初等代数研究课后习题答案完整版余元希

1、欢迎共阅初等代数研究课后习题完整版湛江师范学院数学院09(7)余1、证明自然数的顺序关系具有对逆性与全序性，即(1)对任何a,bw N ,当且仅当a <b时，b >a.(2)对任何a,bwN,在a<b, a = b, a > b中有且只有一个成立.证明：对任何a,bwN,设A = a, B=b(1) “ = " a <b,则三B, u B ,使 A B, ,，Bn B, A，二 b >a“u ” b>a,则前，u B,使 B, A,二 ABv B ,二 a<b;综上对任何a,bwN, a<bu b > a| I | J |

2、；(2)由(1) a<bu b > a,a <b与a Ab不可能同时成立，假设,a cb与a =b同时成立，则3B, c 8,使A B,且A B ,7 尸。 /Z J 1.】IZ ：fb B B,与B为有限集矛盾，a <与2 = b不可能同时成立，综上，对任何a,bwN,在a<b, a = b, a >b中有且只有一个成立.2、证明自然数的加法满足交换律.证明：对任何a, bw N设M为使等式a+b = b+a成立的所有b组成的集合 r- - I、 f先证 a+1=1+a,设满足此式的a组成集合k,显然有1+1=1+1成立，1Wk*,设a。，a+1=1+a,

3、JM二 a 十三 k , ，k = N , 取定 a ,则 1M #巾，设 bM,a + b = b + a,则 二二一，二对任何 a, be N , a+b = b+a3、证明自然数的乘法是唯一存在的证明：唯一性：取定a ,反证：假设至少有两个对应关系f ,g ,对Vbw N ,有f(b) ,g (b) N设M是由使f(b)=g(b)成立的所有的b组成的集合，f (b) = g(b) =a 1- 1 WM 独 设 b w N 则 f (b) = g (b)，f (b) + a = g(b) + a二 f (b) =g(b),- b+e M , ，M = N 即 Vb w N , f (b)

4、= g(b)乘法是唯一的存在性：设乘法存在的所有a组成集合K 当a = 1时，bbN N ,1 1 =1,1 b+=b+=b+1 =1 b+1, iw k ,设 aw K , Vb= N ,有 a,b 与它对应，且 1，a=a, ab+=ab+a,对 vbwN,令 a% = ab + b,a +w K 二K = N即乘法存在p245、解：满足条件的 A有 A1=1,2, A2 =1,2,3, A3 =1,2, 4, A4 =1,2,5备=1 , 2, 3, 4强=1,2,3,5 , A7=1,2,4,5 , A8 =1,2,3,4,5 A1=2,a2 = A3 = A4=3,A5 = a6=A

5、7 =4,A8 =5基数和为 2+33+43+5=28p246、证明：A = a,B=b, A中的x与B中的y对应，A m B = ab ,二 B 父 A = ba = ab . .11 ' .1 1p248、证明：1) 3+4=72) 3 4=12. IJ U? Ip2412、证明：1) (m + nj+=m+ + n +2) (mnj+=nm+m* J：”.1.产 Ijjp26-36、已知f (m, n)对任何m, n w N满足求证：1) f (2, n) = n 2 2) f(3,n)=2n+23) f(4, n)=2n41-2a 飞、 t JI证明：1)当 n=1 时，f(2

6、,1) = f (1 + 1,1)= f(1,2) =2+1=1+ 2结论成立，假设n = k时，结论成立，即f(2,k)=k+2,当n=k +1时，所以对一切自然数结论都成立2)当 n=1 时，f(3,n) = f(2+1,n) = f (2,2) =2+2 = 2 1+2 结论成立假设n = k时，结论成立，即f(3,k)=2k+2当n=k +1时，所以对一切自然数结论都成立3)当 n=1 时，f(4,1)= f(3+1,1)= f(3,2) = 2x22 = 21*2 结论成立假设n=k时，结论成立，即f(4,k)=2«-2当n = k +1时，所以对一切自然数结论都成立p62

7、1、证明定理2.1证明：va,b,c,d wZ , a,b+c,d =a+c,b+d因为自然数加法满足交换律a +c,b+d=c+a,d +b I * j Ii '而c,d a,b =c a,d b, a,b c,d =c,d a,b司a,b,c,d,e, fwZ ,以为自然数满足加法结合律.(a,b c,d) e, f =a,b (c,d e, f )11 I1 J I / 即整数加法满足交换律和结合律I I|i1 p622、已知a,b,c,dwZ ,求证a,b =c,d的充要条件是a, b-c,d =1,1证明：已知a,b =c,d贝U a+d =b+ c“u ” 已知a,bc,d

8、 =1,1则a + d,b+c = 1,1, a + d = b + cp624、已知 a, b N ,求证(-a,b) =a, b iI证明：-a,b£7b,a-( 4a b 户-b a, = ab,p625、已知a,b,c,dEZ ,求证-(a,b c,d) = a,b+c,d "-0JI证明：左边(a,bc,d) =-a+d,b + c =b+c,a+d右边-a,b+c, d = b, a +c, d =b + c,a + d所以左边等于右边- -(a,b -c,d) =-a,b c,dp627、已知 a,b,cN,求证当且仅当 a+d < b + c时a,b

9、<c,d证明：“二” 已知 a+d<b+c, a,bc,d = a+d,b + c因为 a d ： b c a d, b c!负数，a,b < c, d已知a,b <c, d则a,b c,d =a +d,b +c因为a+d,b-c是负数,二 a+d<b + cp629、已知 a,PwZ,求证：1) d + 耳 M « +j P| , 2) 口耳=叫耳证明：设：=a,b, =c,d1) a +P =a +c,b +d /. |cc +P| =|(a+ c)- (b d)而闻=a -b ,| P| =|c-d2) up =ac+bd,ad +bc 二怦 =|

10、ac +bd - (ad +bc)| i '而问=|a _b=|c d. p6312、n名棋手每两个比赛一次，没有平局，若第k名胜负的次数各为ak,bk, ,IIk =1,2, n , 求证：a；+a2+. + an =b1+b2+ bn11 ;证明：对于ak(k=1,2,，n),必存在一个bj( j =1,2,n)使得ak =""XjX： 1| 二jj / /p63-16、已知 p|10a-b, p|10c-d ,求证 p|ad -bc证明：由已知： 玉,t w Z 使10a b = ps , 10c -d = ptp6317、设2不整除a,求证8 a2+1i)证

11、明：因为2不整除a ,所以存在唯对q, r w Z ,使a = 2q + r ,其中0 二 r ：二 2=r =1 ,a2 =4q2+4q+1 = a2-1=4q(q+1), 8 a2-1"-0JIp6320、设 aZ,求证 a(a+1)(a+2)(a+3)+1 是奇数的平方证明：a十1,a十2肯定一奇一偶/. (a +1)(a + 2)肯定为偶数二(a+1)(a +2) -1肯定为奇数p6322、证明：前n个自然数之和的个位数码不能是 2、4、7、9证明：前n个自然数的和为ann2因为：n个自然数的和仍为自然数二 1+n与n中必定一个为奇数一个为偶数若个位数码为2则1+n与n的个位

12、数码只能是1,4或4,1而(1+n) - n=1二个位数码不能为2若个位数码为4则1+n与n的个位数码只能是1,8或8,1也不可能成立若个位数码为7则1+n与n的个位数码有2种可能，则2,7或1,14也不可能成立，若个位数码为 9则1+n与n的个位数码有2种可能，即2,9或1,18也不可能成立，综上，前n个自然数和的个位数码不能是2,4,7,9p6326、证明2.3定理1(4®,a”)=(同,同,同)证明：因为：(a1，a2,.an,)是a1，a2,.an的公因数中的最大数所以R需考虑非负整数二(为但,.an,)=(同,|a2,同)"11 I p6329、证明2.3定理4的

13、推论(a,b) =1的充要条件是有x, y w Z使得ax+by = 1证明：因为(a, b)=1,a,b不全为0、二_f iI 厂) / '“二”由定理 4 mx, y w Z 使 ax+by = (a,b) = 1“u ”设(a,b) =d 则 d|a,d|b ,二 d|ax + by 二 d|1 d =( a, b) = 1p6330、证明2.3定理6及其推论。定理 6:若m N ,则(ma, mb) = m(a,b)证明：若a,b都为0,则(0,0) =m(0,0)显然成立若a,b不全为零，则 永0,y° J 使ax°+by0 =(a,b) '

14、9;''''、max +mby =(ma, mb)而 max + mby = m(ax +by )因为 Vx,yWZ, ax0+by0 |ax + by ax0 + by01 ax + by而(ma, mb) amx0 + mby0 =m(a,b) .(ma, m 牛 ma ?推论：设d是a,b的公因数，则(a/d,b/d) =1的充要条件是d=(a,b)证明：“ n" d 是 a, b 的公因数二 d w N , d =c( a/ d, b/ d)= ( a, b“ u ” 因为 d = (a,b)，戈 y w 乙使 ax + by = d二 三x,

15、 y w Z ,使(a/d)x+ (b/d)y =1 = (a/d,b/d)=1p6432、证明2.3定理七及其推论定理七：若(a,c)=1, bwZ, b,c中至少有一个不为0,则(ab,c) = (b,c)证明：b,c中至少有一个不为0 与x, y w Z使abx+cy =(ab,c)因为(a,c)=1(a b, c) b, (a b, c)因为(b,c) (ab,c) /. (a b, c)= (b,c)推论：若(a, c)=1, (b,c)=1,则(ab, c)=1证明：因为(b,c)=1 ,，b,c不为零二(a b, c)= (b ,c上 1p64-33、已知 n是奇数，n|a+b,

16、n|a-b,求证 n|(a,b)证明：因为 n|a+b,n|a-b n a + b» + ( a - k) , n ( a 0 一(a 0二 n |2 a, n 2b n|2 (a ,b,)因为 n 是奇数,n|(a,b).二： III I 1 1 ,./,1y. I I 'it I ,p64-36、已知(a,b) = d,(a ,b ) = d ,求证(aa , ab , ab, bb ) = dd. i r-_ j I 'j _.J F|I IL-气 7/'u/ I证明：(aa , ab ) = a(a ,b ) = ad ,(ab,bb ) = bdp6

17、4-40、已知aw N ,求证a,2a,na中n的倍数的个数等于(n,a)证明：当(n,a)=1时，n|na结论成立，当(n,a) = d 时，d >1 ,令 a = da1 , (n, a1) =1 ,则 a,2a,na 可改写为r- I 、da1,2da1, nda1 因为 d >1 所以其中一定包括 na1,2na1, (d -1)na1,dna1 都是n的倍数，共有d个p6442、已知p是异于3的奇素数，求证241P2-1证明：p是异于3的奇素数，-p2-1为偶数，p>3=p2 -1>9p2 -1 =(p +1 ) p -算片p+1,p-1都为合数，且都大于3二

18、p十1,p -1都可被2、3中的一个整除,若2 p-1 ,则由p+1=(p-1) + 22 p+1 ,因为 p +1 >3, p-1>3- 2 4p2 - 1p6444、已知整数a,n都大于1, an-1是素数，求证a = 2且n是素数证明：反证 n不是素数 当a=2时an _1不是素数与已知矛盾，所以n是素数p6445、求不大于50的一切素数解：平方不大于50的素数是2,3,5,7则不大于50的一切素数2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47p64一p64-49、已知整数 a,b,c都大于 1,求证(a,c),(

19、 b, c) = (a, b, c)证明：(a,c),(b,c) = (a,c)(b,c) =( ab ,c)=(a,b,c)(a,c),(b,c)(a,b)、声 j Ii 'p66-69、已知 p 是奇素数，求证 1) 1+2p+3p + + ( p1)p 三 0(mod p) *, zd!_ /I I % >j 12) 1 2p,3pJ . (p-1)pJ = 1(mod p)证明：1)因为(1,p) =1,(2, p) =1,(p-1,p)至 1 yl| ；/?: T. j .I l A "，1p 三 1 ( m cpd , )2p 三 2(mod p),1- , IJ &