数列的概念与简单表示法080619doc

1、数列的概念与简单表示法080619一、考题选析：例 1、（ 07广东）已知数列 an 的前 n 项和 Snn29n，第 k 项满足5ak8 ，则 k（）A 、 9B 、 8C、 7D 、6例 2、（ 06 北京 20）在数列 an 中，若a1 , a2是正整数， 且anan 1an 2,n，3 4 5则称 an为“绝对差数列” 。（）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；（）若“绝对差数列” an 中，a203 , a210 ，数列 bn 满足 bnanan 1 an 2n =1 ， 2，3，分虽判断当n时 ,an 与 bn 的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；（）证明

2、：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项。（）解： a1 3, a21,a32, a41,a5 1,a60, a71, a81,a90, a101.（答案不惟一）（）解：因为在绝对差数列an中 a203 , a210 . 所以自第 20项开始，该数列是a20 3 , a21 0 , a223, a223, a240, a253, a263,a27o, .即自第 20项开始。每三个相邻的项周期地取值3， 0， 3.所以当 n时， an 的极限不存在 . 当 n 20时 ,bnanan1an26 ,所以 lim bn6n（）证明：根据定义，数列an必在有限项后出现零项.证明如下假设 an中没有

3、零项，由于anan 1an2 ,所以对于任意的n，都有 an1,从而当 an1an 2 时,anan 1an 2an 11(n3) ;当 an 1an 2 时, anan2an 1an21(n3)即 an 的值要么比 an 1 至少小1，要么比 an 2 至少小 1.令 Cna2n 1 (a2 n 1a2 n ),n1,2,3, ,a2n (a2n 1a2 n ),则 0CACn 11(n2,3, 4, ).由于 C1 是确定的正整数， 这样减少下去， 必然存在某项C10 ，这与 Cn0( n1,2,3, , )矛盾 .从而 an 必有零项 .若第一次出现的零项为第n 项，记 an 1A( A

4、 0) ，则自第 n 项开始，每三个相邻的项周期地取值0， A,A , 即an3 k0,an 3 k 1A, k0,1, 2,3, ,an3 k 2A,所以绝对差数列an 中有无穷多个为零的项。例 3、（ 05 江西 21）已知数列： anan 12,nN ；a0 1,an 11 an (4 an ), nN. （1）证明 anan 1 2, nN ; （ 2）求数列 an 的通项2公式 an 。【思路点拨】本题考查数列的基础知识，考查运算能力和推理能力.第（ 1）问是证明递推关系，联想到用数学归纳法，第（2）问是计算题，也必须通过递推关系进行分析求解.【正确解答】（ 1）方法一用数学归纳法证

5、明：1°当 n=1 时， a01, a11 a0 (4a0 )3 ,22 a0a12 ，命题正确 .2°假设 n=k 时有 ak1ak2.则 nk 1时, akak 111ak 1 (4 ak 1 )ak ( 4 ak )222( ak 1ak )1ak )( ak 1ak )(ak 121 (ak 1ak )(4 ak 1ak ).2而 ak 1ak0.4 ak 1ak0,akak 10.又 ak 11 ak (4 ak )1 4 ( ak2)2 2.n k221时命题正确 .由 1°、 2°知，对一切 n N 时有 anan12.方法二：用数学归纳法

6、证明：1°当 n=1 时， a01,a11 a0 (4a0 )3,0a0a1 2；222°假设 n=k 时有 ak 1ak2 成立，令 f ( x)1x(4x) ， f ( x) 在0 ， 2 上单调递增，所以由假设2f (2), 即 1 ak1 ak (4 ak )1有： f (ak 1 )f ( ak)1 ( 4ak1 )2(42),222也即当 n=k+1 时 akak 12 成立，所以对一切nN ,有 akak12（ 2）下面来求数列的通项：an11 an ( 4an )1 (an2) 24, 所以222(an 12)( an2) 2令bnan 2,则bn1 bn2

7、 11 ( 1 bn22 )21 ( 1 )2 bn2 21(1)1 22 n 1 bn2n222222又 bn= 1，所以 bn( 1) 2 n 1 ,即 an2bn2( 1 )2 n1 .22【解后反思】数列是高考考纲中明文规定必考内容之一,考纲规定学生必须理解数列的概念,了解数列通项公式的意义,了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项 .当然数列与不等式的给合往往得高考数学的热点之一,也成为诸多省份的最后压轴大题 ,解决此类问题 ,必须有过硬的数学基础知识与过人的数学技巧,同时运用数学归纳法也是比较好的选择 ,不过在使用数学归纳法的过程中,一定要遵循数学归纳法的

8、步骤。二、考题精练：（一）选择题：1、（ 04 湖北）已知数列 an 的前 n 项和Sn a2( 1 ) n 1 b2(n1)( 1 )n 1 ( n 1,2,), 其中 a、b 是非零常数，则存在数列22 xn 、 yn 使得（）A 、 anxnyn ,其中 xn 为等差数列， yn 为等比数列B、 anxnyn , 其中 xn 和 yn 都为等差数列C、 anxnyn , 其中 xn 为等差数列， yn 都为等比数列D、 anxnyn , 其中 xn 和 yn 都为等比数列（二）填空题：2、（ 06 广东）在德国不来梅举行的第48 届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱

9、锥”形的展品，其中第1 堆只有1 层，就一个球；第 2,3,4,堆最底层（第一层）分别按图4 所图 4示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第个乒乓球， 以 f (n) 表示第 n 堆的乒乓球总数，则 f (3)_ ； f ( n)示）。（三）解答题：n 堆第 n 层就放一_（答案用 n 表3、（ 06全国 22）设数列an的前n 项和为Sn ，且方程x2an xan0 有一根为Sn1 ，n 1， 2， 3，。（）求 a1 , a2 ；（） an 的通项公式。解： ( )当 n 1 时， x2 a1x a1 0 有一根为S1 1 a1 1，于是 (a1 1)2 a1(a

10、1 1) a1 0，解得 a1 12当 n2 时， x2 a2x a2 0 有一根为 S2 1 a2 1， 21 211于是 (a2 ) a2(a2) a2 0，解得 a1226( )由题设 ( Sn 1)2 an(Sn 1) an 0，即Sn2 2Sn 1 anSn 0当 n2 时， anSnSn 1，代入上式得Sn1 Sn 2Sn1 0由 ( )知 S1 a11， S2 a1 a21122263由可得 S 334由此猜想 Sn n， n 1， 2， 3，8分n1下面用数学归纳法证明这个结论(i) n 1 时已知结论成立(ii )假设 nk 时结论成立，即Sk k，k 1当 nk 1 时，由得 Sk 11 ，即 S