乘法公式复习附答案

1、华夏教育 初二数学 乘法公式一、复习: (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 数形结合的数学思想认识乘法公式：假设a、b都是正数，那么可以用以下图形所示意的面积来认识乘法公式。 如图1，两个矩形的面积之和（即阴影部分的面积）为(a+b)(a-b)，通过左右两图的对照，即可得到平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2；图2中的两个图阴影部分面积分别为(a+b)2及(a-b)2，通过面积的计算方法，即可得到两个完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2及(a-b)2=a2-2ab+b2。二、乘法公式的用法(一)、套用:这是最初的

2、公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础。注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”例1 计算： 解：原式例2 计算(-2x2-5)(2x2-5)分析：本题两个因式中“-5”相同，“2x2”符号相反，因而“-5”是公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的a，而“2x2”则是公式中的b解：原式=(-5-2x2)(-5+2x2)=(-5)2-(2x2)2=25-4x4例3 计算(-a2+4b)2分析：运用公式(a+b)2=a2+2ab+b2时，“-a2”就是公式中的a，“4b”就是公式中的b；若将题目变形为(4b-a2)2时，则“4b”是公式中

3、的a，而“a2”就是公式中的b（解略）(二)、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。例1 计算：解：原式 例2 计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（2-1），则可运用公式，使问题化繁为简解：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1) =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1) =(24-1)(24+1)(28+1) =（28-1）（28+1） =216-1三、逆用:学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。例1 计算：解：原式 例2

4、计算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆用完全平方公式，则运算更为简便解：原式=(2a+3b)2+2(2a+3b)(4a-5b)+(4a-5b)2=(2a+3b)+(4a-5b)2=(6a-2b)2=36a2-24ab+4b2四、变用: 题目变形后运用公式解题。 例1 计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)分析：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“2x”、“5”两项同号，“y”、“z”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式解：原式=(2x+5)+(y-z)(2x+

5、5)-(y-z) =(2x+5)2-(y-z)2 =4x2+20x+25-y+2yz-z2 例2 计算：解：原式 五、活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。例1 已知，求的值。解： 例2 计算：解：原式三、巩固练习 1、已知，求的值。解： 2、已知a+b=2，ab=1，求a2+b2和(a-b)2的值。解析此题可用完全平方公式的变形得解。解：a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2=2 （a-b)2=(a+b)2-4ab=4-4=03、已知x-y

6、=2，y-z=2，x+z=14。求x2-z2的值。解析此题若想根据现有条件求出x、y、z的值，比较麻烦，考虑到x2-z2是由x+z和x-z的积得来的，所以只要求出x-z的值即可。解：因为x-y=2，y-z=2，将两式相加得x-z=4，所以x2-z2=（x+z）(x-z)=14×4=56。 4、计算19992-2000×1998解析此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。解：19992-2000×1998 =19992-（1999+1）×（1999-1） =19992-（19992-12）=19992-19992+1 =1

7、 5、运用公式简便计算（1）1032 （2）1982解：（1）1032=(100+3)2 =1002+2´100´3+32 =10000+600+9 =10609 （2）1982=(200-2)2 =2002-2´200´2+22 =40000-800+4 =39204 6、判断（2+1）（22+1）（24+1）（22048+1）+1的个位数字是几？解析此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案，故有一定的规律可循。观察到1=（2-1）和上式可构成循环平方差。解：（2+1）（22+1）（24+1）（22048+1）+1 =（2-1）（22+1）（24+1）

8、（22048+1）+1 =24096 =161024因为当一个数的个位数字是6的时候，这个数的任意正整数幂的个位数字都是6，所以上式的个位数字必为6。 7、计算（1）(a+4b-3c)(a-4b-3c) （2）(3x+y-2)(3x-y+2)解：（1）原式=(a-3c)+4b(a-3c)-4b=(a-3c)2-(4b)2=a2-6ac+9c2-16b2 （2）原式=3x+(y-2)3x-(y-2)=9x2-( y2-4y+4)=9x2-y2+4y-48、解下列各式（1）已知a2+b2=13，ab=6，求(a+b)2，(a-b)2的值。（2）已知(a+b)2=7，(a-b)2=4，求a2+b2，

9、ab的值。（3）已知a(a-1)-(a2-b)=2，求的值。（4）已知，求的值。分析：在公式(a+b)2=a2+b2+2ab中，如果把a+b，a2+b2和ab分别看作是一个整体，则公式中有三个未知数，知道了两个就可以求出第三个。解：（1）a2+b2=13，ab=6 (a+b)2=a2+b2+2ab=13+2´6=25 (a-b)2=a2+b2-2ab=13-2´6=1 （2）(a+b)2=7，(a-b)2=4 a2+2ab+b2=7 a2-2ab+b2=4 +得 2(a2+b2)=11，即 -得 4ab=3，即 （3）由a(a-1)-(a2-b)=2 得a-b=-2 （4）

10、由，得 即 即 四、知识拓展两数和的平方的推广 (a+b+c)2 =(a+b)+c2 =(a+b)2+2(a+b)×c+c2 =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 =a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac 即(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac几个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的积的2倍。例 计算(2x+y-3)2解：原式=(2x)2+y2+(-3)2+2·2x·y+2·2x(-3)+2·y(-3)=4x2+y2+9+4xy-12x-6y五、怎样熟练运用公式：（一）、明确公式的结构特征这是正确运用公式的

11、前提，如平方差公式的结构特征是：符号左边是两个二项式相乘，且在这四项中有两项完全相同，另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平方差，且是相同项的平方减去相反项的平方明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式（二）、理解字母的广泛含义乘法公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式理解了字母含义的广泛性，就能在更广泛的范围内正确运用公式如计算（x+2y3z）2，若视x+2y为公式中的a，3z为b，则就可用（ab）2=a22ab+b2来解了。（三）、熟悉常见的几种变化有些题目往往及公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算，此时要根据公式特征，合理调整变化，使其满足公式特点常

12、见的几种变化是：1、位置变化 如（3x+5y）（5y3x）交换3x和5y的位置后即可用平方差公式计算了2、符号变化 如（2m7n）（2m7n）变为（2m+7n）（2m7n）后就可用平方差公式求解了（思考：不变或不这样变，可以吗？）3、数字变化 如98×102，992，912等分别变为（1002）（100+2），（1001）2，（90+1）2后就能够用乘法公式加以解答了4、系数变化 如（4m+）（2m）变为2（2m+）（2m）后即可用平方差公式进行计算了5、项数变化 如（x+3y+2z）（x3y+6z）变为（x+3y+4z2z）（x3y+4z+2z）后再适当分组就可以用乘法公式来解了（

13、四）、注意公式的灵活运用有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便如计算（a2+1）2·（a21）2，若分别展开后再相乘，则比较繁琐，若逆用积的乘方法则后再进一步计算，则非常简便即原式=（a2+1）（a21）2=（a41）2=a82a4+1对数学公式只会顺向（从左到右）运用是远远不够的，还要注意逆向（从右到左）运用如计算（1）（1）（1）（1）（1），若分别算出各因式的值后再行相乘，不仅计算繁难，而且容易出错若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式，则可巧解本题即原式=（1）（1+）（1）（1+）××（1）（1+）=×××××× =×=有时有些问题不能直接用乘法公式解决，而要用到乘法公式的变式，乘法公式的变式主要有：a2+b2=（a+b）22ab，a2+b2=（ab）2+2ab等用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效如已知m+n=7，mn=18，求m2+n2，m2mn+ n2的值面对这样的问题就可用上述变式来解，即m2+n2=（m+n）22mn=722×（18）=49+36=85，m