立体几何所有公式,定理,公立,结论及其几何表示(全面版)资料

1、立体几何所有公式，定理，公立，结论及其几何表示（全面版）资料直线、平面、简单几何体空间的直线与平面平面的基本性质：知识点图形表示文字描述符号表达平行公理过直线外一点有且只有一 条直线和这条直线平行。A a 过A有且只有一 条直线b,使得b/ a公理1/如果一条直线的两点在一 个平面内，那么这条直线上 的所有点都在这个平面内。A,BAB公理2如果两个平面有一个公共 点，那么它们还有其他的公 共点，这些公共点的集合是 一条直线。Al,且 Al公理3r经过不在同一条直线上的 三点有且只有一个平面。不共线三点确定一个平面公理4平行于冋一条直线的的两 条直线互相平行。a/b,b/ca/ c推论1/ /经

2、过一条直线和直线外的 一点有且只有一个平面直线和直线外一点确定一个平面推论2经过两条相交直线有且只 有一个平面两相交直线确定一个平面推论3/ /经过两条平行直线有且只 有一个平面两平行直线确定一个平面空间图形 的直观图 画法斜二测画法等角定理如果一个角的两边和另一 个角的两边分别平行并且方 向相同,那么这两个角相等。ABC和 EFG中，边BA/FE且方向相同，边 BC/FG且方向相同，贝UABC = EFG异面直线 的定义不同在任何一个平面的内 的两条直线叫做异面直线。异面直线 的判定定 理连结平面内与平面外一点 的直线，和这个平面内不经 过此点的直线是异面直线。a, A, A a ；B, A

3、B与a是异面直线异面直线 所成的角a与b是异面直线，a'b'且a与b'相交，则a与b'的 夹角就是a与b异面直线所成的角。二平行：线面平行（一）三者之间的互相转化：“线线平行面面平行线面平行 的判定定 理如果不在同一个平面内的 一条直线和平面内的一条 直线平行，那么这条直线和a, b, a/ ba/这个平行平行。线面平行 的性质定 理如果一条直线和一个平面 平行，经过这条直线的平面 和这个平面相交，那么这条 直线和交线平行。a/ , a,ba b面面平行 的判定定 理如果一个平面内有两条相 交直线分别平行于另外一 个平面，那么这两个平面平 行。a, b,a b

4、A；且 a/ ,b/面面平行 的判定定 理的推论如果一个平面内有两条相 交直线分别平行于另一个 平面内的两条直线，那么这 两个平面平行。a, b,a b A ；且 a',b'；且 a/a'，b/b'/面面平行 的性质定理如果两个平行平面同时与 第三个平面相交，那么它们 的交线平行。/ ,aa/面面平行 的性质如果两个平面平行，那么其 中一个平面内的任何一条 直线必平行于另一个平面/ ,a,b a/b（二）平行中的“存在性 与 唯一性过直线外一点作该直线的平行线有且只有一条。过平面外一点作该平面的平行平面有且只有一条。过异面直线中的一条作另一条直线的平行平面有且只

5、有一个。分别过两条异面直线中的一条作另一条的平行平面，那么这两个 平行平面是存在且唯一的。（三）平行传递性:平行于冋一直线的两直线平行。a/b,b/c a/c平行于冋一平面的两平面平行。/ , / /一条直线与一平面冋时平行于另 一平面，则该直线与另一平面平 仃或在另一平面内。a/ , /a/ ,或a若一直线与一平面冋时平行与另 一直线，则另一直线与该平面平 行或在该平面内。a/b,b/a/ ,或a弋也第十九讲平面几何中的几个著名定理几何学起源于土地测量，几千年来，人们对几何 学进行了深入的研究，现已发展成为一门具有严密的 逻辑体系的数学分支人们从少量的公理出发，经过 演绎推理得到不少结论，这

6、些结论一般就称为定理.平 面几何中有不少定理，除了教科书中所阐述的一些定 理外，还有许多著名的定理，以这些定理为基础，可 以推出不少几何事实，得到完美的结论，以至巧妙而 简捷地解决不少问题而这些定理的证明本身，给我 们许多有价值的数学思想方法，对开阔眼界、活跃思 维都颇为有益有些定理的证明方法及其引伸出的结 论体现了数学的美，使人们感到对这些定理的理解也 可以看作是一种享受下面我们来介绍一些著名的定 理.1 梅内劳斯定理亚历山大里亚的梅内劳斯（Menelaus,约公元100 年，他和斯巴达的Menelaus是两个人）曾著球面论， 着重讨论球面三角形的几何性质.以他的名子命名的“梅内劳斯定理”现

7、载在初等几何和射影几何的书中， 是证明点共线的重要定理.定理一直线与厶ABC的三边AB，BC，CA或延 长线分别相交于X，丫，Z,贝UYC ZA证 过A，B，C分别作直线XZY的垂线，设垂足 分别为Q，P，S,见图3-98.由厶AXQ BXP得E j *同理将这三式相乘，得BY .BP_ csYCcsZAAX _ AQ31K 说明如果直线与 ABC的边都不相交，而相 交在延长线上，同样可证得上述结论，但一定要有交 点，且交点不在顶点上，否则定理的结论中的分母出 现零，分子也出现零，这时定理的结论应改为AX X BY X CZ=XB X YC X ZA，仍然成立.(2)梅内劳斯定理的逆定理也成立

8、，即“在厶 ABC 的边AB和AC上分别取点X，Z,在BC的延长线上取点 丫，如果KE YC ZA那么X，丫，Z共线” 梅内劳斯定理的逆定理常被用 来证明三点共线.例1已知 ABC的内角/ B和/ C的平分线分别 为BE和CF，Z A的外角平分线与BC的延长线相交于 D，求证：D，E，F共线.证如图3 -99有AJCfi.BC'AEFCBBCB- EAAB '相乘后得例2（戴沙格定理）在厶ABC和厶A ' B ' C'中, 若AA BB CC '相交于一点S,J则AB与A ' B ' BC与B ' C', AC与A

9、 ' C'的交点F, D , E共线.1Q 3'1证 如图3- 100,直线FA ' B '截厶SAB，由梅 内劳斯定理有SA7" AF ： EE/A'A PE_同理，直线EC ' A '和DC ' B '分别截 SAC和厶 SBC,得A3 OC' Ek SB/x ED y CCf _KB DC 丽一.将这三式相乘得FIL 卫 EA JL所以D, E, F共线.2 塞瓦定理意大利数学家塞瓦（G. Ceva）在 1678年发表了下面 的十分有用的定理，它是证明共点线的重要定理.定理 在厶ABC内任取

10、一点P,直线AP, BP, CP 分别与边BC, CA , AB相交于D, E, F,贝U证 如图3101,过B, C分别作直线AP的垂线, 设垂足为H和K，则由于 BHDCKD，所以ED EH同理可证将这三式相乘得曲、Cf A?DC kA ' FB说明 如果P点在 ABC外，同样可证得上述 结论，但P点不能在直线AB，BC，CA上，否则，定理 的结论中的分母出现零，分子也出现零，这时，定理 的结论应改为BD X CEX AF=DC X EAX FB,仍然成立.(2)塞瓦定理的逆定理也成立，即“在厶 ABC的边 BC，CA，AB上分别取点D，E，F,如果 ,DC Ea PE '

11、那么直线AD，BE，CF相交于同一点.证 如图3- 102,设AD和BE相交于P,作直线CP, 交直线AB于F',由塞瓦定理得匹二牯竺"D'? JiA 卩出由中联升越听以AF- AF丽'由S沁得斗驴-罠;巴即F爭F0肛.A>I吊耐所以 F' B=FB,即F'与F重合，所以AD , BE, CF相交于同一点.塞瓦定理的逆定理常被用来证明三线共点.例3求证：三角形的三条中线、三条内角平分线 和三条高所在的直线分别相交于同一点.证 如果D, E, F分别是 ABC的边BC, CA, AB的中点，贝UBD CE AF ED CE AfDC Ea

12、F£ B£ Ct AJ由塞瓦定理的逆定理得中线AD , BE, CF共点.如果D, E, F分别是 ABC的内角平分线AD , BE, CF与边BC , CA , AB的交点，贝UDC Jia PE AC JIA K?'由塞瓦定理的逆定理得角平分线 AD , BE , CF共点.(3)设D , E , F分别是 ABC的高AD, BE , CF的 垂足.JAm 3-(B(i) 当厶ABC是锐角三角形时(如图3- 103), D, E, F分别在BC, CA , AB上，有BD=ccosB, DC=bcosC, CE=acoscEA=ccosA, AF=bcosA ,

13、 FB=acosB, 所以DC Ek EB bc&ECacosCc cosAbc*3 A由塞瓦定理的逆定理得高AD , BE, CF共点.(ii) 当厶ABC是钝角三角形时，有BD=ccosB, DC=bcosC, CE=acosC,EA=ccos(180° -A)=-ccosA,AF=bcos(180° -A)=-bcosA,FB=acosB,所以BD CE、. AF c casB ac&aC -DC EA由塞瓦定理的逆定理，得高AD , BE, CF共点.(iii) 当厶ABC是直角三角形时，高AD , BE, CF都 经过直角顶点，所以它们共点.例4在

14、三角形ABC的边上向外作正方形,Ai ,Bi , Ci是正方形的边BC , CA , AB的对边的中点,证明：直线AAi , BBi , CCi相交于一点.阳 J-LW证 如图3-i04.设直线AAi , BBi, CCi与边BC ,CA , AB的交点分别为A2 , B2 , C2 ,那么BA2： A2C等于从点B和C到边AAi的垂线的长度之比，即BAAE' * BAj * sm NABAi忑-g诚入紀,0十斬厶*AB , znfNB+E眄AC anfZE h Zlf)其中/B =Z CBA1=Z BCA1.同理EJL ' Afi bbZA +Zfl)ACj AC , io【

15、厶 + 么)CjS 昶”纲厶)将上述二式相乘得E 一企.A3C 2jA ©3根据塞瓦定理的逆定理，得AA1，BB1，CC1共点.3 斯台沃特定理S > La定理 ABC的边BC上任取一点D，若BD=u，DC=v，AD=t，贝U7 b3U + GJVI 11 亿a证 过A作AE丄BC，E为垂足(如图3 - 105)，设DE=x，则有AE2=b2-(v-x)2=c2-(u+x)2=t2-x2，(若E在BC的延长线上，则v-x换成x-v.)于是得I1 >b3 -w1 *2ax,? - J - 2w.消去x得(u+v)2=b2u+c2v-uv(u+v)，na - £占1

16、亡-J *这就是中线长公式.当AD是厶ABC的内角平分线时，由三角形的内 角平分线的性质bc(Ltc)f 7<b * c?若设AD=ha，则bc(b + c 4 a)(b 4- c - a.)设a+b+c=2p，得这就是内角平分线长公式.(3)当AD是厶ABC的高时，AD2=b2-u2=c2-v2.再由u+v=a，解得h. -J-；2pV+2ba? + 2t3aa-fe, -t这就是三角形的高线长公式.当D在BC的延长线上时, 用-v代替V，同样可得高线长线公式.何由升5-“让.E得氐耐-扌J卅b" +卅 J +_ J f u*.这就是三角形的面积公式.伦公式皆血-Jp m -

17、可也-町邛t>-E j I jo例5 如图3- 106.在厶ABC中，c>b, AD是厶ABC的角平分线，E在BC上, BE=CD .求证:因为AD是角平分线，所以UC H "V C M b対b " ift -* b '于是-AJJ4-b3) -Ct ba.c * &4.托勒密定理托勒密（Ptolemy,约公元85165年）是古代天文学 的集大成者.一般几何教科书中的“托勒密定理”（圆 内接四边形的对边积之和等于对角线之积），实出自依 巴谷（Hipparchus）之手，托勒密只是从他的书中摘出。 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列 的

18、三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基 本性质.定理 如果四边形内接于圆，那么它的两对对边的乘积之和等于它的对角线的乘积.SI证 设四边形ABCD有外接圆O, AC和BD相交于 P, / CPD=a （图3- 107）.若四边形ABCD的四边都相 等，则四边形ABCD为圆内接菱形，即正方形，结论 显然成立.若四边不全相等，不失一般性，设/ BD，于是 ABD EDB，从而 AD=BE .4acxbdx aaai*又E叭A科皿-'PE X EC + DE X CD） sda ZEBC.而 S四边形ABCD=S四边形BCDE，所以=y ed x gg£即（AD x BC+A

19、B x CD）si n / EBC=AC x BD x sin a.由于Za =Z DAC+ / ADB= / DBC+ / EBD= / EBC，所以AD x BC+AB x CD=AC x BD .说明（1）托勒密定理可以作如下推广：“在凸四边形ABCD中，AB x CD+AD x BC> AC x BD .当且仅当四边形ABCD是圆内接四边形时，等号成立.由此可知，托勒密定理的逆定理也成立.托勒密定理的证明方法很多，这里采用的是面 积证法.还可采用相似三角形或余弦定理证明，请读者自行完成.例6如图3- 108.过A的圆截平行四边形ABCD 的边和对角线分别于P, Q, R,求证：A

20、P X AB+AQ X AD=AR X AC .证 连结PQ, PR, QR在圆内接四边形APRQ中, 由托勒密定理得AP X QR+AQ X PR=AR X PQ.又因为/仁/2,Z 3=7 4,所以 PQRsA CAB，于 是设上面的比值为k,并考虑到BC=AD，有QR=k AB , PR=k AD , PQ=k CA，于是可推 得AP X AB+AQ X AD=AR X AC .例7 如图3- 109.等边 ABC内接于 XYZ , A 在YZ上, B在ZX上, C在XY上，证明：且说朗式至否可能啊等，证 对四边形ABXC运用托勒密定理，得AX BC < BX AC+XC AB ,

21、所以AX < BX+XC .同样地BY < CY+YA , CZ < AZ+ZB .将上述三式相加就得所要证明的不等式.等号成立的充分必要条件是X , 丫 , Z在厶ABC的 外接圆上，但7 ZBX ,7 XCY ,7 YAZ都等于n,因 此等号成立只能是X , 丫 , Z分别与C , A , B重合的情 况.平面几何中的著名定理，除了上述所介绍的梅内 劳斯定理、塞瓦定理、斯台沃特定理、托勒密定理外， 还有斯泰纳-莱默斯定理、西姆松定理、蝴蝶定理、莫 莱定理等等.这里，限于篇幅，因此不作讨论.练习十九1.已知 ABC的内角/ B和/C的平分线分别为 BE和CF,Z A的外角平

22、分线与BC的延长线相交于 D .求证：D, E, F共线.2 .过 ABC的三个顶点A , B , C分别作 ABC 的外接圆的切线，分别和BC, CA , AB的延长线交于 D, E, F.求证：D, E, F三点共线.3. 在厶ABC的边BC上任取一点D,设/ ADB和/ ADC的角平分线分别交AB , AC于F和E.求证：AD , BE, CF相交于同一点.4. 在梯形 ABCD 中, AB / DC, AD 丄BD , DC=3, BC=7, DA=8 , 求 AB , BD 和AC 的长.&艮在正万散AlB的外尊El貳工忑上.茶址， PA(PA+PC)=PB(PB+PD).6

23、.设P是等边三角形ABC所在平面上的任意一点, 那么根据P落互或稀在外駅的亚& t.巒直PC+PA=PB 或 PC+PA> PB.raA«tK«e»aimtt穴KV- fLATQYtmt. IM刖 t* WH"IIM BMBM»"”“me sa, ttewaVite 歼 «5H« R>h>9UY >r-7Wi -Ml 19 *ARR*-< U Mr«1T «V4«« VW. WlK«>XMa«<&

24、UAMbttTftMft «OC»IO* «S 十RWhtr«WTE 如'mn AVA Rvm R MT 人* W羽*« .“ w«9»canQM <-AAAMH Ld »« 9血甘黑冷" 畀 bk'iwI I.J4ARaRV «4J4R<a4A»»< Mannstttl M4. MMB tSWl AA HMtMhn AH>»:l VCM fltr 啣K；BrXCjM«4A 4A<A 4dM<A

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31、M U F *1. . AJ2 U. l-UlV-_JmAMNS AMPSANPAMzANy, 22 2得PAzAM AN b cyzy MN MN a a 1O 2CO 3B M ca同理PBxz,b b a b PCyxc c P N C b c a c b a 相力口PAPB PC(x (y(z2( x yz .c bc aa b 4O取等号a bc, O取等号APMN .其中O习题五一.选择题1.在四边形A1 A2 A3 A4 的对角线A1 A3 的延长线上取一占八、C ,过C作两条直ACB ，得 AM AC b AN AB c.MN CB a MN CB a A 1 1 1 又 MN

32、 AP S线分别与 A1 A2 , A2 A3 , A3 A4 , A4 A1 交于点 B1 , B2 , B3 , B4 , 记 M A1 B1 A2 B2A3 B3 A4 B4贝U M 的值适合 (B1 A2 B2 A3 B3 A3 B4 A1)(A) M1 A1(B)M1(C)M1(D )不能确定 A B4 B1 B3 A3 C B A4A2 B2P第二题图C第一题图2.如图所示，在不等式ABC内取一点P（不是内心）连接PA,PB, PC ,把角A, B, C分为，。记 MsinsinsinN sinsinsin，则M , N的关系适合（A）MN (B)MN(C)MN (D)不能确定)记

33、 MABCD BC AD, NACBD则M , N的关3.若 A, B, C , D为一直线上依次排列的四点，系适合（）（B）MN (C)MN(D)不能确定）(A) MN 4.已知P为矩形 ABCD内任一点，记MPA2PC2,NPB2PD2 ，贝UM , N的关系适合（A） MN （B） MN(C)MN 57(D：）不能确定奥林匹克与自主招生第五讲 平面几何的著名定理主编：贾广素 二.填空题1如图所示，有 AB DF DE2,贝U BC FB EC . D E F A B C B F A E D C 第一题图第二题图 2.ABC 的三个旁切圆分别与边BC , CA, AB 相切于 D, E ,

34、 F，贝U AF BD CEFB DCEA . m. 3.已知三角形的 3边长之比为 9 :10 :17 ,它的面积是 144m 2 ,则三角形的最长边 为4.在边长为 AB 5, BC 4, CA 3的三角形中，角 A的平分线的长为 .三. （三角 形的Euler线） ABC的重心 G,垂心H和外心 0共线，并且 GH=2G0.四.（首届东 南地区奥林匹克）设D是 ABC的边BC上的一点，点 P在线段 AD上，过点 D作一直线分别与线段 AB、PB交于点 M、E,与线段 AC、PC的延长线交于点F、N。女口果DE=DF，求证：DM=DN 五.（2006年浙江集训试题如图，已知 ABC 的外角

35、/ EAC的平分 线与厶ABC的外接圆交于点 D，以CD为直径的圆分别交 BC , CA于点P、Q,求证：线 段PQ平分 ABC的周长。 A Q E D B P E C 六.如图，四边形 ABCD 内接于圆，AB , DCR， S.延长线交于 E，AD 、 BC 延长线交于 F， P 为圆上任意一点， PE， PF 分别交圆于若 对角线 AC 与 BD 相交于 T. 求证： R，T，S 三点共线。 B R C T D P S F A 58空间点、直线、平面之间的位置关系一.基础知识：1公理1:如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面 内。公理2:如果两个平面有一个

36、公共点，那么它们有且只有一条过该点的直线。（此定理常用来判断空间三线共点。）公理3 :不共线的3点确定一个平面。推论1： 一条直线和直线外一点确定一个平面。推论2:两条相交直线确定一个平面推论3:两条平行直线确定一个平面2. 平行公理：平行于同一直线的两直线互相平行，它反应了平行线的传递性。注意：相交 线和异面直线没有传递性。3、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。当一边平行且方向相同而另一边的方向相反时，这两个角互补。可推广到空间：如果一个二面角的两个半平面和另一个二面角的两个半平面分别平行并且方向相同，那么这两个二面角相等。当一个半平面平行且方

37、向相同而另一个半平面的方向相反时，这两个二面角互补。但注意：如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补。 不可推广到空间：如果一个二面角的两个半平面和另一个二面角的两个半平面分别垂直，那么这两个二面角相等或互补。4、空间直线的位置关系：（1）相交直线：有且只有一个公共点。（2）平行直线：在同一平面内，没有公共点。（3）异面直线：不在 任何一个平面内，也没有公共点。两条异面直线 的作图，常借助于辅助平面。异面直线的判定：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。异面直线所成的角（或夹角）的定义与求法：直线a,b是异面直线，经过空间一点 0,分别引直

38、线a'/ a ,/ b,相交直线a，, b /所成的锐角（直角）叫异面直线 a,b所成的角 0,，求异面直线的夹角常用平移法和向量法。F,已知 AB为公垂线段，长度为 d,BE = m,AF=n,EF=l 则 I = . d2 m2 n2mnCos （同侧为减，异侧为加）5、 直线与平面的位置关系：1）直线在平面内，2）直线与平面相交，3）直线与平面平行，其中直线与平面相交、直线与平面平行都叫作直线在平面外。6. 直线与平面平行：（1）直线与平面平行定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，则这条直线与这个平面 平行。（2）直线与平面平行的判定：如果平面内一条直线和这个平面平面平行，那么

39、这条直线和这个平面平行。简称为“线线平行，则线面平行。”判定直线与平面平行的方法还有：1 ） 面 面，aa , 2 ）b , a b, aa（3）直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交，交线和这条直线平行，简称为“线面平行，则线线平行”。7. 直线与平面垂直：（1）直线与平面垂直的定义：如果一条直线和平平面内任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。公理：过一点有且只有一条直线和已知平面垂直。（2） .直线和平面垂直的判定：1） 一个平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个 平面垂直。2）两条平行线中有一条直线和一个平面垂直，那么另

40、一条直线也和这个平面垂 直。（3 ）直线和平面垂直的性质定理：1）如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直。2）如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。8、 平面与平面的位置关系：1）平行平面：没有公共点，2 ）相交平面：有且只有一条公共直线。两个平面的公共点都在同一条直线上。9两个平面平行：（1 ）两个平面平行的判定：1）一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行。简称为“线面平行，则面面平行”，2）推论：如果平面内一个有两条相交直线和另一个平面内两条相交直线平行，那么这两个平面平行。3）垂直于同一条直线的两个平面平行。（2）两个平面

41、平行的性质定理：1）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。2）两个平行平面之间的距离处处相等，夹在两个平行平面之间的平行线段也相等。3）如果两个平面平行，那么一个平面内的所有直线都平行于另一个平面。10.两个平面垂直：（1）两个平面垂直定义：如果两个平面相交，所成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂 直。（2）两个平面垂直的判定：1）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。2）定义法（直二面角）（3）两个平面垂直的性质定理：1）如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。2）如果两个平面垂直，那么从一个平面内一点作另一个平面

42、的垂 线必在第一个平面内。11、 三垂线定理：在平面内 的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。三垂线定理的逆定理：在 平面内 的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。12、 直线和平面所成的角： 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。特别当一条直线和平面垂直时， 就说直线与平面所成的角是直角， 当一 条直线在平面内或和这个平面平行时，我们规定直线和平面所成的角为0。，所以直线和平面所成的角的范围是 0,2利用法向量可处理线面角问题设为直线I与平面所成的角,为直线I的方向向量v与平面

43、的法向量n之间的夹角，则有一 （图1）或一 （图2）12、最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这条斜线和这个平面内任一条 直线所成的角中最小的角。设 AB是平面a的一条斜线， A为斜足，直线 m是平面a内任 直线，AB'是AB在平面a内的射影。为AB和m所成的角，1为AB和射影所成的角，射影AB'和m所成的角，贝U cos =cos 1cos 2重要应用：空间两条异面直线 L1与L2所成的角为工一，过空间2L2所成的角都是 ，这样的直线L可作多少条？分析：（1）若 （ 0，/2 ），则这样的直线 L有0条B'(2 )若/2，则这样的直线有1条(3)若(/2

44、 ,),则这样的直线2L有2条(4)若一则这样的直线L有3条2(5)若(),则这样的直线L有4条22(6)若则这样的直线L有1条213、二面角：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面， 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，这条直线叫做二面角的棱， 每个半平面叫做二面角的面，棱为I，两个面分别为，的二面角记为-I-一个平面垂直于二面角-I- 的棱，且与两个半平面的交线分别是射线 OA OB O为垂足,则/ AOB叫做二面角-I-,的平面角。一个二面角的大小可用它的平面角的大小来衡量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。二面角大小的取值范围是0,180

45、°14. 计算二面角的方法：(1)定义法(常根据三垂线定理先作平面角即自二面角的一个面上一 点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线，再解直角三角形)。(2)三垂线法(3) 垂面法(4) 射影面积法(5) 利用法向量可处理二面角问题设n 1,门2分别为平面，的法向量，二面角I的大小为，向量山，门2的夹角为，则有(图3)或(图4)n15. 小结:证明直线与直线的平行的思考途径(1)转化为判定共面二直线无交点;（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（ 4）转化为线面垂直；（ 5）转化为面面平行 . 证明直线与平面的平行的思考途径（ 1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行；（ 3）转化为面面平行 . 证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（ 3）转化为线面垂直 .证明直线与直线的垂直的思考途径（ 1）转化为相交垂直；（ 2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（