湖南省长沙市高三高考模拟数学理试题

1、科目：数学（理科）（试题卷）注意事项：1 .答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷 的封面上，并认真核对条形码的姓名、准考证号和科目。2 .选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作 答无效。考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。3 .本试题卷共5页。如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自 负。4 .考试结束后，将本试题卷和答题一并交回。姓 名准考证号绝密启用前高考湘军2019年长沙市高考模拟试卷（一）数学（理科）长沙市教科院组织名优教师联合命制满分：150分 时量：120分钟说明：本卷为试题卷，要求将所有试题答案或解答做在答题卷指定位置上一、选择

2、题（本大题共 8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知z是复数，i是虚数单位，（1-i）z在复平面中对应的点为 P,若P对应的复数是模等于 2的负实数，那么z =A.1iB.1+i C.1iD.i2,已知不等式 士上下。的解集为（f2）, m是二项式（ax?）6的展开式的常数项，那么7 ma 7 = ax bxa -2bA . 15B. -5C. -5aD. 5223.以双曲线匕=1的离心率为首项，以函数f（x）=4x-2的零点为公比的等比数列的前n项45的和Sn二33八 2n 12r 42nA. 3x（2n -1B. 3-C- - - D.

3、 422n33334.和体积为已知几何体M的正视图是C. 6兀+4 J3和生3n3A. 9900B. 10100C. 5050 D. 49506.与抛物线y2 =8x相切倾斜角为1350的直线L与x轴和y轴的交点分别是 A和B,那么过A、B2两点的最小圆截抛物线 y =8x的准线所得的弦长为A. 4B. 2 V2C. 27.已知直线l与平面a平行，P是直线l上的一点，平面久内的动点B满足：PB与直线l成600。那么b点轨迹是A.双曲线B.椭圆C.抛物线8.使得函数f (x )=1 x29x7(a E x Wb )的值域为555D.两直线a,b （a b ）的实数对（a,b ）有（）对A. 1B

4、. 2C. 3D.无数.填空题：（每大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上） 选做题（从13题、14题和15题中选两题作答，全做则按前两题记分）,随机取值a ,G（a）1的概率9 . G（x）表示函数y =2csx+3的导数，在区间4,立1上xWPCTQ 时,10 .已知向量 a =(x, y ) b = (x -2,1),设集合 P=x|a_Lb , Q=x|b0, y A0,z 0,x+2y+3z =3 ,那么(x+2)2+(2y+2)2+(3z+1)2 的最小值 4y 6z 2x2216 .方程 + -=1（a,b e1 , 2, 3, 4,，2019

5、）的曲线中，所有圆面积的和等于 a b三、解答题：(前三题各 算步骤)17.函数 f (x )=6cos2心率最小的椭圆方程为 12分，后三道题各13分，满分75分。解答应写出文字说明，证明过程或演x-+3sinx -3(co 0心一个周期内的图像如图所示，A为图像的最高点，B.C为图像与x轴的交点，且AABC为正三角 形.(1)若xw 0,1,求函数f(x )的值域；18.如图一， ABC是正三角形， 4ABD 使得4ABD与4ABC成30o的二面角是等腰直角三角形，AB=BD=2DABC,如图二，在二面角。将4ABD沿边AB折起, D - AB - C 中.f(x0 +1 刈1 .求D、C

6、之间的距离;(2)求CD与面ABC所成的角的大小；求证：对于AD上任意点19.某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快，欲将这种食品价格控制在适当范围内，决定对这种食品生产厂家提供政府补贴，设这种食品的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克，根据市场调查，当16 Ex W24时，这种食品市场日供应量p万千克与市场日需量 q万千克近似地满足20关系：p =2(x+4t -14 )(x至16,t至0 ), q =24+8ln ,(16 x 0(i=i,2,3,，3n),求证：a1 log 3 a1 + a2 log 3 a2 + a3 log 3 a3+ - + a3n log3 a3n 至-n2

7、019年长沙市高考数学模拟试卷（一）数学（理科）参考答案及评分标准选择题：（本大题共8小题,每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号123答案ADB二.填空题：（每大题共8小题，考生作答上）9.710. （-8, 1813.（2 43, 5-）14. 345CB7小题，每小题11. 7 -ln 2315.16. 2027091n .201 2 2013=122和上+=1,2013 20126C5分，共27478AB35分，把答案填在题中的横线12. 600三、解答题：（前三题各12分，后三道题各13分，满分75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）1

8、7.解（1）由已知得：f （x ）=3cos6x + J3sin cox =2，3sin |0x+ |3又 MBC为正三角形，且高为2J3,则 BC=4.所以函数f （x ）的最小正周期为8,即x =2 3sin x 因为x w 0,1 1所以312,3 f x 2 3 .函数f (x )的值域为3,2 J31 6分因为f (x0仁%3,有f (x0) =2j3sin(四+三)=处，即sin理十三)=4 5435435由 xoW(；,2),得(哼 W)w(K)3 3432 2所以，即cos哼+$1)2 =3 4355故 f (xo。= 2 , 3sin(x0 ) = 2.3sin(0 )443

9、434_xo 一c 一c/ xo=2、；3sin( ) cos cos( ) sin 4344344 2 32=2 3(-)5 252=迤 12分518.解：依题意，/ABD=90 ,建立如图的坐标系使得 4ABC在yoz平面上，: AABD与4ABC 成 30 的二面角，/DBY=30,又 AB=BD=2 ,2 A(0 , 0, 2), B(0 , 0, 0),-2 t),C(0, 33, 1), D(1, &3 , 0),(1)|CD|= (1 -0)2 ( 3 - 3)2(0 1)2(2广x轴与面ABC垂直，故(1, 0, 0)是面设CD与面ABC成的角为日，而CD 二.一 |(1,0,

10、0) (1,0,-1)| sin =:1202 02 12 02 (-1)2.八一冗八 冗, 6 匚0,-,: 8=1；(3)设 AH=tAD= t(1 , 33 , -2)= (t,闻3t,CH =CA + AH =(0, - V3 ,1) +(t, 3 t, -2 t) = (t , &t-V3, -2 t+1),若 CH，_L BA ,则(t, V3 t- v,3 , -2 t+1) - (0, 0, 2)=0 得 t=1 , 10 分2此时 CH=(1,-江，0), 22而 BD=（1, 后,0）, CH bd = - 3=-1 o,CH和 BD不垂直,2 2即CH不可能同时垂直 BD

11、和BA ,即CH不与面ABD垂直。12分19.解：(1)由 P=Q 得 2(x + 4t -14 )= 24+8ln 20 (16x0)。t= 13-一万1: t =- 一41x+ ln4-0, x20 (16WxW24)。x二t是x的减函数。.tm上1 24+ in20=1+in巩1+ ln 5； 2 424 224 26t max= 黑 16+ ln = _ + ln ,二 值域为+ ln 2 416 2426(2)由(1) t= - x+ ln 型 (16WxW24)。2 4 x而x=20时，1=田-二父20 + ln 名 =1.5(元/千克)2 4205 + ln524丁 t是x的减函

12、数。欲使 x 012分对于 x(0, +s)成立 u a-b+50。q真u方程x2-ax+b-2=0有两个不相等的负实数根 ua 0p八q是真命题u p真且q真u a -b 5 0a2 -4b 8 0a : 04b 2 0实数对（a, b）为坐标的点的轨迹图形如图a-b +5=0解：2得 a1= - 2, a2= 6,、a -4b+8 = 0二（a, b）为坐标的点的轨迹图形的面积：（阴影部分，不包括边界。）8分ab+5=0 口解，得a= - 3;9=20 a2Ta11分20 a2-2S= (a 5 -2)da+ (a 2 -2)da= (a 3)da + -3-2 4 -321.解：(1)设

13、 B(0, t),设 Q(m, 0), t2=-|m|, mf( 1sb )=(1 -b) log23 1 + blog3b,记 g(b)= (1-b) log31zib + blog 3b, 221 -b得：g (b)= log 3b-log3-2当 be (0,1)时 g(b) 0,.二g(b)在(0 , )递减，在(1 , 1)上递增；, g(b)g(- )=-1 o33alog3a+blog3b+clog 3c -11一1一当a=b=c=一时等3成乂。3152)y -a(a -4)4若a为常数，则对于任意实数v, L为定值的条件是a- 15 =0,即a=15时，L= J15，存在定直线

14、x=,以PM为直径的圆与直线x=15的相交弦长为定值 4彳5。13分 4422.解：(1)证明：: a+b+c=1 , a、b、cC (0 , +0), alog3a+blog3b+clog 3c= alog3a+blog3b+(1 - a- b) log 3(1 - a- b)=f(a)那么 f (a)= log 3a- log 3(1- a- b),当 a C (0 ,1b)时 f(a)0,(2)证明：n=1 时，a + a2+a3=1, ai0(i=1,2,3),由(1)知a1 l o g a1 + a2 log 3 a2+ a3 log 3 a3 -1 成立，即 n=1 时，结论成立。

15、k 一 .设n=k时结论成立，即 a1 + a2+ a3k =1, ai0(i=1,2,3,3 )时ai log3 ai+a2 log3 a?+a3 log3 a3+ - +a3k log3 a3k - k.k+1. ,那么，n=k+1 时，右 a1 + a2+ -+a3k + a3k+ + + a3k+=1 , ai0(i=1,2,3，,3 )时,.一.a a9a3k. 一令a3k +- + a3k+=t,则，+ . + =1,由归纳假设：3 131 -t 1 -t 1 -ta11 -t. aa2logK百l0g3a23k+ + log 3a3k1 -ta log 3 a + a2 log

16、3 a?+ a3 log 3 a3+ + a3k log 3 a3k-(1-t) log 3(1-t) -k(1-t).吗+申=1, t -s t -s t -s,二 a1 log3 a1 + a2 log3 a2+ a3 log 3 a3+ - + a3k log 3 a3k)-k(1-t)+ (1 -t) log3(1-t)-(1)设4；13T+ .Ta3k+=S，则4、+.一+4才工2由归纳假设：5 log3阻士 +10g 3 +吆10g 3 2型)-k.t-st-s t-s t-s t-s t-s, a3k 由 10g 3 a3k 书 + a3k 电 10g 3 a3k 攵 + + a

17、23k 10g3 a22k )-k(t-s)+(t-s)10g 3(t-s)(2) 10分a2 3k :：1+ + a3k +=s,a2 3k 1 a2 3k 2a3k 1 (+ + + =1s ss由归纳假设同理可得:a2 冷k 噂 1 0 g a23k+ a2x3k42 log 3 a2X3k 电 + % + 10g 3 办+ ) *s+ s 10g 3s 将(1)、(2)、(3)两边分别相加得：a lo g a + a2 log3 a2+ . +a3k log3 a3k+ - +a22k log3 a22k+ +a3k+ log3 a3k中-k(1-t)+(t- s)+s+ (1-t) log 3(1-t)+ (t-s) 10g 3(t-s) + slo