22等差数列(第2课时)学案（人教A版必修5）

1、 第2课时等差数列的性质1复习巩固等差数列的概念及其通项公式2掌握等差中项的应用3掌握等差数列的性质，并能解决有关问题1等差数列(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于_，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的_，公差通常用字母d表示定义还可以叙述为：在数列an中，若an1and(nN*)，d为常数，则数列an是等差数列常数d称为等差数列的公差(2)通项公式：an_，a1为首项，d为公差【做一做11】 等差数列an的公差d2，a12，则an等于()A2 B2n2 C2n D2n2【做一做12】 在等差数列an中，a37，a5a26，则a6_.2等差中项

2、如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的_由a，A，b成等差数列，得AabA，所以A.反过来，如果A，那么2Aab，AabA，即a，A，b成等差数列【做一做2】 x1与y1的等差中项为10，则xy等于()A0 B10 C20 D不确定答案：1(1)同一个常数公差(2)a1(n1)d【做一做11】 C【做一做12】 132等差中项【做一做2】 C1等差数列的性质剖析：若数列an是公差为d的等差数列，则(1)当d0时，数列为常数列；当d0时，数列为递增数列；当d0时，数列为递减数列(2)d(m，n，kN*)(3)anam(nm)d(m，nN*)(4)若mnpq(m，n，p，qN*)，则aman

3、apaq.(5)若k，则aman2ak(m，n，kN*)(6)若数列an是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a1ana2an1ai1ani(n，iN*)(7)数列anb(，b是常数)是公差为d的等差数列(8)下标成等差数列且公差为m的项ak，akm， ak2m，(k，mN*)组成公差为md的等差数列(9)若数列bn也为等差数列，则kanmbnb(k，m，b为常数)是等差数列由等差数列的定义及通项公式易证明性质(1)(2)(3)(4)(6)(8)(9)，下面证明其他两个证明性质(5)：ana1(n1)d，ama1(m1)d，aka1(k1)d，aman2a1

4、(mn2)d2a1(2k2)d2a12(k1)d2a1(k1)d2ak.证明性质(7)：ana1(n1)d，且，b为常数，anba1(n1)db(a1b)(n1)d，an1ba1(n2)db(a1b)(n2)d，(anb)(an1b)d(常数)，数列anb也是等差数列，公差为d.2对问题“等差数列an中，若mpq(m，p，qN*)，则amapaq不成立”的理解剖析：要解决这个问题，我们还是回到性质“等差数列an中，当m，n，p，qN*，mnpq时，amanapaq”的推导中事实上，由于ana1(n1)ddna1dknb(k，b为常数)，所以我们有amkmb，apkpb，aqkqb，则apaqk

5、(pq)2b，令kmbk(pq)2b，注意到mpq，所以b0.这告诉我们，当且仅当b0，即a1d时，上述结论才成立，而对于一般等差数列而言，a1d.因此等差数列an中，若mpq，则amapaq不一定成立这个事实告诉我们，在学习中遇到一些似是而非的问题时，要加以推理论证，而不要随意地类比迁移题型一 等差数列性质的应用【例题1】 设an为等差数列，若a3a4a5a6a7450，求a2a8.分析：方法一：依性质“若mnpq，则amanapaq”求解即可方法二：将a3a4a5a6a7用a1，d表示，再将a2a8用a1，d表示，从中寻找关系来解决反思：(1)比较方法一和方法二，显然方法一要优于方法二，因

6、此要注意灵活运用性质解题(2)等差数列的性质实质上是数列的定义、通项、等差中项的综合应用，因此应用得法可为解题带来极大的方便，如本题方法一题型二 等差中项的应用【例题2】 已知三个数成等差数列并且是递增数列，它们的和为18，平方和为116，求这三个数分析：充分利用等差中项的定义求解未知量反思：当三个数或四个数成等差数列时，可设出这几个数，由已知条件列方程组求解，如本题解法一；也可采用对称的设法，三个数时，设ad，a，ad.四个数时，设a3d，ad，ad，a3d，利用已知条件列方程(组)先求出其中的a与d，再进一步解题，如本题解法二题型三 等差数列的综合问题【例题3】 一个等差数列的首项为，公差

7、d0，从第10项起每一项都大于1，求公差d的范围分析：从第10项起每一项都大于1是指转化为解不等式组反思：等差数列是关于n的一次函数(d0时为常数函数)，对于有关单调性、取值范围的问题，可先结合已知条件利用通项公式，得到一个以a1和d为未知数的方程或不等式，再利用函数、不等式的有关方法来解决题型四 易错辨析【例题4】 设数列an是等差数列，apq，aqp(pq)，试求apq.错解：数列an是等差数列，apqapaqpq.错因分析：性质amanapaq中必须是两项相加等于两项相加，如a7a8a6a9，并不是下标和相等即相等，如a15a78a7a8.反思：利用等差数列的性质解决问题时，所用的性质必

8、须是经过证明成立的，才能应用，否则不能应用答案：【例题1】 解：方法一：a3a7a4a62a5a2a8，a3a4a5a6a75a5450，a590，a2a82a5180.方法二：an为等差数列，设首项为a1，公差为d，a3a4a7a12da13da16d5a120d，即5a120d450，a14d90.a2a8a1da17d2a18d180.【例题2】 解法一：设这三个数为a，b，c，则由题意，得解得a4，b6，c8.故这三个数是4,6,8.解法二：设这三个数为ad，a，ad，由已知，得由，得a6.代入，得d±2.该数列是递增的，d2舍去这三个数为4,6,8.【例题3】 解：设等差数列为an，由d0，知a1a2a9a10a11，依题意，有即解得d，即公差d的取值范围是.【例题4】 正解：设数列an的公差为d，apaq(pq)d，d1.从而apqapqdqq×(1)0，apq0.1已知等差数列an中，a1a2a3a4a520，则a3_.2已知数列an是等差数列，若a1a5a9a13a17117，则a3a15_.3在数列an中，a1，a12是方程0的两根，若an是等差数列，则a5a8_.4在等差数列an中，已知a510，a1231，求公差d的取值范围5已知三个数成等差数列，其和为15，首末两项的积