不定积分(含变上限积分)和微分解题方法

1、不定积分和微分一、公式 .SLf (x)dx = f (x)和 f f /(x)dx = f f (x)dx = f (x) +c 的应用 dxdx注意：f(x)的不定积分为F(x)+cy F(x)是f (x)的原函数=f (x)是F(x)的导数,即J f (x)dx = F (x)+c或 F/(x)=f(x)1、已知不定积分的值，求被积函数或被积函数中的一部分，利用两边求导处理已知 J f W(x)dx = F (x)+c ,求 f (x)方法：求导得 f (5(x) =F /(x),令中(x) =t ,则 x=(P (t),即 f (x) = F/(中,(x)例 1 (1) Jf (x)d

2、x = x2 +c ,求 fxf (1 -x2)dx解：对 Jf (x)dx = x2 十c 求导得 f (x) = 2x , f (1x2) = 22x2222 2x2贝U xf (1 -x )dx = x(2 -2x )dx =x cdx3(2) jxf(x)dx = arcsinx + c,求 f11解：对 fxf(x)dx = arcsinx+c两边求导得 xf(x)=.,即 f(x)=一,. 1-x2xv1 -x2-x- = x 1x2dx=l1 - x2d(1 -x2) = -(1 -x2)2 cf(x)232、已知导数值，求原函数，利用两边积分的方法处理已知 F/W(x) = f

3、(x),求 F(x)方法：令中(x) =t ,则 x=cP-1(t),即 F/(t) = f(6(t),故 F(x)= f f(中/(t)dt/22例 2 (1) f (sin x) = tan x,求 f(x)角军：令 sin2 x = t,则 cos21 =1 t, tan2 x =.2 sin x2cos x即 f/(t)=L两边积分的 f(t)= j_Ldt =_t in |t 1|+c1 -t1 -t(2)已知 f / ( x) = x f / (x) 1,求 f (x)解：令x =t ,则上式为 f /(t) =t f /(-t)1,即 f /(x) = -xf/(-x)-12x由

4、上面两式得 f/(x)='x 12x .2两边积分得 f (x) = 2dx=in(x 1) cx - 1(3)设 f(u)在Mcu<+8 内可导，且 f(0)=0,又10 ： x <1f '(lnx) =« l，求 f (u),x x 1解：令In x =1得x = et,则/10 <et <1/1 t -0f (t) =< - t即 f (t)大,e e 1e2 t 0当 tW0时，f/(t) =1 ,两边积分得 f(t) = Jdt=t+Gttt当 t a0时，f / (t) =e2,两边积分得 f (t) = Je2dt = 2e

5、2 +c2又因为设f (t)在一°° <u <内可导，所以f (t)在一 scuc+s内连续t_而 tlim+f (t) =limJ2e2 +c2) = 2 + c2, lim f (t) = limt +c1) = g因为 f (t)在 t =0 处连续，则 2 +c2 =c1 = 0 ,即 c1 = 0 , c2 = -2tt <0故 f (t) = l2e2 -2 t 0(4)设 y = f(x)在 x 处的改变量为 Ay = yAx + o( 4x) ( xt 0), y(0) = 1,求 y / 1 x解：由 Ay =-yAx+o(Ax) 知 y

6、/=-y IP dy =-dx- 1 x1 x y 1 x两边积分得dyuf-dx-得 In y =ln(1+x)+c y 1 x而 y(0) =1 故 c = 0,即 y =1 +x 故 y/(1) =1(5)设f(x) =广鲁出，求 0f(x)dx如/二 sin x xsin x ,斛： f (x)dx = xf (x) |0-. xf (x)dx =二 dx -dxx ： - x= sin xdx = 2- 0/f H(x)的.一、“，、山必 F/(x)=f(x)人二、已知F(x)是f (x)的原函数u J，求被积函数中含有j ! f (x)dx u F (x) c积分1、由f(x)=F

7、/(x)求出f(x),代入积分计算 2、把积分转化为 fW(x)dW(x)的形式，利用 f (x)dx = F(x)+c求值例3(1)空x是f(x)的原函数，a¥0,求jXadx xa解：因为sin匕是f(x)的原函数，所以f(x)dx=sn2 + c xx毋 f (ax) 1ax* 1. /xx lx sin t sin ax而-dx = f (t)dt 厂 c 3 c 223a aa t a x e、是f(x)的原函数，求Jx2f(lnx)dxx /-1斛：因为 f(x)=(e ) =-e ,所以 f(lnx)= - x2-2x贝U x f (ln x)dx - - xdx =

8、- c三、已知f(x)的表达式，求被积函数中含有f (中(x)的积分1、由f(x)求f (5(x),再把f (5(x)的表达式代入积分计算2、由f(x)先求f(x)dx,把含有f (中(x)的积分转化为Jf (9(x)d中(x)的形式处理例 4 (1) f (sin,22解：因为(e')= f (x),所以 f (x) = 2xe« , f f (x)dx = e" +cxf/(x)dx = xd f (x) =xf(x) - f (x)dx = -2x2e -e-xc(4) f (x) =xex,求f /(x) In xdx解：f/(x) lnxdx= ln xd

9、 f (x) = f (x) ln x (x) dx x) =-x-,求 x x f (x)dx sin x 1 - xIxf(x)dx =1 -xsin21.1 - sin21解：在 jf(x)dx中,令 x=sin2t得 1 -x_222_2f (sin t)d(sin t)=2 sin t f(sin t)dt=2 tsintdt = -2 td(cost) = -2tcost 2 costdt=-2t cost 2sint c因为 sin t = x , cost = . 1 _ x , t = arcsin , x所以 fWx= f(x)dx =-2,1-x arcsin Jx+2

10、Jx+c1 -x2(2)f (x2 1) =ln ,且 fH(x) = In x 求 N(x)dx x -2t 1.解：令 x2 -1 =t,则 f(t) =ln ，而 fp(x) = lnxt -1(x) 1x 1则 In (x) 1 = In x 即9(x)=(x) -1x -1x , 1(x)dx = dx = x 2 In | x T | cx -12(3) (e )/=f(x), f (x)连续，求 Jxf (x)dxx(5)解:(6)_xxxx _=xe lnx- edx = xe lnx-ecln f (x) =cosx ,* xf / (x)求dxf(x)xf / (x)dx

11、= xdin f (x) =xin f (x) _ in f (x)dx f(x)=xcosx - cosxdx = xcosx - sin x c设 f(x)=2x sint.dt ,1 t1求 o xf (x)dxx22解：因为 f(x) = dt ,所以 f (x)=2 2x1 tx2sin x2x10xf (x)dx =1 1,22 0f (x)dxx2f (x)2|0fx2 - o/2 ,f (x)dx = - 0 xsin x dx11 .2 , 2二一一sin x dx2 012 ,1cos1 1二一 cos x |0 三 一222四、利用凑微分法求积分 注意：f/g(x) g/

12、(x)dx = f/g(x) dg(x) = d f (g(x)/1例 5(1) f(0)=1, f(2)=3, f/(2)=5 ,求 Joxf(2x)dx“1令 2x±1 2 1 2/ tf/(t) 21 2 /斛：0xf (2x)dx = - 0tf (t)dt 0td f (t)4 |o - 0 f (t)dt_ f/(2) f (2) -f (0) =224(2)设 f (x)二阶可导，f/(b) = a, f/(a)=b,求f /(x)f/(x)dx a-/222b /b解:f (x) f (x)dx = f (x)df (x) =7la=；-aa(3)设 0f(x)+ f

13、 (x)sinxdx = 5, f3) = 2,求 f (0)JTJTJT解： 0 f/(x)sin xdx = ° sin xd f / (x) - - f / (x) cosxdx=一 0 cosxdf (x)= f (0) f (二)一 ° f (x) sin xdx因为 J。* f (x) + f / (x) sin xdx = 5 ,所以f (0) - f =5而 f (n) = 2,故"0) = 7五、已知 F / (x) = f (x),且 f (x) F (x) = g(x),求 f (x)方法：两边积分 jF /(x)F (x)dx = Jg(x

14、)dx ,得 F )= Jg(x)dx ,求 f (x)例 6(1) F(x)是 f(x)的原函数，且 x 之 0时，有 f(x) F(x)=sin22x,又 F(0)=1,F(x)之0，求 f (x)解：因为F(x)是f (x)的原函数，所以F/(x) = f(x),由于 f (x) F (x) = sin2 2x故 F/(x) F(x) =sin2 2x ,两边积分得F/(x)F(x)dx= sin22xdx =1,1dxcos 4xdx 二一sin 4x8Ci一 /F2(x)而 F/(x)F(x)dx = F(x)dF(x)-)C2故 F2(x) =x_sn4+c,又 F(0)=&quo

15、t;Hc=14所以氏尸卜”1 f(x)1 - cos 4x.4x - sin 4x 4(2)xf(x)连续，且当 x>1 时，f(x)"o f(t)dt+1=xxe2，求2(1 x)2f(x)解:xx令 g(x) = J0f(t)dt, g/(x) = f(x),由于 f(x)M0"t)dt + 1 =xxe2(1 x)2xg/(x)g(x)1=六两边积分得g/(x)g(x) 1dx =xxe .7 dx2(1 x)2xxeg(x) 1dg(x) 1 = x滔 2(1 x)dx4 1 x"I (1 x)因为g(x) 12xec1 xxg(x) = 0 f(t

16、)dt令 x =0得 g(0)=0，代入上式c = 0故 g(V-二2(1 x)2(3)已知f (x)为非负连续函数，且x A 0时,x 一 一 3fo f (x) f(xt)dt =x，求 f (x)x令x-t zuf (x) f0 f (u)du,令 g(x) = Jo f (u)du 处理提示：因为 0 f (x) f (x-t)dt =六、变上限积分的导数运算bX汪思：(1)如 F(x) = L f (t)dt,x Wa,b,则 F(x) = f dt ,则 F (x) = f(x)(2)如 F (x)=(S(x)f (t) dt,则由复合函数的求导法则有F/(x) =9F(u) du

17、 = f(u) "(x) = f (x)/(x)dxdx(3)如 F (x) = J(x)(x)f(t)dt,可得成F(x)=鼠、fdt +(x)f(t)dt,则 c，1、，=(x - -)dxxCe2 f (x)=xF/(x) = f (x)/(x)- f (x)/(x)x 0例 7 (1)已知 f (x)满足 xf (x) =1 + /2f(t)dt,求 f(x)解：两边求导得f (x) xf /(x) =x2f(x)x22两边积分得in f (x)-in x c,所以(2)求一个不恒等于零的连续函数f (x),x使它满足f2(x) = ,0f(t)sin t dt2 cost2

18、sin x解：两边求导得2 f (x)f/(x) = f (x)2 cosx/ sin x f(x) (2f (x)=02 cosx因为f(x)是不恒等于零的连续函数，故 f/(x)=四34 2cosx 1 sin x1两边积分得 f (x) = - dx = - ln(2 - cosx) c2 2 cosx 2,2 x sin t1在 f (x)= f(t)dt 中令 x = 0,得 f (0) = 0代入上式有 c= ln302 - cost2一11故 f (x) = - ln(2 cosx)ln 322注意：(1)上题要充分利用已知条件确定初始条件f (0) = 0(2)定积分或变上限积

19、分的被积函数有参变量时，必须通过换元，使被积函数不含参变 量，然后再求导x12,2例 8(1)已知 f(x)连续，tf (2xt)dt = arctan x , f (1) = 1 求f (x)dx - 02, 1解：令 2x -t = u ,贝Ux0tf (2x-t)dtx2x2x=-(2x-u)f (u)du = 2x f (u)du - uf(u)du 2 x' x' x2x2x122xJx f(u)du Jx uf (u)du = arctan x2xx两边求导得：2 f (u)du - xf (x) =4x1 x21因为f (1) =1 ,上式中令x=1得2f (u)

20、du f (1)= 1223所以 f (x)dx 二 一1411解：令 tx = u ,则 f (tx)dtx0 f (u)du(2)求可导数 f (x),使它满足 J°f(tx)dt= f(x) + xsinx1xC因为 o f (tx)dt = f (x) xsinx ,所以 0 f (u)du = xf (x) x2 sin x两边求导得 f/(x) =-2sin x-xcosx两边积分得 f (x) - -2 sin xdx - xcosxdx = cosx - xsin x cy .2由方程0edtx2 sin t0 tdt=1 (x>0)确定y是x的函数，求 dx解

21、:.2对x求导得ey/2dy 2sin x2y +2sinx =0,故一=-2dxeyy x .2/(4) y=y(x)是由xf e dt=0确定的函数，求y /x_0 - 1解：对 x 求导得 1 -e4ydx)2(y/ +1) =0 故 y/ =e(ydx)2_ly -x 2y 2在x-fi 6上出=0中令乂=0时，有小上出二0,即y=1故 y/ /xz0 = e -2注意：此题确定y的方法d x-f(x)(5)设f (x)为已知可导奇函数，g(x)为f(x)的反函数，则 xg(t - x)dtdx xx -f (x)-f (x)解：令 t x = u ,则 J xg(t -x)dt =

22、x J。 g(u)dud x -f (x)-f (x)/所以 一 xg(t-x)dt= g(u)du -xf (x) g-f(x)dx x0-f (x)/令 h(x)=4 g(u)du ,则 h (x) =f (x) g f (x) = xf (x)两边积分得 h(x) = xf/(x)dx = xf (x) - f(x)dxdx-f(x)2 /故一 xg(t-x)dt = xf(x) x f (x)-f(x)dx dx x(6)设函数 f(x)可导，且 f(0)=0, g(x)=tnf(xntn)dt,求 lim吗) xx d1 xn解：令 xn -tn =u 则 g(x) = f tn f

23、 (xn -tn)dt =- f f (u)du0n 0由于 g/ (x) = xn'f (xn)故 lim-lim©#limx 0 x x 02nx 2n x 0f(xn)1二一 lim2n xf(xn) - f(0)f/(0)2n七、求分段函数的不定积分先分别求分段函数 f(x)的各分段在相应区间的原函数F(x),然后考虑函数 F(x)在分段点处的连续性。如果f(x)在分段点x0处连续，则F(x)在x = x0处连续一x +1 x < 1例 9 (1) f (x)=，求 jf(x)dx2x x>1x1 又由于 F(-1) = lim F(x),即一1 = 一一

24、 十c3 得C3 = -一 斛：当 x£l 时，if(x)dx= i(x+1)dx= - + x+ci22当 x a 1 时，J f (x)dx = 2xdx = x + C2一 3一 11因为 f f (x)dx 在 x = 1处连续，故 1+c2=-+g,即 c2=-+c1= + c2222 x 一 + x +c x <1所以 f(x)dx = 221x c x 1 2(2) max(1,x2)dx1-1 < x <1解：maX 1, x2) = « x2x > 12 、xx < -1当一1 Ex W1 时，Jmax(1,x2)dx = J

25、dx = x+g2 一 2 . xx l33 当 x >1 时，fmax； 1, x )dx = fx dx =+c23322 x当 x < 一1 时，max； 1,x )dx = fx dx =十c33求满足F(1) =1的原函数1 一2由于 1 = F (1) = lim F (x),即 1 =1 +c1 =一 +c2 得 c1 = 0 , c2 = -x 133x c -1 < x < 1“22、 ,Jmax(1,x )dx = <x32. c x 133x32dc x -133(3) fxdx ( x - 0)解：分别求出在区间n,n+1 ( n =0,1

26、,2,3)上满足F(0) = 0的原函数在n,n+1上，Jxdx = nx + cn , F (n+1) - F(n) = n在n+1,x上，Jxdx = (n+1)x+酬+，F (x) F (n+1) = (n+1)(x n 1),n故xdx =01235 (n 1)(x -n 1) c = (n 1)(x 1) c2八、分段函数的变上限积分cosx例 10 (1) f (x) =cji0 - x -2ji=：x -二2x,求邛(x) = J。f (t)dt ,并讨论中(x)在0,冗的连解：当0MxM三时,2续性(x) = ° f dt = o costdt = sinJIJI当一

27、 Mx «兀时,*(x) = J f (t)dt = J2 costdt 十 Jncdt =1 2002jic(x -)Jl JTlim =(x) = lim sin x = 1邛(x)在0,一)，(一，立上连续，在x =一处, 222lim f (x) = lim 1 +c(x -) =1 , 2小兀故中(x)在x =一处连续 2cos x 0 < x < 2 x.,、.(2)f (x)=，求 f tf (x t)dt000°x - x > 222解：令 x -t = u ,x则 °tf(x-t)dt=x 0 f (u)du- 0uf (u)d

28、uJ° f (u) du = 1° cosudu = sin x°uf(u)du= ° u cosudu = xsin x cosx-1此时x°tf (x -t)dt =1 - cosxJIA 时,2x°f (u)du二x二 2 cosudu，I , (u 2-)du2 JI此时x0uf(u)duji2ucosudu - I , (u -2-)udu十十448-12x 0tf(x-t)dt=6二 x2(1)x 8二3 二-1482九、积分估值b估计积分J f (x)dx的值 a方法：(1)令 y = f(x), xwa,b(2)求y/

29、 = f / (x),确定f/(x) = 0和f /(x)不存在的点(3)在a,b上确定y = f (x)的最值b(4)利用 m(b-a) < f f(x)dxWM (ba)估计积分值 a22例11估计积分值ex «dx, 02解：设函数y=f(x)=e ,其中x 0,2/X2y =(2x-1)ex令 y =0,得 x = 一21 J因为 f =1 , f =e 4 f (2) =e2 ,故 e 4 < y <e2212"2 Vc所以2e 4 <ex 'dx < 2e2- 0bb十、形如 f (x) = g(x)+h(x) f(x)dx

30、 的等式，求 f(x)和(f(x)dx aab方法：(1)令(f(x)dx = A abbb(2)两端积分 f(x)dx=A= g(x)dx- Ah(x)dx aaabb得 A = f g(x)dx+A(h(x)dx,求 A的值 a- a(3)把A的值代入原式求 f(x)o 1o 2例 12 设 f (x) = x +x Jo f (x)dx +x J。f (x)dx ,求 f (x)1 2解：令 f(x)dx=a, (f(x)dx = b贝 Uf (x) = x ax2 bx32 1两边积分f (x)dx(x axbx )dx = 一 ,一 一002 3 4即 8a -3b =63 -2。&

31、#176;8a两边积分f (x)dx = (x ax bx )dx =2 4b003即 8a -3b =6,3一 . . 3x23故2=， b =1 ,即 f(x)=x+x88十一、已知函数 f (x)在a,b上的形式，求f (x)方法：(1)求f/(x)(2)对 f/(x)两边积分得 f(x)=F(x)+c(3)取d w a,b,由已知条件求 f (d)的值确定c.22例 13 (1)设 0MxW±, 2sin xcos x求 f (x) = 0 arcsin . tdt+ 0 arccos, tdt解：两边求导得 f/(x) = xsin 2xxsin 2x = 0 ,所以f(x

32、)=c ( c为常数)1 t dt0 1-t1又因为当 x = 0时，f (x) = Jo arccos Jtdt .4所以 f(x)=435 cx 1-1设 x>0, f(x)= dt+ fx一利t ，求 f(x) 01t20 1 t2_ _/111 一斛：两边求导得 f (x) =2- = 0,所以f (x) = c ( c为常数)1 x x 1.112x1 1二又因为当x=1时，f(x)=2fdt= 01 -t22所以 f (x)=2231 - y十一、例 14 已知(fdx + ydx + fy dx + y y dx) f-dx = 一1 ,求 x = f (y).1 - y解

33、：因为(dx - I ydx - i y2dx - i y3dx) 1y4dx = -1 1 -y所以 dx - I ydx - i y2dx , i y 3dx3 1-y4dx23两边对x求导得1 + y + y + y1 -y1-y41 -y1-y4dx)2故(.；114dx)2 =(;1)21 - y1 - y即 1y4 dx1-y二号或号dx1 - y41 -y1 -y4时，令u(x)=u(x) =Cex 而 u(x)=一 _23、C(1 y y y )同理(略)十三、计算1、如果I1 -y1 -y41 -y1 -y4，则u/(x) = u( x)，此时两边积分得所以Cex =1 -y

34、1-y423、，即 x =ln(1 + y + y +y )+cb=f1(x)dx,令 x = a1,一得I = f t 2(x)dxb2I = f1(x) f2(x)dx = A , a解:所以(1 xp)(1 x2)dx人 1.1 .令 x = -，即 dx = 二 dttt2(1 xp)(1x2)dx =-be2IJI2、形如02例 16.02(1 xp)(1x2)dxdx的积分，令2005 cos x2005. 2005cos x sin xdx1(1 -)(1tp1t2t2tp(1 tp)(1 t2)dtxp(1 xp)(1x2)dx=0ji-x ,然后相加处理2二 dx 二1 x2

35、2解：令 t = ± 一 x,则 dx = dt2-20052COs X,02005；20050 cos x sinx0 dx 二-二 22.2005cos (- -t)22005 '2005cos (- -t) sin2dt冗 (i-t)ji02.2005 ,sin t dt2005 x . 2005 x dtcos tsin t所以2Icos2005cos2005x sin2005dx.2005sinx2005；2005cos x sin x冗dx 二一2, 五故I = 一4Asin x Bcosx .3、形如 dxC sin x D cosx令 Asin x + Bco

36、sx =a(Csin x + D cosx) + b(Csin x + D cosx)确定 a,b3sin x -4cosx , 例 17 (1) Jdxsin x 2cosx解：令 3sin x -4cosx = a(sin x 2cosx) b(sin x 2cosx)/比较上式两端得/即a = -1 , b = -22a +b = T3sin x -4cosx , sin x 2cosx ,- (sin x 2cosx)/ ,dx :-dx -2 dxsin x 2cosxsin x 2cosxsin x 2cosx=-x -2 ln | sin x 2 cos x | c/c、sin

37、x ,dx3sin x 4cosx解：令 sin x = a(3sin x 4cosx) b(3sin x 4cosx)/比较上式两端得3a -4b-14a 3b =0一 34即a =,b =-2525sin x ,3 3sinx 4cosx _4 (3sin x 4cosx)/ ,dx =dx - - dx 3sin x 4cosx 25 3sin x 4cosx 25 3sin x 4cosx34x -In 13sin x 4cosx | c25254、利用公式1 22dx a sin x bcos x2sec x!2dx =a tan x bf d吁x处理a tan x b解:dx二2

38、L 23sin x 4cos x2dx0 3sin2 x 4cos2 x5sec2 x 11 2 dtanxdx = - 2 0 4 3tan x 4 0 3tanx、2 1r )2d2301 3tanx 2(2)3 tan x213tanxxl2arctan(-)|22,323:12x5、禾U用 j，dx =ex xxk 1 -k的分母次数降低一次11 -kxek xdx计算，每用一次分部积分法，被积函数xxe例 19(1) (dx(1 x)2xxx解：因为 *dx ) dx- -e-dx (1 x)21 x (1 x)2xxxe-dx-iex.xe , e故2 dx 二 c(1 x)21

39、xd(-) =- dx(1 x)1 x 1 x 1 x(4)-sin x esin 2x , dxji1 - cos(-x)2解：sin4(-x)<dx = - arctan x | =(1-sinx)4 224,sin xe sin 2x则dx -8_sin x e sin x4 二 x sin (-)42(1 - sin x)d(sin x)t .令一sinx =t,则原式=8 e 9 dt(1 t)2,r , .et t由上式知8 e ；dt =(1 t)2吐，原式=£1 - sin x6、当f (x)在-a,a上可积，则a=0 f(x)f(-x)dxa1 af(x)dx

40、 = -f(x)f(-x)dxaa-、？1.例 20 (1) 4 dx-41 sinx71解：4 一一1-N1 sin x1 t dx,4一2-4 1 sinx 1 -sinxdxt L-41 - sin2 dx xJI工=2二一 2"4n .4 dx4 =tanx|-4 cos x1.4x2(e 1)(1 x )dx解:才 dx1 (e 1)(1 x )(ex 1)(1 x2)(e" 1)(1x2)dx1，41 x2I -一47、积分fo f (x)dx ,作变量替换t = b -x得Ib=0 f (b - x)dx1 bb= 21.0f(x)dx 0f(b-x)dx例

41、21 (1)二 xsinsin2n2n x2nx cos-dx x解:_ 2nxsin x2n :sin x cos2ndx4二 xsin2n x(二-x)sin2n (二-x)0 一. 2n 2n_ 2n /；2n ,； dx0 sin x cos x sin (. - x) cos (. - x)Jl 万- 02nsin x .22 dx .二sin x cos x2n2 sin2n sin x2n x cos-dx x2nsin x，7. 2n2-2 sin x cos x所以dx2ncos x 2n2nsin x cos xdx一. 2nxsin x, 2n2nsin x cos-dx

42、 x2nsin x.2n2nsin x cos xdx 二 022ncos x.2n2nsin x cos xdx(2)ln(1 tan x)dx解:041n(1 tan x)dxJi一 04 ln(1 tan x) ln(1 tan1=3 °4 ln(1tan x) ln(8、利用被积函数的奇偶性求积分如果f(x)是-a,a上的偶函数,1 tanx)dx =1 -4 In 2dx =af (x)dx = 2 ° f (x)dx二 In 2如果f(x)是-a,a上的奇函数,f (x)dx = 0例 22 2 (x3 sin2 x) cos2 xdx2解：因为函数x3sin2

43、x是奇函数,n2- x3 cos2 xdx = 02?，3. 2 、2.1 22.1 二所以 2_(x sin x) cos xdx = 2sin xcos xdx = _ 2_ (1 cos4x)dx-iW8 q89、凑微分法利用第一换元法和分部积分法常见的凑微分公式1 ., x .x .1、3 dx -d(2 )3 dx vY(2 )2 .21 x2. 2, 1 x(1 x )2(1 x )2x .,1.1. x 、3 dx =d(2)3 dx =d(2)2、21 - x2 .2. 1 - x(1 一x )2(1 -x )21 dx = dln( x + J1 +x2)x dx = d (

44、J1 + x2)1 x21 x2x1 -x2dx 二-d( .1 - x2)例 23 (1) Jxx(1 +ln x)dx解：xx(1 lnx)dx= exlnx(1 In x)dx = exln xd(xln x) = ex1nx c = xx c(2)sin 2x .2e sin x2x edx解:sin 2x . 2e sin x2x edxsin 2x -2x2=e sin xdxesin2xx . c4(3)dx解:2 xx6 3d(x3) 3 (x3)2 31.3 T3一 ,x 八arctan( ) c310、分段函数的定积分例242 ：,，(1) 1小池解:2 2 二.1 sin

45、 xdx =- 0- 0. 2 x c . x x 2 x .sin 一 2sin cos cos dx2二.x x .- 一二 c ln nr: . x 二一.=0 1s1n 2 cos2 dxi2 0 1slM2 ；)1dx3：:=.05s呜 4)dx-=2. 2 2 - .2 =4(2)1 11.0( )dx0 xx解:dx 二1 . = dt ,当 x=1,t =1 ；当 xT +0,tT +g t211则0(x-x)dx：1tJ n 1 1nJ-二 i (2-)dt i (2)dt =ln( n 1) ln n1 tt2nJn t t21,11111mln(n 1)-(2 31) n

46、 1=1 -c1"T" "T"2c = 0.577216-称为欧拉常数,且 lim 丁 = 0n j： nn n(3)v | x - i |dx0yn=xi 12n3 n60|x -i dx = ' 0(1 -x)dx (x - i)dxn=' (i2 -in i W(4)a /0xf (x)dxaa k 1a解:0xf/(x)dx 八 k kf/(x)dxaaf/(x)dxk z0= af(a 1) af(a) -af(a) - f(1)- f(2)- f(a)(5)x cos2 * x - cos4 xdx0解:x. cos2 x -

47、 cos4 xdx =- 01 -1 一.-0x|sin2xdx= 2 02 xsin2xdx-2二 xsin2xdx22713171=+ =884(6)330sgn(x -x )dx解:3- 1d13 3 °sgnsin(lnx)dx0sgn(x -x )dx = 0dx20exdxx = 2时,2=e；当 x=0时，t = 1所以 J0exdx = J1 dt6=£k 1-dt，dt=14 ln7!7 t解:当 sin(ln x) >0,得2n 二e : x : e“nnw,其中 n =1,2,3，当 sin(ln x) <0 ,得_2n2n 2 -e &l

48、t;x <e ，其中 n =1,2,3,-故 osgnsin(ln x)dx =" «21 二e二2 二二dx- 1二二 dx =(2e-：-e2二-1广 nT-2n 二 eC 二 2 二2e -e -1100 二(8) 0 J -cos2xdx100-解：0 'cosk.:| sin x dx_ 100 - 992xdx = 2| sin xdx = . 2k 099 二 k2 二 | (-1) sin 11 dt k日0二 198 2n -(9) ° x|sinx dxnn 1 kj4冗令x-kj土 n-l 冗解： x | sin x |dx - ' x |sin x dx = 、 (k奠 +1)sin tdt,0k0k =0k=0n -1一2(2k 1) 二n 二k=011、利用第二换元法求积分xarctane