的速度多快，即解的是否也会趋于零，趋于零的速度多快，即解的收敛性和收敛速度问题；当外界对数据有所干收敛性和收敛速度问题

21、；当外界对数据有所干扰时，所得的解是否会严重背离离散系统的固扰时，所得的解是否会严重背离离散系统的固有的解，即解的稳定性问题。有的解，即解的稳定性问题。离散系统的性态研究离散系统的性态研究上述问题说道底是一个上述问题说道底是一个误差分析误差分析问题，因为如果问题，因为如果从实际问题到得出数值解的每一步都没有任何的从实际问题到得出数值解的每一步都没有任何的话（当然，这是不可能的），那么数值解就应该话（当然，这是不可能的），那么数值解就应该是离散点上的精确值，也就不用煞费苦心去讨论是离散点上的精确值，也就不用煞费苦心去讨论上面的问题了。上面的问题了。.271、模型误差模型误差2、观测误差、观测误差

22、3、截断误差截断误差4、舍入误差舍入误差1 1）模型误差模型误差 在将实际问题归结为数学模型时需要对问在将实际问题归结为数学模型时需要对问题作一定的简化和假设，由此产生的误差叫模题作一定的简化和假设，由此产生的误差叫模型误差。型误差。2 2）观测误差观测误差 数学模型中需要用到的一些系数，初值等数学模型中需要用到的一些系数，初值等常数来自于测量仪器或统计资料，由于客观条常数来自于测量仪器或统计资料，由于客观条件和仪器精度的限制不可避免有误差，这被称件和仪器精度的限制不可避免有误差，这被称为观测误差。为观测误差。3 3）截断误差截断误差 将数学模型离散化时由于舍弃一些次要的将数学模型离散化时由于舍弃一些次要的项而导致的模型问题真解与离散问题真解的误项而导致的模型问题真解与离散问题真解的误差称为截断误差。差称为截断误差。4 4）舍入误差舍入误差 在上机实际计算中，由于计算机对所运在上机实际计算中，由于计算机对所运算的对象按计算机字长四舍五入而产生的最终算的对象按计算机字长四舍五入而产生的最终计算解与离散问题真解的误差是舍入误差。计算解与离散问题真解的误差是舍入误差。* 本书主要研究截断误差。一般来说，一个可用方法的截断误差不应该超过模型误差和观测误差最后，我们可以将离散系统送到计算机上去实际计算了。.31数值求解微分方程过程示意数值求