人教版高中数学必修5-2.3《等差数列的前n项和》教学课件2

1、1+2+3+4+5+100=？ 德国著名数学家高斯（德国著名数学家高斯（Carl Friedrich Causs 1777年年1855年），年），10岁时曾很快岁时曾很快求出它的结果！求出它的结果！ 1+100=101， 2+99=101， 3+98=101 ， 4+97=101， ， ， 49+52=101， 50+51=101. 1+2+3+4+5+100 =50101 =5050.设：设：S=1+2+3+4+97+98+99+100 , S=100+99+98+97+4+3+2+1 ,2S=(1+100)+(2+99)+(3+98)+(4+97)+2S=(1+100)+(2+99)+(3

2、+98)+(4+97)+ +(97+4)+(98+3)+(99+2)+(100+1) =100 =100101101S=100S=100(1+100)/2=5050(1+100)/2=5050注：此法称倒序求和（属代数法）注：此法称倒序求和（属代数法）解法解法1 1：1+100=101， 2+ 99=101， ， 49+52=101， 50+51=101.1+2+3+4+5+100 =50101 =5050.解法解法2设：设：S=1+2+99+100 , S=100+99+2+1 ,2S=(1+100)+(2+99)+ +(99+2)+(100+1) =100101S=100(1+100)/2

3、 =5050.算术法法代数法（倒序求和）法定理定理 ：数列：数列an是等差数列，是等差数列，m,n,p,q分别为自然数分别为自然数 若若m+n=p+q,则则am+an=ap+aq.证明：设等差数列首项为证明：设等差数列首项为a1，公差为公差为d,则则am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1 )d =2a1+(m+n-2)dap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d = 2a1+(p+q-2)d m+n=p+q, m+n-2=p+q-2 am+an=ap+aq 设设等差数列等差数列an 的前的前n项和为项和为Sn，即，即Sn=a1+a2+a3+an,则则 Sn=n(a1+an)/2

4、证明：S Sn n=a=a1 1+a+a2 2+a+a3 3+ +a+an-2n-2+a+an-1n-1+a+an ,n , S Sn n=a=an n+a+an-1n-1+a+an-2n-2+ +a+a3 3+a+a2 2+a+a1 122S Sn n =(a=(a1 1+ a+ an n)+ (a)+ (a2 2+a+an-1n-1)+(a)+(a3 3+a+an-2 n-2 ) ) +(a +(an-2n-2 +a +a3 3 )+(a)+(an-1n-1+a+a2 2 )+(a)+(an n+a+a1 1 ) )1+n=2+（n-1）=3+(n-2)=(n-2)+3=(n-2)+3 =

5、(n-1)+2=n+1 =(n-1)+2=n+1 由定理,得 (a1+ an)=(a2+an-1)=(a3+an-2 )= =(an-2 +a3 )=(an-1+a2 )=(an+a1 ) 2Sn=n(a1+a2) Sn=n(a1+an)/2 Sn=n(a1+an)/2an=a1+（n-1）dSn=n(a1+an)/2 =na1+n(n-1)d/2 Sn=na1+n(n-1)d/2 Sn=na1+ an /2 （1） Sn=na1+n(n-1)d/2 （2） 如图，一个堆放铅笔的如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一一支铅笔，往上每一

6、层都比它下面一层多放一支，最上面一层放支，最上面一层放120支支.这个这个V形架上共放着形架上共放着多少支铅笔？多少支铅笔？ 由题意可知，这个由题意可知，这个V形架上共放着形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔数成等差层铅笔，且自下而上各层的铅笔数成等差数列，记为数列，记为an ，其中，其中a1 =1, a120 =120.根根据等差数列前据等差数列前n项和的公式，得项和的公式，得 S120=120(1+120)/2=7260. 答：答：V形架上共放着形架上共放着7260支铅笔支铅笔. 等差数列 -10，-6，-2，2， 前多少项的和是54？ 解解: 设题中的等差数列为an ，前n项和是Sn，则a1 =-10，d=-6-(-10)=4，设Sn=54， 根据等差数列前n项和的公式，得 -10n+n(n-1)4/2=54, 整理得 ，n2-6n-27=0. 解得 n1= 9 ，n2= -3(舍去）. 因此等差数列 -10，-6，-2，2， 前9项的和是54. 一、等差数列的前一、等差数列的前n项和公式项和公式 Sn=na1+n(n-1)d/2 Sn=na1+ an /2 二、运用和应用