高考数列通项公式的求解策略

1、1作者：张贤华2工作单位：湖南省衡阳市八中3职称：中学一级教师4通讯地址：湖南省衡阳市八中5邮政编码：4210076 联系电话：07348463361，135752948287 Email：xianhua_zhangsir高考数列通项公式问题的求解策略张贤华 湖南省衡阳市八中 421007 数列问题是近年来高考中的热点问题，求数列通项公式问题又是数列问题中的重头戏.本文试图对高考中这一类问题的常见题型与解题策略作一个比较完整的归纳.1常见题型与解法1.1.已知递推公式求通项公式例1.(2000.全国.文理)设是首项为1的正项数列，且(),则它的通项公式是=_.解法一（迭乘）：将已知条件转化为,

2、于是有，, .将上述n-1个等式左右两边分别相乘得,故有.解法二（迭代): 将已知条件转化为,于是有解法三（配凑成基本数列):化已知条件为,数列nan为常数列(视为基本数列等差、等比数列的特例), ,.解法四（猜想):利用递推公式写出数列前几项为1,猜想通项公式为(填空题当然无须用数学归纳法证明).例2. (2003.天津.理)设为常数，且.(1)证明对任意1，.(2)略(1) 证法一(数学归纳法)：略. 假设当n=k（k1）等式成立，即那么 这就是说，当n=k+1时，等式也成立.根据和，可知对于任何，等式成立. 证法二（配凑成基本数列）：如果设 将代入，可解出. 故已知条件可化为.易知数列为

3、基本数列,从而数列通项公式易求.略.证法三（迭加）：由两边同除以得，,将上述各式左右两边分别相加得,以下易求,略.1.2.根据已知条件构造递推公式求通项公式例3. (2005.广东卷）设平面内有条直线（n3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若用表示这条直线交点的个数，则=_；当4时，=_分析：由已知条件直接得到通项公式较困难，但据已知条件可先求出数列的递推公式，再由递推公式求通项公式.解法一（猜想）：若平面内有条满足条件的直线（n3），它们的交点数为，现增加一条满足条件的直线，与前面n条直线有n个交点，且这n个交点与前面已有的个交点互不重合，故这n+1条直线的交点个数为=

4、，由于故有猜想当4时，2+3+4+5+.解法二（配凑成基本数列）：同解法一得到=，令，将=代入可解得A=，B=,故数列的递推公式可化为，从而知数列（n3）为常数列,从而易求数列的通项公式.略.说明:此题也可在得出递推公式后应用迭加或迭代法求出通项公式.1.3.已知前n项和公式求通项公式例4.(2005.湖北.文）设数列的前n项和为,为等比数列，且(1)求数列和的通项公式；(2)略.解：.其余略.1.4.已知关于Sn的递推公式求通项公式例5.（2005.江西.文）已知数列的前n项和Sn满足求数列的通项公式.解法一（迭加得前n项和公式然后求得通项公式）：先考虑偶数项有：, ,.将上述各式左右两边分

5、别相加得( n2). 同理考虑奇数项有：,将上述各式左右两边分别相加得(n1).以下易由公式求通项公式.略. 解法二（消去转化为递推公式再求通项公式）：因为.以下可完全类比例2的各种解法，请读者自己推导通项公式. 1.5.已知关于an与Sn的关系式求通项公式例6.（2005.北京.文）数列的前n项和为Sn,且,，,(1)求的值及数列的通项公式；(2)略.解法一（消去转化为递推公式再求通项公式）：(1)由（n1)，得（n2）. （n2），得（n2）.以下略.解法二（消去转化为关于Sn的递推公式得前n项和公式再得通项公式）：由(n1)，得，即（n1).以下略. 2.解题策略总结上述问题实际上可归结为数列an的关于an与Sn的关系式、递推公式、关于Sn的递推公式、前n项和公式这四种关系式向通项公式的转化，将上述各题的题型与解法串在一起便成了下图：关于Sn的递推公式关于an与Sn的关系式递推公式前n项和公式通项公式消去Sn消去an消去Sn猜想+证明