数与形教学设计

1、“数与形”教学设计 教学内容:人教版义务教育教科书 数学六年级上册P107例1，P108做一做1题，2题练习二十二第1题、第2题。教学目标：1.使学生通过自主研究发现图形中隐藏着的书的规侓，并会应用所发现的规侓。    2.使学生会利用图型来解决一些有关的问题。3.使学生在解决数学问题的过程中，体会和掌握数形结合、归纳推理、极限等基本的数学思想。 教学重点:  借助“形”感受与“数”之间的关系，培养学生用“数形结合”的思想解决问题。教学难点:能用“数形结合”的思想解决问题。教学具准备：课件、不同颜色的小正方形教学过程：一、体会形中有数，数中有形，数形相关

2、1. 谈话引入师：提到“数学”，你会想到什么？生：数字、图形、运算符号、小数师：如果把刚才同学们说的内容分分类，一类可称为“数”，另一类是“形”，“数”和“形” 是数学中两类最主要的研究对象。那么，数与形之间有没有关系呢？（个别学生点头，大多数学生沉默）有的同学凭着感觉认为有，有的同学从来没有思考过这个问题，看看通过今天这节课的学习，你们有没有新的认识。板书：数形 2. 教学例1 出示：师：这是一组图形，你发现它们之间的规律了吗？请用数或式子表示你发现的规律。学生思考、表达，教师巡视、采样，然后全班交流。板书规律一：1 4 9 16师：谁能读懂这位同学发现的规律？说一说这些数的含义是什么。生：

3、“1”表示第一幅图有 1 个小正方形， “4”表示第二幅图有4个小正方形，“9”表示第三幅图有9个小正方形，“16”表示第四幅图有16个小正方形。板书规律二：1×1 2×2 3×3 4×4师：很多同学是这样写的，这个规律表示什么意思？生：第一个图形的边长是 1，所以用 1×1；第二个图形的边长是2，所以用2×2；第三个图形的边长是3，所以用3×3；接下来是4×4。板书规律三：1 1+3 1+3+5 1+3+5+7 师：我还发现有的同学是这样写的，这是什么规律？生：“1”是指第一个图形有1个小正方形； “1+3”表示

4、在第一个图形的基础上增加了 3 个；“1+3+5”表示在第二个图形的基础上增加了5个师：谁能在图上指一指1、3、5、7分别在哪里？教师在学生指的地方对应写数：1357师：这位同学观察的角度比较特别，我们用不同颜色把他发现的规律表示出来。（教师用彩色磁条在图形上分别表示出 3、5、7 的位置）师：这几种观察规律的角度有什么不一样？生：规律一是从小正方形的数量来观察的，规律二是从图形边长相等的特点来观察和表示的，规律三是从图形外围增加的小正方形个数来观察的。师：尽管观察的角度不同，但同学们都能用数来表达它的规律，对吗？生（齐声）：对！师：如果沿着1+3+5+7这个规律继续往下想，1+3+5+7+9

5、+11+13这个式子对应的图形是什么样子的？生：我认为是边长为7的正方形。师：给大家讲讲，为什么是边长为 7 的正方形？生：（上黑板前演示）因为图形右上角的小正方形是重叠的（学生的意思是，这个小正方形既包含在最上边的横行中，也包含在最右边的竖列中），应该用13加1等于14，再用14除以2等于7，所以边长是7。师：还有不同的方法吗？生：我是用数的方法。一共有1、2、3、4、5、6、7,7步。这个已经是4步了，再加3等于7。师：你给大家再数一下，7在哪儿？生：1、2、3、4、5、6、7，一共 7 个数相加，所以边长是7。师：同学们真棒！你们通过算或数的方法，都找到了这个算式对应的图形，它是边长为7

6、的正方形，也就是1+3+5+7+9+11+13=49。那么，1+3+5+7+9+11+13+15+17+19这个算式对应的图形又是什么样子的？等于几的平方呢？生（齐声）：边长为10的正方形，等于10的平方。师：为什么？生：因为算式中有10个加数。师：也就是1+3+5+7+9+11+13+15+17+19= 100。回顾研究这个问题的过程，同学们在图形中看到数的影子，在数中想到图形的样子。你们觉得数和形之间有没有关系？生（齐声）：有！师：对，数中有形、形中有数，数形之间有关系。那么，数和形之间有着怎样的关系呢？我们接着探究。二、体会以形助数，以数解形，数形互助1. 教学例2 出示：师：观察这个算

7、式，它有什么特点？生：后一个分数是前一个分数的 师：算式中的省略号是什么意思？生：后边还有很多数，无数个。师：“无数个”就是没有尽头的意思。按照这样的规律没有尽头地加下去，它的和等于多少？（学生沉默）师：没感觉是吧？没关系！同学们可以借助图形找找感觉。师：请你从上面 3 个图形中任选一个，然后在你选择的图形中找到它的 ，在 的基础上加上它的 ，再加上它的 ，按算式的求一直加下去，看看能不能找到和是多少。学生操作，教师巡视、指导，然后全班交流。出示学生作品一：师：仔细观察，这位同学先通过平分找到圆的 ，然后在 的基础上做什么？生：继续平分，加上师：如果继续往下加，下一个数加在哪里？生：加在空白部

8、分。师：算式的意思就是在空白处不停地加下去。出示学生作品2：师：这位同学是用线段图表示的，他先找到线段的 ，然后加上 ，再加上 。算式中的省略号表示哪里？生： 右边的空白处。师：感受一下，这样一直加下去，和应该是多少？有几位学生指出和等于1，大部分学生认为和无限接近于1。师：老师用正方形再来演示一下加的过程。课件出示：师：按这样的规律加下去，和是多少？生：1。生：无限接近于1。学生意见不统一，相互争论起来。师：有的同学认为等于1；有的同学觉得越来越接近 1，但不等于 1。意见不一致！我们不着急得到最终结果，先来看看同学们画图的收获。刚开始同学们看到这个算式一点感觉都没有，不知道和是多少。通过画

9、图，同学们知道它的和与谁有关系？生（齐声）：1。师：无论是觉得等于1，还是觉得和1差一点，起码我们有了一个方向，觉得结果与1 有关系！这就是图的好处，它能帮助我们找到一种感觉，一个方向。但是，我们还有困惑，结果到底是等于 1，还是接近于 1？你们觉得图能回答这个问题吗？生（齐声）：不能。师：这就是图的缺陷，它不能准确地、精细化地表示结果。当图解决不了的时候，我们可以用数进行推理。既然“和”与1有关系，我们就从1开始想。课件出示：师：我们可以把 1 想象成 12 + 12 ，然后把第二个 12 看成 41 + 14 。课件出示：师：继续将第二个 14 分成 18 + 18 ，像这样一层层分下去。

10、课件出示：师：第二个 1 又可以分成64 生：两个 1 相加。128师：按这样的规律继续往下分，分得完吗？生：分不完，能分无数个。师：如果是无数个、没有尽头，可不可以用省略号表示？课件出示：生（齐声）：可以！师：读一读这个算式。这个算式是由谁分出来的？生：由1分出来的。师：那么， 这个算式等于几？生：等于1。（齐声，但不够坚定）师：可能很多同学还没有完全理解这个算式为什么等于1，因此在感情上还无法接受这个结果。没关系！因为这个问题太难了，同学们到了中学时还要继续学习。今天我们研究这个问题的目的，是在寻求它等于几的过程中体会数和形之间的关系。回顾一下刚才的探究过程，刚开始同学们看到这样一个算式，

11、不知道等于几，谁帮助我们找到了感觉，找到了“和”与1有关系？生：图形！师：图形帮助我们发现按照这样的规律加下去，和越来越接近于1，甚至有同学想到等于 1。当图形不能精确地表示出和到底是等于1，还是接近于1的时候，谁又帮助我们找到了准确结果？生：数！师：是的，数又帮助我们通过推理得出和就等于1。同学们，数和形有关系，你们觉得数和形之间有着怎样的关系？生：关系密切；你中有我，我中有你；互相帮助师：关系密切，你中有我、我中有你的本质，在于它们可以相互帮助。其实，在我们以前的学习中，有很多地方体现出数形之间互相帮助的特点。2. 回顾以前学习中数形互助的例子课件出示：师：我们一起来回忆，当遇到比较难的问

12、题时，我们通过画图帮助理解抽象的数量关系；学习几何知识时，角因为有了度数，我们就知道它是什么角；两条直线之间距离相等，就说明这两条直线是平行关系。这些例子都体现出数与形之间互相帮助。在实际生活中，也有很多地方用到数形互助来解决问题。三、深入体会数无形时少直观，形无数时难入微1. 以形助数，解决销售问题课件出示：2. 以数解形，解决运输问题课件出示：师：用图中这辆卡车运沙坑里的沙子，一次能将沙子全部拉走吗？老师把车厢的形状和沙坑的形状简化出来，请你判断一下。生：（沉默后）不知道。老师，能给我们数据吗？师：想要看能不能拉走，需要借助数据算一算，是吗？课件出示：生：能拉走！车厢的容积是15立方米，沙坑的容积是14.7立方米。师：解决这个问题时，谁帮助了谁？生：数帮助了形。师：同学们思考一下，在数与形互助的过程中，数的优势是什么？形的优势是什么？生：数是准确的，形一目了然。师：“数”能更精准地表达事物，“形”能更加直观地表达事物。其实，华罗庚爷爷很早就说过这样两句话：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”你能理解其中的含义吗？生：只有数没有形，看不出来；只有形没有数，难算出来。师：难算出来就是不具体，不能精