线性代数习题集(带答案)

1、7.若D =第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题1 .下列排列是5阶偶排列的是().(A) 24315(B) 14325(C) 41523(D)243512 .如果n阶排列jij2jn的逆序数是k,则排列jnj2jl的逆序数是().n(n-1).一 k(D)n!(A)k(B)n-k (C)万-k3 . n阶行列式的展开式中含ai向2的项共有()项(A) 0(B) n - 2(C) (n -2)!(D) (n-1)!4.0 00 00 11 00 11 00 00 0).(A) 0(B) -10 0 100 10 0 =().0 0 0 110 0 0(C) 1(D) 2(A) 0(B

2、) -1(C) 1(D) 22x x -11-1 - x 126.在函数f(x)二中x3项的系数是().32-x30001(A) 0(B) -1(C) 1(D) 2a11a12a1312 a11a13a11 - 2a12a21a22a23=，则 D1 =22a21a23a21 2a22 ()a31a32a332a31a33a31 - 2a32(C) 2(D) -2(B)-4(A) 438.若aia)2ai2a2ia22a)ika22ka21).(A) ka(B) - ka(C)k2a(D) - k2a9.已知4阶行列式中第1行元依次是-4,0,1,3,第3行元的余子式依次为-2,5,1,x,则

3、 x=().(A) 010.若口 =(A) -111.若口 =(A) -1-86147-213(B)431-7-33-115(C) 3(D) 2,则D中第一行元的代数余子式的和为（).310501-13(B)410-2-20102(C)-3(D)0,则D中第四行元的余子式的和为（(B) -2(C)-3).12. k等于下列选项中哪个值时,齐次线性方程组(D)0"1X2kx3x1 kx2 x3 kx1 X2 X3=0有非零解.二0()(A) -1(B) -2(C)-3(D)0、填空题1. 2n阶排列24（2n）13（2n -1）的逆序数是.2在六阶行列式中项a32a54a41a6501

4、3a26所带的符一号是3 .四阶行列式中包含a22a43且带正号的项是 .4 .若一个n阶行列式中至少有n2-n+1个元素等于0,则这个行列式的值等于5.1行列式0001101011110100 10 00 02 06.行列式 0 00 n -1n 000a11）现7 .行列式a21a2（n）0an100a11a2a13a11a13 - 3a123a128.如果D =a21a22a23=M , WJ D1 =a21a23 3a223a22a31a32a33a31 a33 3a323a329.已知某5阶行列式的值为5,将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所 有元素，则所得的新行列式的值为 25

5、10.行列式-1-1x1-1x -1-1-1-111. n阶行列式1 十九11十九12.已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3,其对应的余子式依次为3,2,1,则该行列式的值为13.设行列式D =,A4j (j =1, 2,3, 4)为D中第四行元的代数余子式,则 4 A413 A422 A43A44 =a bc b14.已知D = b aa cc a a b c c b dD中第四列元的代数余子式的和为12 3 43 3 4 4. .一. 一15.设行列式D=-6, Aj为a4j(j =1, 2,3, 4)的代数余子式，则1 5 6 7j j112 2A41A42 二A43A44 二13

6、5 2n -1120 016.已知行列式D =103 0,D中第一行元的代数余子式的和为100 nkx1 2x2 x3 = 017 .齐次线性方程组bx+kx2=0仅有零解的充要条件是Xi - X2x3 =0xi2x2x3 = 018 .若齐次线性方程组2x2 +5x3=0有非零解，则k =-3x, -2x2 +kx3 =01.a2 a3 abb2.3c2 c3 cdd2.3b+c+d a+c + d a+b+d a+b+cx y x + y2. y x + y x x + y x y0 1x1“m 1 0 1 x3.解万程=0；x 1 1 01x104.xa1a1a1xa2a2a2xaa2a

7、3aa2a3anq 1anq 1anq 1x 1a15.6.7.9.11.a011 b1 b1a11a2(aj /1, j =0,1，n)；an1-b1a1b2b22X1X2X1XnX12 -ba2b3a2(n -1) -bX1X21X2XnX2a-1X2Xn- X2Xa1a2ana1Xa2ana1a2X an一»-1 . a1a2a3X210 0121 0012 0.- -W - -000 2000 18.J10.12000-a-1-a-1-a-1四、证明题1 .设 abcd =1,证明:21a -2aa,21b p bb21c2cc21d2dd1 a1 b 1c1 d11=0.1

8、1a1 +6xa1xc1a1b1c12.a2 +b2x a2x +电 c2= (1xc =0的充要条件是a + b + c=0. )a2b2 c2a3 +b3x a3x +4c3a3b3 q3.a2 a4 abb2b41c2 c4 c1d2 =(b a)(c a)(d -a)(c-b)(d -b)(d c)(a + b + c + d).d d4an11a1a2n 2 n 2aia2nnaa2nf ai 11 (aj - ai).i 11 iiiv" j iin2 an5.设a,b,c两两不等，证明11a b3.3a b一.单项选择题ADACCDABCDBB二.填空题1. n ;2.

9、 - ;3. a14a22a31a43 ；4.0 ;5. 0 ;6. (-1)n!;n(n 1)7.(1)ka1na2(n9an1； 8. -3M ; 9.-160; 10.x4; 11.(' n)'n； 12.-2;n 113.0; 14.0; 15.12, -9; 16.n!(1); 17.k=-2,3; 18.k=7kJ三.计算题1. 一(a +b +c +d)(b -a)(c a)(d -a)(c -b)(d -b)(d -c); 2. 一2(x3 + y3)；3. x =-2,0,1;n n5. II (ak -1)(1 x -);k =Sk=0 ak -1n7. (

10、-1)nll (bk -ak);k 1n9. 1 .二 xk ;k=111. (1 -a)(1 a2 a4).四.证明题(略)n 14. 11 (x-ak)k工6. -(2 b)(1 -b) (n-2) - b);nn8. (x '、ak)il (x-ak);k 1 k V10. n 1;第二章 矩阵一、单项选择题1. A、B为n阶方阵，则下列各式中成立的是()。(a)A2 = A2(b) A2 B2=(A B)(A+B) (c)(A B)A=A2AB (d) (AB)T =ATBT2 .设方阵A、B C满足AB=AC当A满足()时，B=C(a) AB =BA (b) A#0 (c)

11、方程组AX=0有非零解(d) B 、C可逆3 .若A为n阶方阵，k为非零常数，则|kA=()。(a) kA(b) kA(c)kn A(d)|kn|A4 .设A为n阶方阵，且|A=0,则()。(a) A中两行(歹1)对应元素成比例(b)A中任意一行为其它行的线性组合(c) A中至少有一行元素全为零(d)A中必有一行为其它行的线性组合5.设A, B为n阶可逆矩阵，下面各式包正确的是()。(a) (A + B)，= A，+ B(b)(AB)T=AB (c) (A,+B)T = A+|B (d) (A + B)=A'+ B6.设A为n阶方阵，A(2A)=-2A =()为A的伴随矩阵，则()on

12、n(a) (a) A = A， (b) A = A (c) A = A (d) A = A7.设A为3阶方阵，行列式A =1 ,A为A的伴随矩阵，则行列式27(a) - 287(b)8/、2727%8278 .设A, B为n阶方矩阵，A2 =B2,则下列各式成立的是（）.(22(a) A = B (b)A=B (c) 网=旧 (d)|A 二|B9 .设A , B均为n阶方矩阵，则必有()。 .2. 2(a) |A + B| =|A +|B| (b) AB =BA (c).耳=但8(d)|A =B10 .设A为n阶可逆矩阵，则下面各式包正确的是()。(a) 2A =2At (b)(2A)= 2A

13、00-3、100、010(d)010J01 )2-3ba23a331 0 -3、010(c)<001 >(c)(A)寸=(AT)T,(d)(AT)T=(A)tta11a12a13'a11 - 3a31a12 3aa21a22a23=a21a22产31a32a33a31a323211.如果Aai3 一 3a33100、(a)01 0 (b)-3 0b,13 1、12.已知 A= 2 2 0 ,则(3 1 b(a) At=A(b)A1 0(c) A 0 0<0 11 3”0 21 b(d)1 00 0<0 10、11 A= 20；13 .设A,B,C,I为同阶方阵，

14、I为单位矩阵，若ABC=I ,则（(a) ACB=I(b) CAB=I(c) CBA = I(d) BAC = I14 .设A为n阶方阵，且|A|#0,则（）（a） A经列初等变换可变为单位阵I（b）由 AX =BA ,可得 X =B(c)当(A |I)经有限次初等变换变为(I |B)时，有A/=B(d)以上(a)、(b)、(c)都不对15 .设 A为 m><n 阶矩阵，秩(A) =r cm <n,则()。(a) A中r阶子式不全为零(b) A中阶数小于r的子式全为零O)(c) A经行初等变换可化为 r(d) A为满秩矩阵3 0J16 .设A为m"矩阵，C为n阶可逆

15、矩阵，B = AC ,则()。(a)秩(A)> 秩(B)(b)秩(A尸秩(B)(c)秩(人)<秩(8)(d)秩(A)与秩(B)的关系依C而定17 . A , B为n阶非零矩阵，且AB=0 ,则秩(A)和秩(B)()。(a)有一个等于零(b) 都为n (c) 都小于n (d)一个小于n,一个等于n18 .n阶方阵A可逆的充分必要条件是()。(a) r(A) = r <n(b)A 的列秩为 n(c) A的每一个行向量都是非零向量(d) 伴随矩阵存在19.n阶矩阵A可逆的充要条件是()。(a) A的每个行向量都是非零向量(b) A中任意两个行向量都不成比例(c) A的行向量中有一个

16、向量可由其它向量线性表示(d)对任何n维非零向量X ,均有AX #0 二、填空题1.设A为n阶方阵，I为n阶单位阵，且A2 = I ,则行列式|A =0ab2 .行列式-a0c=bc010 1、3 .设2A= 0 2 0 ，则行列式.(A+3I)(A2 9I )的值为<0 0 1JZ上4 .设A= 2_2 、且已知A6 = I ,则行列式A11 =331<225 .设A为5阶方阵，A*是其伴随矩阵，且|A=3,则A* =6 .设4阶方阵A的秩为2,则其伴随矩阵A*的秩为Q1 b1a1b2 ah '7.非零矩阵a2 bla2b2 a2bn的秩为 B ©6anb2 a

17、nbn J8 .设A为100阶矩阵，且对任何100维非零列向量X ,均有AX ¥ 0 ,则A的秩9 .若A = (aj)为15阶矩阵，则ATA的第4行第8列的元素是4I10.2K11.12k3k-1lim012.三、计算题1.解下列矩阵方程(X为未知矩阵).1)21-12-12222-22)-30、0b2-10j3、-103)X(I-BJC)TBT = I ,其中 B =14)AX二 A2 XI ,其中A= 01015)AX=A 2X，其中A =41-12.设A为n阶对称阵，且A2 =0,求A.3.已知A =-1201 ，求(A+2I)(A2-4I)4.设 A =3<2'

18、;0 0、<0 0,1<0A2A45.设 A =4 ,求一秩为2的方阵B,使AB =0.6；6.设 A =1，求非奇异矩阵6使人=800)7.求非奇异矩阵P,使P.AP为对角阵.11-2、1)2)A= -1-312018.已知三阶方阵A的三个特征根为1,1,2,其相应的特征向量依次为(0,0,1)T,(-1,1,0)T,(-2,1,1)T,求矩阵 A.5-3 2、9.设 A=6 -4 4,求 A100.<4 T 5>四、证明题1 .设A、B均为n阶非奇异阵，求证AB可逆.2 .设Ak=0（k为整数），求证I-A可逆.3 .设a1.a2,HI,ak为实数，且如果ak#0

19、,如果方阵A满足Ak + aAk, +111 + akA + a/ = 0 ,求证A是非奇异阵.4 .设n阶方阵A与B中有一个是非奇异的，求证矩阵AB相似于BA.5 .证明可逆的对称矩阵的逆也是对称矩阵.6 .证明两个矩阵和的秩小于这两个矩阵秩的和.7 .证明两个矩阵乘积的秩不大于这两个矩阵的秩中较小者.8 .证明可逆矩阵的伴随矩阵也可逆，且伴随矩阵的逆等于该矩阵的逆矩阵的伴 随矩阵.9 .证明不可逆矩阵的伴随矩阵的逆不大于1.10 .证明每一个方阵均可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和。第二章参考答案1. a ; 2. b ； 3.c ; 4.d ; 5.b ; 6.d ; 7.a ;9

20、.c ; 10.d ; 11.b; 12.c；13.b; 14.a；15.a ; 16.b ; 17.c ; 18.b ; 19.d.1或-12. 0; 3.-4;4. 1; 5. 81; 6.0； 7.1；158. 100; 9. '、ai =4ai8 ；12. 011.-10、1.1-13U6-85)、-3-2-112-1-22.5.8.-1-1-1一9.，不唯一;1J6.22-11-4-3Xz201、3；3）、：1-5-3；4）、030 ；10-164 <102/)；2）、101<03.3100 +2(21002(21°° +3100)2(3100

21、 1)-1-3-1-211-24.0<0-2100 ； 7.11)、-112)-1)-3-22 -2100-31004 -2100 -2(3100)2(1-3100)31002(310°-1-1)2(3100) -1第三章向量、单项选择题1. % 42p3,良，兔都是四维列向量，且四阶行列式»132 a3 Pi|=m,®?2 «3 c(2|=n，则行列式M «2 口3 Pl+P2|=()(a)m n (b)m - n (c) - m n(d) - m - n2. 设A为n阶方阵，且|A|=0,则()。(a)A中两行(列)对应元素成比例(b

22、)A中任意一行为其它行的线性组合(c)A中至少有一行元素全为零(d)A中必有一行为其它行的线性组合3. 设A为n阶方阵，r(A) = r<n,则在A的n个行向量中(a)必有r行同1绷i关(b)任意r个行向量线性无关(c)任意r个行向量都构成极大线性无关组(d)任意一个行向量都能被 其它r个行向量线性表示4. n阶方阵A可逆的充分必要条件是()(a)r(A) = r :二 n(b)A的列秩为n(c) A的每一个行向量都是非零向量(d) A的伴随矩阵存在5. n维向量组,口2,，外线性无关的充分条件是()(a) %22,叫都不是零向量(b)%,口2,产s中任一向量均不能由其它向量线性表示(C

23、) %,。2, ,Us中任意两个向量都不成比例1 d) «1,«2,Qs中有一个部分组线性无关6 . n维向量组%,口2,Qs(s之2)线性相关的充要条件是()(a)叫尸2,Os中至少有一个零向量(b)%,%,产s中至少有两个向量成比例(c)%,%,4s中任意两个向量不成比例(d)ai«2,Ps中至少有一向量可由其它向量线性表示7 . n维向量组%,%,Qs(3WsWn)线性无关的充要条件是()(a)存在一组不全为零的数kik, ks使彳4 k% + k21M2 + kss # 0(b)«1«2,9s中任意两个向量都线性无关(C)ai,a2,

24、尸s中存在一个向量，它不能被其余向量线性表示(d)%尸2, 产s中任一部分组线性无关8 .设向量组%,4,尸s的秩为,则()(a)ct1p2,0s中至少有一个由r个向量组成的部分组线性无关(b)«i,«2,%中存在由r +1个向量组成的部分组线性无关(c)%,c(2,，口s中由r个向量组成的部分组都线性无关(d)a1,a2,Ps中个数小于r的任意部分组都线性无关9 .设%,ct2,ps均为n维向量，那么下列结论正确的是()(a)若ki% +卜2汽2+ks6s =0,则久1,久2, Ps线性相关(b)若对于任意一组不全为零的数ki,k2,，ks,都有ki«i +k2

25、s2中ks«s ¥0,则%,口2,Ps线性无关(c)若巴,久2,Ps线性相关，则对任意不全为零的数ki*2；，ks,都有ki: 1k2: 2ks: s =0(d)若0% +®2 +0cts =0,则%22,0s线性无关10 .已知向量组,久243,。4线性无关，则向量组()(a)豆i +«2,«2 +«3,«3 +“444 +% 线性无关(b)«i 支242 -a3,«3 -«4,«4 口i 线性无关(C)«i十%尸2 +«3,«3 +口444 %线性无关

26、(d)«i+“232 +33,口3 f 产4 C(i线，性无关11 .若向量P可被向量组,久2, Ls线性表示，则()(a)存在一组不全为零的数ki,k2；,ks使得 k k ki% +k2ct2 +'ks: s(b)存在一组全为零的数 匕氏,ks使得k =K% +k2a2 +ksCts(c)存在一组数 ki, k2,ks 使得 k = ki5 + kzct 2 + ks« s(d)对P的表达式唯一12 .下列说法正确的是()(a)若有不全为零的数ki,k2,K,使得kiJ+ k2c(2+ks«s= 0 ,则%2,外线性无关(b)若有不全为零的数ki*2,

27、 ,ks,使得k1a1+k2a2+ ksas#0,则«1,«2,4s线性无关(c)若出，支2,，取线性相关，则其中每个向量均可由其余向量线性表示(d)任彳sj n +1个n维向量必线性相关13 .设P是向量组% =(1, 0, 0)二口2=(0, 1, 0)T的线性组合，则P =()(Q 3, 0)T (b)(2, 0, 1)T (c)(0, 0, 1)T (d)(0, 2, 1)T14 .设有向量组% =(1, -1, 2, 4)T, 2=(0, 3, 1, 2T,%=(3 0, 7, 14T, £4=8 -2, 2, 0)T, 0=(2, 1, 5, 10T,

28、则该向量组的极大线性无关组为()(a)： 1 ,二 2,： 3(b) ： 1 ,1 2,： 4(c) ： 1 ,1 2,： 5(d)- 1,- 2,1 4,： 515 .设 U=(a1，a2,a3)T,P=(b1,b2,b3)T, 口 1 = (a1，a2),口 1=(b1，th),，下列正确的是()(a)若 P线性相关，则%,r也线性相关;(b)若a邛线性无关，则 %, Pi也线性无关;(c)若叫，也线性相关，则ct,E也线性相关；(d)以上都不对二、填空题1 .若巴 =(1, 1, 1)T, 口2=(1, 2, 3)T, 口3=(1, 3, t)T 线性相关，则 t=一Q2 . n维零向量

29、一定线性 关。3 .向量a线性无关的充要条件是 o4 .若户2,豆3线性相关，则 豆1,豆2,Qs(s:>3)线性 关。5 . n维单位向量组一定线性。6 .设向量组,。2, Ps的秩为r,则«1,a2, 9s中任意r个 的向量都是它的极大线性无关组。7 .设向量% =(1, 0, 1)T与22=(1, 1, a)T正交，则 a =。8 .正交向量组一定线性。9 .若向量组%,4, Ps与3,久,Ft等价，则%。2；Ps的秩与P1，£ , ,3 的秩10 .若向量组«1«2,Ps可由向量组1/2,，A线性表示，则r(%,%,as) r(P1,P2,

30、书)。11 .向量组 %=(研，1, 0, 0T,。2=g2, 1, 1, 0，口 3=俗3, 1, 1, 4 的 线性关系是。12 .设 n 阶方阵 A = (%,%;，% )% =% +a3,则 A =.13 .设% =(0, y, - ；)T ,支2=(x, 0, 0)T ,若和P是标准正交向量，则x和y的值.14 .两向量线性相关的充要条件是三、计算题1 .设% =(1+儿 1, 1)T ,豆2=(1, 1+九，1)T , a3 =(1, 1, 1+九)T,-2 T »一P =(0,1,九)，问(1)人为何值时，P能由小,。2,口3唯一地线性表示？(2)九为何值时，P能由出户

31、2,外线性表示，但表达式不唯一？(3)人为何值时，P不能由巴,七,气线性表示？2 .设% =(1, 0, 2, 3)T, 口2=(1, 1, 3, 5)T,久3=(1, 1, a + 2, 1)T,口 4=(1, 2, 4, a+8)T, P=(1, 1, b + 3, 5)T 问：(1) a,b为何值时，P不能表示为巴,小2,二3,。4的线性组合？(2) a,b为何值时，P能唯一地表示为巴,口2,a3P4的线性组合？3 .求向量组生=(1, -1, 0, 4),，口2=(2, 1, 5, 6)T,63=(1, 2, 5, 2)T ,口4=(1, -1, -2, 0)T, %=(3, 0, 7

32、, 14)T 的一个极大线性无关组， 并将其余向量用该极大无关组线性表示。4 .设% =(1 1 1)T, 口2=(1, 2 3T, “3=(1, 3 t)T, t 为何值时产2,4线性相 关，t为何值时%,%,%线性无关?5 .将向量组口 1=(1, 2,0)T,%=(-1,0,2)t,%=(0, 1,2)T 标准正交化。四、证明题1 .设日1 =% +外,尾=3% -%,尾=2% -% ，试证p1,p2, 03线性相关。2 .设%,二2, Rn线性无关，证明%+也上+外；Pn +%在n为奇数时线性无关；在n为偶数时线性相关。3 .设 ,豆2,3s, P线性相关,而，丸线性无关，证明P能由&

33、#171;1,«2,Fs线性表示且表示式唯一。4 .设%,口2,。3线性相关，二2,。3,口4线性无关，求证。4不能由二1,。2P3线性表示。5 .证明：向量组,七,Ps(s±2)线性相关的充要条件是其中至少有一个向 量是其余向量的线性组合。6 .设向量组%,外,4s中% #0,并且每一个叫都不能由前i-1个向量线性表示(i =2,3，s),求证%,%,，气线性无关。7 .证明：如果向量组中有一个部分组线性相关，则整个向量组线性相关。8 .设4,%,气，Ps是线性无关向量组，证明向量组 s s ss«0,«0十%尸0+0,，C(0十C(s也线性无关。39

34、第三章向量参考答案一、单项选择1 .b 2.d 3.a 4.b 5.b 6.d 7.d 8.a 9.b 10.c 11.c 12.d 13.a14.b 15. a二、填空题1. 52.相关 3. a#0 4.相关 5.无关6.线性无关7. -112. 0 13. x = 1,y =二一8.无关 9.相等 10. <11.线性无关14.对应分量成比例 三、解答题1.解：设 B =X1«1 +X2«2 +X3«3(1)X1 X2X3 =0则对应方程组为 X1 +(1 +九)X2 +X3 =九 ,_ 2、X1 + x2 +(1 + £)x3 =人1 +九

35、 11其系数行列式|A = 11+九1=九2(九+3)111 十 九(1)当九# 0,九/ -3时，A ¥0 ,方程组有唯一解，所以口可由巴尸2a3唯地线性表示；(2)当九=0时，方程组的增广阵1A= 10) p0 T 00;<01 10'0 0 00 0 0 ,P可由口1户2 口3线性表示,r(A) =r(A) =1 <3 ,方程组有无穷多解，所以但表示式不唯一；(3)当九=-3时，方程组的增广阵-2A = 11-21-3 t 01-29 J、0-2-30-3-12 , r(A)WrfA),方程组无解,-18所以P不能由叫32,%线性表示。2.解:以 0(1,6

36、2,0(3,0(4, P为列构造矩阵111351121124a 8(1)(2)3.解:当a = ±1且b * 0时，P不能表示为12a 141 -a21,二2,二3,1当a # ±1,b任意时，P能唯一地表示为(1,1 2,二 3,二 4,二 5)二1-10【4的线性组合;0 4 ,： 521560010«1«2,«3«4的线性组合。二2二1 二2 -二421-102 p4为一个极大无关组，且 63=1+。24.解:二1,12, ： 3二t -5 ,当t =5时%,支243线性相关，当t 05 时出 «口 3线性无关。5.解

37、：先正交化:=1, 2, 0T-2= ： 2!?2,-1 1I''：-3,-1LI；*再单位化:I 5' 5' 21：3,-21T215一,.3030. 30X, 丫2, 4为标准正交向量组四、证明题1 .证：: 3（P1 +B2） -4（2P1 -P3） =0 -5-13-24-3=0123 Bl,七网线性相关2 .证：设 ki （«1 +口2）+卜2（口 2 +口3）+kn （口 n +口1） = 0则（ki kn）： i （ki卜2"2*nkn）： n = 0V %,4,册线性无关k1 + kn = 0k1 + k2 = 0100 &q

38、uot;01110 ". 00其系数行列式011 "0,0 =1+（-1严000 "10000 ". 11kn kn =0当n为奇数时，k1,k2,，kn只能为零,当n为偶数时，k1,k2,，kn可以不全为零，«；2,n为奇数、0,n为偶数” ,二线性无关;,«2,On线性相关。3 .证：: %,82, Rs, P线性相关存在不全为零的数ki,k2,，ks,k使得ki k2： 2 ks： s k? =0若 k = 0 ,则 k1% + k2a 2 + +ksa s = 0 , ( k1,k2,ks不全为零)与%产2 ,明线性无关矛盾所

39、以k = 0k2P能由% ,ct2,ps线性表示。设 P =ki% +卜2。2 + +ksJP =1巴 +12c(2 + +"s 则-得(ki 1i)% +«2 -12)«2 +(ks -1s)«s =0四产2,一线性无关 ki -1i =0,(i =1,2, ,s). K =L,(i =1,2,，s)即表示法唯一4 .证：假设%能由%,%,%线性表示.一4,%尸4线性无关，；%33线性无关.巴尸233线性相关，%可由a2 p3线性表示，34能由4尸3线性表示，从而52p3产4线性相关,矛盾；二4不能由% 02,%线性表示。5 .证：必要性设向量组色,”

40、，口s线性相关则存在不全为零的数ki,k2,ks,使得ki%+卜232 + +ks«s=0不妨设ks=0,贝Uas=殳2 山外， sssksksks即至少有一个向量是其余向量的线性组合。充分性设向量组J产2,，豆s中至少有一个向量是其余向量的线性组合不妨设:s =kii , k2= 2ksr s则 ki% +k2c(2 + +ksfs-«s =0 ,所以%,%,尸s线性相关。6 .证：用数学归纳法当s=1时，% #0,线性无关，当s=2时，=。2不能由巴线性表示，；1alp2线性无关，设s=i-1时，叫尸2,Pi线性无关则s=i时，假设尸2,Pi线性相关，：,%,%二线性无

41、关，叫可由92,产一线性表示，矛盾，所以%产2；一产i线性无关。得证7 .证：若向量组31P2,尸s中有一部分组线性相关，不妨设%,%：9r (rvs)线性相关，则存在不全为零的数ki,k2,kr,使得k1k2： 2kr： r =0于是 ki： i k2： 2 kJ r 0 r 10 s =0因为k1,k2,，kr,0,0不全为零所以«1,«2,Ps线性相关。8 .证：设 k0ao +k1(«o +%) +k23o +u2) +ks(a0 +as) =0则«0kik24s"0kik2：2ks：s =0因a。,%,%，0ts线性无关， s ss&

42、#39;k0 +k1 +k2 + +ks =0k1 =0所以，卜2 = 0解得 k0 = k = k2 =""* = ks=0ks =0所以向量组支0,口0 +%,口0 +%,，4 +cts线性无关。第四章线性方程组一、单项选择题1 .设n元齐次线性方程组AX=0的系数矩阵的秩为r,则AX =0有非零解的充 分必要条件是()(A)r = n(B)r ： n(C)r n(D)r n2 .设A是mn矩阵，则线性方程组AX = b有无穷解的充要条件是()(A)r(A)；m(B)r(A)：二 n(C)r(Ab)= r(A) ： m(D)r(Ab) = r(A) ： n3 .设A是m

43、n矩阵，非齐次线性方程组 AX = b的导出组为AX = 0 ,若m< n , 则()(A) AX =b必有无穷多解(B) AX =b必有唯一解(C) AX =0必有非零解(D) AX =0必有唯一解x1 2x2 -x3 = 44 .方程组4x2+2x3=2无解的充分条件是九=()('-2)X3 -(' -3)(' -4)(' -1)(A) 15.方程组(B) 2x1 x2 x3 = ' -12x? _ x3 = ' _ 2x3 = ' -4(C) 3(D) 4有唯一解的充分条件是69('-1)x3 = -( ' -

44、3)( 1 -1(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4x1 2x2 -x3 - 1 -16 .方程组13x2-x3 = ?-2有无穷解的充分条件是 九=()I * -x3 = ('- 3)(1- -4) ' ('- -2)(A) 1(B) 2(C) 3(D) 47 .已知R, 3是非齐次线性方程组 AX =b的两个不同的解， %,%是导出组AX =0的基本解系，k1,k2为任意常数，则AX =b的通解是()(A)-k2(:1(B)k-1k2(： 1-：2)I-B _ BB + B(C) k1£ 1k2( ：1 。2) - (D)k1 二 1 k2( 111

45、- .-2) 228 .设A为m"矩阵，则下列结论正确的是()(A)若AX =0仅有零解，则AX=b有唯一解 (B)若AX=0有非零解，则AX=b有无穷多解(C)若AX=b有无穷多解，则AX=0仅有零解(D)若AX=b有无穷多解，则AX=0有非零解9 .设A为mxn矩阵，齐次线性方程组 AX = 0仅有零解的充要条件为()(A)A的列向量线性无关(B) A的列向量线性相关(C) A的行向量线性无关(D) A的行向量线性相关X1 X2 X3 = 110.线性方程组 X x1+2x2+3x3=0()4% 7x2 10x3 = 1(A)无解 (B)有唯一解 (C)有无穷多解(D)其导出组只

46、有零解、填空题1 .设A为100阶矩阵，且对任意100维的非零列向量X,均有AX=0,则A的 秩为.kx1 2x2 x3 = 02 .线性方程组2 2x1+%=。仅有零解的充分必要条件是 .x1 -x2 x3 =03 .设X1,X2,"lXs和C1X1 +C2X2 +W + gXs均为非齐次线性方程组AX =b的解(G,C2,HICs 为常数)，则 g+C2+HI+Cs=.4 .若线性方程组 AX=b的导出组与BX=0(r(B尸r)有相同的基础解系，则r(A) =.5 .若线性方程组Am>nX =b的系数矩阵的秩为m,则其增广矩阵的秩为6 .设10父15矩阵的秩为8,则AX=0

47、的解向量组的秩为7 .如果n阶方阵A的各行元素之和均为0,且r(A) n 1，则线性方程组AX = 0的通解为.8 .若n元齐次线性方程组AX =0有n个线性无关的解向量，则 A=.121)门)庆、9 .设A=2 3 a+2,b=3,x=x2 ,若齐次线性方程组AX=0只有零解,1a2)0)d3则a .21 、3a+2,b =3,x =X2,若线性方程组AX =b无解，则a-2 jX3j110.设 A= 211 . n阶方阵A,对于AX=0,若每个n维向量都是解，则r(A) =12 .设5M4矩阵A的秩为3 , %, 4,%是非齐次线性方程组AX=b的三个不同的解向量，若 % +% +2% =

48、(2,0,0,0)T,3% +% = (2,4,6,8)T , WJ AX =b 的通解 为.13 .设A为m"矩阵，r(A) = r <min( m,n),则AX=0有 个解，有 个线性无关的解.三、计算题1.已知巴尸2”是齐次线性方程组AX = 0的一个基础解系，问% +a 2久才a，4 +3是否是该方程组的一个基础解系？为什么?一52.设 A = 0341213 32 21 11 1-2 0-6 0-2 1-2 3100- 201100,已知B的行向量都是线性方程组AX =0的解，试问B的四个行向量能否构成该方程组的基础解系？为 什么？ xXo =03 .设四元齐次线性方程组为（J: «x12J X2 - X4 = 01）求（I的一个基础解系2）如果ki（0,1,1,0）T+k2（-1,2,2,1）T是某齐次线性方程组（II）的通解，问方程组（I和（II）是否有非零的公共解？若有，求出其全部非零公共解；若无，说明 理由。4 .问a, b为何值时