最小二乘法原理和曲线拟合

1、word最小二乘法的根本原理和多项式拟合一 最小二乘法的根本原理从整体上考虑近似函数同所给数据点 (i=0,1,m)误差 (i=0,1,m)的大小，常用的方法有以下三种：一是误差 (i=0,1,m)绝对值的最大值，即误差 向量的范数；二是误差绝对值的和，即误差向量r的1范数；三是误差平方和的算术平方根，即误差向量r的2范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算 ，后一种方法相当于考虑 2范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和来 度量误差 (i=0，1，m)的整体大小。数据拟合的具体作法是：对给定数据 (i=0,1,，m)，在取定的函数类中,求,使误差(i=0,1,m)的平方和最小，即

2、=从几何意义上讲，就是寻求与给定点 (i=0,1,m)的距离平方和为最小的曲线图6-1。函数称为拟合 函数或最小二乘解，求拟合函数的方法称为曲线拟合的最小二乘法。在曲线拟合中，函数类可有不同的选取方法.61二 多项式拟合假设给定数据点 (i=0,1,m)，为所有次数不超过的多项式构成的函数类，现求一,使得 (1)当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式1的称为最小二乘拟合多项式。特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。显然为的多元函数，因此上述问题即为求的极值 问题。由多元函数求极值的必要条件，得 (2)即 (3)3是关于的线性方程组，用矩阵表示为 (4)式3或式4称为正规方程组或法方

3、程组。可以证明，方程组4的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。从式4中解出 (k=0,1,，n)，从而可得多项式 (5)可以证明，式5中的满足式1，即为所求的拟合多项式。我们把称为最小二乘拟合多项式的平方误差，记作由式(2)可得 (6)多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步： (1) 由数据画出函数粗略的图形散点图，确定拟合多项式的次数n；(2) 列表计算和；(3) 写出正规方程组，求出；(4) 写出拟合多项式。在实际应用中，或；当时所得的拟合多项式就是拉格朗日或牛顿插值多项式。 例1 测得铜导线在温度()时的电阻如表6-1，求电阻R与温度 T的近似函数关系。i0123456()19.12

4、5.030.136.040.045.150.076.3077.879.2580.882.3583.985.1解 画出散点图图6-2，可见测得的数据接近一条直线，故取n=1，拟合函数为列表如下i019.176.30364.811457.330125.077.80625.001945.000230.179.25906.012385.425336.080.801296.002908.800440.082.351600.003294.000545.183.902034.013783.890650.085.102500.004255.000245.3565.59325.8320029.445正规方程组为解方程组得故得R与T的拟合直线为利用上述关系式，可以预测不同温度时铜导线的电阻值。例如，由R=0得T=-242.5，即预测温度T=-242.5时，铜导线无电阻。6-2例2     实验数据如下表  i01234567813456789101054211234试用最小二乘法求它的二次拟合多项式。解 设拟合曲线方程为列表如下I01101111010135927811545244166425616643522512562510504613621612966365714934324017496826451240961612