第2部分信号及其描述新

1、华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院第一章第一章 信号及其描述信号及其描述本章学习要求：本章学习要求：1.1.了解信号分类方法了解信号分类方法 2.2.掌握信号的时域描述方法掌握信号的时域描述方法3.3.掌握信号的频域描述及分析方法掌握信号的频域描述及分析方法 （包括傅里叶变换及主要性质、典型信号的频谱等）（包括傅里叶变换及主要性质、典型信号的频谱等）4.4.了解随机信号的描述方法了解随机信号的描述方法测试技术与信号处理测试技术与信号处理华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院第一章第一章 信号分析基础信号分析基础第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述 信号的分类主要是依据信号波形

2、特征来划分的，信号的分类主要是依据信号波形特征来划分的，在介绍信号分类前，先建立在介绍信号分类前，先建立信号波形信号波形的概念。的概念。信号波形：信号波形：被测信号信号幅度被测信号信号幅度随时间随时间的变化历程的变化历程称为信号的波形。称为信号的波形。波形波形测试技术与信号处理测试技术与信号处理华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述 0At信号波形图：信号波形图：用被测物理量的强度作为纵坐标，用被测物理量的强度作为纵坐标，用时间做横坐标，记录被测物理量随时间的变用时间做横坐标，记录被测物理量随时间的变化情况。化情况。测试技术与信号处理测试技术与信

3、号处理华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院 为深入了解信号的物理实质，将其进行分类研究为深入了解信号的物理实质，将其进行分类研究是非常必要的，从不同角度观察信号，可分为：是非常必要的，从不同角度观察信号，可分为： 1 1 从信号描述上分从信号描述上分3 3 从信号的幅值和能量上分从信号的幅值和能量上分能量信号与功率信号；能量信号与功率信号；第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述 2 2 从连续性上分从连续性上分连续时间信号与离散时间信号；连续时间信号与离散时间信号；测试技术与信号处理测试技术与信号处理确定性信号与非确定性信号；确定性信号与非确定性信号；4 4 从分析域上分从分析域上

4、分 时域信号与频域信号；时域信号与频域信号；5 5 从可实现性上分从可实现性上分 物理可实现信号物理可实现信号与与 物理不可实现信号。物理不可实现信号。华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院一、信号的分类一、信号的分类1 1 确定性信号与随机信号（非确定性信号）确定性信号与随机信号（非确定性信号）确定性信号确定性信号：可以用可以用明确的数学关系式描述明确的数学关系式描述的信号。的信号。（随机信号）随机信号：随机信号：不能用不能用数学关系式描述的信号。数学关系式描述的信号。测试技术与信号处理测试技术与信号处理华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院一、信号的分类一、信号的分类(1)(1)周期信

5、号周期信号 ( )()x tx tnT测试技术与信号处理测试技术与信号处理经过一定时间可以重复出现的信号经过一定时间可以重复出现的信号简单周期信号简单周期信号复杂周期信号复杂周期信号华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院(2)(2)非周期信号非周期信号准周期信号准周期信号: :由多个周期信号合成，但各信号频率不成由多个周期信号合成，但各信号频率不成 公倍数。公倍数。 如：如： ( )sin( )sin( 2 )x ttt瞬态信号瞬态信号: : 持续时间有限的信号。持续时间有限的信号。 如如: :000( )sin()atx tx et测试技术与信号处理测试技术与信号处理不会重复出现的信号不会

6、重复出现的信号一、信号的分类一、信号的分类华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院随机信号：随机信号：噪声信号噪声信号( (平稳平稳) )统计特性变异统计特性变异噪声信号噪声信号( (非平稳非平稳) )测试技术与信号处理测试技术与信号处理不能用数学式描述，其幅值、相位变化不可预不能用数学式描述，其幅值、相位变化不可预知，所描述物理现象是一种随机过程。知，所描述物理现象是一种随机过程。一、信号的分类一、信号的分类华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院2 2 连续时间信号与离散时间信号连续时间信号与离散时间信号 a)a)连续信号连续信号: :在在所有时间点所有时间点上有定义上有定义 b)b)离散

7、信号离散信号: :在在若干时间点若干时间点上有定义上有定义测试技术与信号处理测试技术与信号处理一、信号的分类一、信号的分类采样信号采样信号华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院3 3 能量信号与功率信号能量信号与功率信号 (1)(1)能量信号能量信号 在所分析的区间（在所分析的区间（-，），能量为有限），能量为有限值的信号称为能量信号，满足条件：值的信号称为能量信号，满足条件： dttx)(2一般一般持续时间有限持续时间有限的瞬态信号是能量信号。的瞬态信号是能量信号。测试技术与信号处理测试技术与信号处理一、信号的分类一、信号的分类华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院在区间（在区间（-，）

8、的）的能量无限值能量无限值, ,一般持续时间无限的信号都属于功率信号一般持续时间无限的信号都属于功率信号:212211( )ttx t dttt 测试技术与信号处理测试技术与信号处理(2)(2)功率信号功率信号 一、信号的分类一、信号的分类2( )x t dt 但其有限区间但其有限区间( t1, t2 )的的平均功率是有限的，即平均功率是有限的，即 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院4 4 时限与频限信号时限与频限信号 a) 时域有限信号时域有限信号 在时间区间在时间区间( ( t1, t2) )内有定义，其外恒等于零。内有定义，其外恒等于零。 b) 频域有限信号频域有限信号 在频率区间

9、在频率区间( ( f1, f2) ) 内有定义，其外恒等于零。内有定义，其外恒等于零。 正弦波幅值谱正弦波幅值谱测试技术与信号处理测试技术与信号处理一、信号的分类一、信号的分类三角脉冲信号三角脉冲信号华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院5 5 物理可实现信号与物理不可实现信号物理可实现信号与物理不可实现信号a)a) 物理可实现信号物理可实现信号：又称为单边信号：又称为单边信号 满足条件：满足条件： 即在时刻小于零的一侧全为零。即在时刻小于零的一侧全为零。( )0 (0)x tt冲击力作用时刻冲击力作用时刻测试技术与信号处理测试技术与信号处理一、信号的分类一、信号的分类华中科技大学机械学院华

10、中科技大学机械学院b) b) 物理不可实现信号物理不可实现信号：测试技术与信号处理测试技术与信号处理一、信号的分类一、信号的分类在事件发生前在事件发生前 ( t0 ) 就预制信号。就预制信号。观察开始时刻观察开始时刻华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院二、信号的时域描述和频域描述二、信号的时域描述和频域描述1.1.信号的时域描述信号的时域描述( (时域波形分析时域波形分析) ) 信号的时域波形分析是最常用的信号分析手段，信号的时域波形分析是最常用的信号分析手段，用示波器、万用表等普通仪器直接显示信号波形，用示波器、万用表等普通仪器直接显示信号波形，读取特征参数。读取特征参数。 测试技术与信

11、号处理测试技术与信号处理华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院信号的时域描述信号的时域描述信号波形图信号波形图周期周期T，频率，频率f =1/1/TAtT xpxp-p峰峰峰值峰值xp-p测试技术与信号处理测试技术与信号处理请参见教材第请参见教材第2525页页“三、周期信号的强三、周期信号的强度表述度表述”以时间为独立变量，反映信号幅以时间为独立变量，反映信号幅值随时间变化的关系。值随时间变化的关系。峰值峰值xp max( )pxx t可以用示波器可以用示波器或电压表测量或电压表测量华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院均值均值和绝对均值和绝对均值01( )Txx t dtT均值：反映了信

12、号变化的中心趋势，也称之均值：反映了信号变化的中心趋势，也称之为为常值分量常值分量或或直流分量直流分量。可以用直流电压表可以用直流电压表测量。测量。测试技术与信号处理测试技术与信号处理信号的时域描述信号的时域描述表示集合平均值或数学期望值。表示集合平均值或数学期望值。周期信号全波整流后的均值。周期信号全波整流后的均值。01( )Txx t dtTxx华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院均方值和均方值和均方根值均方根值201( )TavPxt dtT测试技术与信号处理测试技术与信号处理信号的时域描述信号的时域描述201( )Trmsxxt dtT 反映信号的平均功率大小反映信号的平均功率大小

13、；其；其均方根值均方根值，又称为又称为有效值有效值(RMS)(RMS)，也是信号平均能量的一种表达。，也是信号平均能量的一种表达。 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院波形分析的应用波形分析的应用超门限报警超门限报警 信号类型识别信号类型识别 基本参数识别基本参数识别 Pp-p测试技术与信号处理测试技术与信号处理信号的时域描述信号的时域描述华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院案例案例1：汽车速度测量汽车速度测量:测试技术与信号处理测试技术与信号处理信号的时域描述信号的时域描述华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院案例案例2：旅游索道钢缆检测旅游索道钢缆检测超门限报警超门限报警 测试技

14、术与信号处理测试技术与信号处理信号的时域描述信号的时域描述华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院 时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化情况，除单频率分量的简谐波外，很难明确揭示情况，除单频率分量的简谐波外，很难明确揭示信号的频率组成和各频率分量大小。信号的频率组成和各频率分量大小。 图例：受噪声干扰的多频率成分信号图例：受噪声干扰的多频率成分信号 第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述 测试技术与信号处理测试技术与信号处理华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院2 2 信号的频域描述信号的频域描述 信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号信号频域

15、分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t )变换为频域信号变换为频域信号X( f )，从而帮助人们从另一个角度，从而帮助人们从另一个角度来研究信号的特征（来研究信号的特征（频率组成、各频率分量的幅值频率组成、各频率分量的幅值和相位和相位）。）。 傅里叶傅里叶变换变换0 t0 f0 f第一节第一节 信号的分类与描述信号的分类与描述 以频率为独立变量来表示信号以频率为独立变量来表示信号 00sin 2x tAf t8563ASPECTRUM ANALYZER 9 kHz - 26.5 GHz测试技术与信号处理测试技术与信号处理图例：受噪声干扰的多频率成分信号图例：受噪声干扰的多频率成分信号 华中科技大

16、学机械学院华中科技大学机械学院信号的频域分析信号的频域分析 信号频谱信号频谱X(f )描述信号描述信号在不同频率分量成分上在不同频率分量成分上的的大小和相位关系大小和相位关系，能，能够提供比时域信号波形够提供比时域信号波形更直观、丰富的信息。更直观、丰富的信息。 时域分析与频域分析时域分析与频域分析的关系的关系时间时间幅值幅值频率频率时域分析时域分析频域分析频域分析测试技术与信号处理测试技术与信号处理华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院时域和频域的对应关系时域和频域的对应关系131Hz147Hz165Hz175Hz频域参数频域参数对应于设对应于设备转速、备转速、固有频率固有频率等参数，等参

17、数，物理意义物理意义更明确。更明确。信号的频域分析信号的频域分析 测试技术与信号处理测试技术与信号处理华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院 任何周期函数，都可以展开成正交函数线性任何周期函数，都可以展开成正交函数线性组合的无穷级数，如三角函数集的傅里叶级数组合的无穷级数，如三角函数集的傅里叶级数: : 周期信号是经过一定时间可以重复出现的周期信号是经过一定时间可以重复出现的信号，满足条件：信号，满足条件： 第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱 第一章第一章 信号分析基础信号分析基础测试技术与信号处理测试技术与信号处理( )()x tx tnT从数学意义上，凡是满足从数学意义上

18、，凡是满足“狄里赫莱狄里赫莱”条件的周条件的周期函数，都可以展开成傅里叶级数。期函数，都可以展开成傅里叶级数。00cossinntnt华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院一、傅里叶级数的三角函数展开式一、傅里叶级数的三角函数展开式周期函数周期函数 x ( t )，在在一个一个周期周期 -T0 / 2, , T0 / 2 ，皆可以皆可以正弦正弦及及余余弦弦函数组合函数组合而成而成的的无穷级无穷级数数表示，即表示，即傅里叶级数傅里叶级数。测试技术与信号处理测试技术与信号处理第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱 0020201( )TTax t dtT002202( )cosTnn

19、Tax tntdtT002202( )sinTnnTbx tntdtT0T 周期00=2T基波 圆频率傅里叶系数傅里叶系数0001( )(cossin)nnnx taantbnt （1-7）直流分量华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院 幅频谱图幅频谱图将式（将式（1-7）同频项合并，可以改写成）同频项合并，可以改写成测试技术与信号处理测试技术与信号处理001( )sin(+)nnnx taAnt （1-91-9）一、傅里叶级数的三角函数展开式一、傅里叶级数的三角函数展开式22nnnAabarctgnnnab式中式中 第n次谐波的幅值，是n的偶函数；n 第n次谐波的处相角，是n的奇函数。从式

20、（从式（1-91-9）可见，）可见，周期信号是由一个或几个、乃至周期信号是由一个或几个、乃至无穷多个不同频率的谐波叠加而成。无穷多个不同频率的谐波叠加而成。频率为横坐标频率为横坐标幅值幅值 An 为纵坐标为纵坐标相角相角 n 为纵坐标为纵坐标基频基频n 次谐波次谐波 相频谱图相频谱图nA华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院A0Tt例：方波信号的频谱例：方波信号的频谱（见教材第（见教材第20页）页）测试技术与信号处理测试技术与信号处理000( )()02( )20 x tx tnTAtTx tATt 利用式（利用式（1-71-7）和（）和（1-81-8）00001411( )sinsin3s

21、in53541 sin (1,3,5,)nAx ttttAntnnLL一、傅里叶级数的三角函数展开式一、傅里叶级数的三角函数展开式0T华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院测试技术与信号处理测试技术与信号处理一、傅里叶级数的三角函数展开式一、傅里叶级数的三角函数展开式00=2T相频谱图相频谱图基频幅频谱图幅频谱图.频域图频域图000411( )sinsin3sin535Ax ttttL时域图时域图A0T0Tt华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院方波信号的时域和频域的描述方波信号的时域和频域的描述测试技术与信号处理测试技术与信号处理一、傅里叶级数的三角函数展开式一、傅里叶级数的三角函数展开

22、式000411( )sinsin3sin535Ax ttttL华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院时域时域频域频域波形合成波形合成测试技术与信号处理测试技术与信号处理第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院方波信号的合成与分解方波信号的合成与分解.5/ )5sin(3/ )3sin()sin()(1tAtAtAtxn测试技术与信号处理测试技术与信号处理第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院例例1-1：三角波信号的：三角波信号的频谱频谱（见教材第（见教材第22页）页）测试技术与信号处理测

23、试技术与信号处理利用式（利用式（1-71-7） 和（和（1-81-8）0002220221411( )coscos3cos523541 cos 1,3,5,2nAAx ttttAAntnnLL一、傅里叶级数的三角函数展开式一、傅里叶级数的三角函数展开式A02Tt0-2T0T偶函数偶函数00002+02( )202TAAttTx tTAAttT 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院前例：方波信号的频谱前例：方波信号的频谱测试技术与信号处理测试技术与信号处理000( )()02( )20 x tx tnTAtTx tATt 利用式（利用式（1-71-7）和（）和（1-81-8）00001411

24、( )sinsin3sin53541 sin (1,3,5,)nAx ttttAntnnLL一、傅里叶级数的三角函数展开式一、傅里叶级数的三角函数展开式0A0T0T奇函数奇函数华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院偶偶函数函数奇函奇函数数测试技术与信号处理测试技术与信号处理傅里叶傅里叶余余弦弦级数级数00( )cos 0,1,2,3,nnx tantnL002202( )cosTnnTax tntdtT傅里叶傅里叶正正弦弦级数级数01( )sin 1,2,3,nnx tantnL002202( )sinTnnTbx tntdtT傅里叶余傅里叶余弦弦级数级数傅里叶正傅里叶正弦弦级数级数一、傅里

25、叶级数的三角函数展开式一、傅里叶级数的三角函数展开式华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院00000j00jj0jj0cos()jsin()1cos()()2sin()()2ntntntntntentntnteejntee欧拉公式欧拉公式测试技术与信号处理测试技术与信号处理二、傅里叶级数的复指数函数展开式二、傅里叶级数的复指数函数展开式华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院傅里叶级数的三角函数展开式：傅里叶级数的三角函数展开式：)sincos()(0100tnbtnaatxnnn(1, 2,3,.)n 改为复指数函数展开式改为复指数函数展开式：00jj0111( ) (j)(j)22ntn

26、tnnnnnx taab eab e001(j)21(j)2nnnnnnCaCabCab令：令：测试技术与信号处理测试技术与信号处理二、傅里叶级数的复指数函数展开式二、傅里叶级数的复指数函数展开式华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院000jj01j( )() ntntnnnntnnx tCC eC eC e0, 1, 2,n 0002j201( )TntnTCx t edtTj22RejIm(Re)(Im)ImarctanRennnnnnnnnnnCCCC eCCCCC可得：可得：其中：其中：实频谱实频谱虚频谱虚频谱幅频谱幅频谱相频谱相频谱测试技术与信号处理测试技术与信号处理二、傅里叶级数

27、的复指数函数展开式二、傅里叶级数的复指数函数展开式华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院例：方波信号的频谱展开例：方波信号的频谱展开三角函数展开式：三角函数展开式：幅频图幅频图相频图相频图测试技术与信号处理测试技术与信号处理二、傅里叶级数的复指数函数展开式二、傅里叶级数的复指数函数展开式华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院复指数函数展开式：复指数函数展开式：0j( )j(1 cos)nntnAx tnen (1 cos)0(1 cos)2arctan002nnACnnAnnnn其中：其中：Re0Im(1 cos)nnCACnn 测试技术与信号处理测试技术与信号处理二、傅里叶级数的复指数函

28、数展开式二、傅里叶级数的复指数函数展开式华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院方波信号复指数展开式的实、虚频谱和幅、相频谱方波信号复指数展开式的实、虚频谱和幅、相频谱实频谱实频谱虚频谱虚频谱相频谱相频谱频谱图频谱图测试技术与信号处理测试技术与信号处理幅频谱幅频谱二、傅里叶级数的复指数函数展开式二、傅里叶级数的复指数函数展开式华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院三角函数展开形式的频谱是三角函数展开形式的频谱是单边谱单边谱221,22000nnnnAbaCaACnnnnnnCCCC且共轭，即与,*双边幅频谱为双边幅频谱为偶函数偶函数，双边相频谱为双边相频谱为奇函数奇函数。两种形式频谱图具有确

29、定的关系：两种形式频谱图具有确定的关系：二、傅里叶级数的复指数函数展开式二、傅里叶级数的复指数函数展开式复指数展开形式的频谱是复指数展开形式的频谱是双边谱双边谱华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院频谱图的概念频谱图的概念 为了能既方便又明白的表示一个信号中包含有哪些频率分量，各分量所占的比重如何，就采用了称为频谱图的表示方法。图中每一条谱线代表一个基波或一个谐波分量，谱线的高度即谱线顶端的纵坐标位置代表这一正弦分量的振幅，谱线所在的横坐标的位置代表这一正弦分量的频率。从频谱图中可以看出这个信号包含有频率的正弦分量以及每个分量所占的比重。图例图例测试技术与信号处理测试技术与信号处理第二节第二

30、节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院测试技术与信号处理测试技术与信号处理 以 或 f 为横坐标，An、 为纵坐标画图，则称为幅值相位谱；这种频谱因为它只表示出了各分量的振幅，所以称为振幅频谱振幅频谱。有时如果需要，也可以把分量的相位用一个个线段代表并且排列成谱状，这样的频谱就称为相位频谱相位频谱。n第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院测试技术与信号处理测试技术与信号处理例例1-2 1-2 余弦和正弦函数的实、虚频谱图余弦和正弦函数的实、虚频谱图二、傅里叶级数的复指数函数展开式二、傅里叶级数的复

31、指数函数展开式00jj01cos2tttee00jj01sinj2ttteett00cnI虚频谱虚频谱cnR00实频谱实频谱1/21/200cnI实频谱实频谱cnR00虚频谱虚频谱-1/21/2双边幅频谱双边幅频谱|cn|001/21/2单边幅频谱单边幅频谱0An01华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院1) 周期信号频谱是周期信号频谱是离散离散的；的；2)每条谱线只出现在基波频率的每条谱线只出现在基波频率的整倍数整倍数上，不存上，不存 在非整倍数的频率分量；在非整倍数的频率分量； 3)各频率分量的谱线高度与对应谐波的振幅成各频率分量的谱线高度与对应谐波的振幅成 正比。工程中常见的周期信号，

32、其谐波幅值正比。工程中常见的周期信号，其谐波幅值 总的趋势是随总的趋势是随谐波次数的增高而减小谐波次数的增高而减小的。的。结论：周期信号的频谱具有结论：周期信号的频谱具有离散性离散性、谐波性谐波性和和收敛性收敛性二、傅里叶级数的复指数函数展开式二、傅里叶级数的复指数函数展开式 教材第教材第26页页 表表1-2 几种典型信号的强度几种典型信号的强度华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱 周期信号的频谱具有周期信号的频谱具有离散性离散性并且各谐波分量并且各谐波分量的频率具有一个的频率具有一个公约数公约数基频基频。但几个简谐信。但几个简

33、谐信号的叠加，不一定是周期信号，如号的叠加，不一定是周期信号，如准周期信号准周期信号由两个以上周期信号合成，但各信号频率不成由两个以上周期信号合成，但各信号频率不成公倍数。公倍数。 如：如： 测试技术与信号处理测试技术与信号处理第一章第一章 信号分析基础信号分析基础( )sin( )sin( 2 )x ttt只有两个频率成分，具有只有两个频率成分，具有离散频谱离散频谱，但不是周期，但不是周期信号，故称为信号，故称为准周期信号。准周期信号。通常所说的非周期通常所说的非周期信号是瞬变非周期信号是瞬变非周期信号，如信号，如x(t)t0矩形脉冲信号矩形脉冲信号x(t)t0指数衰减信号指数衰减信号x(t

34、)t0单一脉冲信号单一脉冲信号衰减振荡信号衰减振荡信号华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院jj12( )( )( )( )ttx tXedXx t edt测试技术与信号处理测试技术与信号处理 非周期信号是时间上不会重复出现的信号，非周期信号是时间上不会重复出现的信号，一般为时域有限信号，具有一般为时域有限信号，具有收敛可积条件收敛可积条件，其能，其能量为有限值。这种信号的频域分析手段是量为有限值。这种信号的频域分析手段是傅里叶傅里叶变换变换。 第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱一、傅里叶变换一、傅里叶变换华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院000000000

35、jjj2jjj2j( ) 12 ( )( ) 2(1 )limlimlimntnnntnttTntTttTTTx tC ex t edtx t edtex tedtTddee测试技术与信号处理测试技术与信号处理一、傅里叶变换一、傅里叶变换 非周期信号可以看成是非周期信号可以看成是周期周期T T0 0的周期信号，区间周期信号，区间从从（ T0 /2, , T0 /2）趋于趋于（，），频谱的频率间隔频谱的频率间隔 离散的离散的 n 0 0 变为连续的变为连续的 , ,求和求和积分积分。 002 Td傅里傅里叶变叶变换的换的指数指数形式形式傅里叶变换系数傅里叶变换系数( )X( )x tjj12(

36、)( )( )( )ttx tXedXx t edt华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院j ()( )( )fX fX fe)(Im)(Re)(22fXfXfXIm()()arctanRe()XffXf非周非周期信期信号的号的频谱频谱分析分析 傅里叶变换对傅里叶变换对连续连续幅值谱幅值谱连续连续相位谱相位谱测试技术与信号处理测试技术与信号处理j2j2( )( )( )( )ftftx tX f edfX fx t edtjj12( )( )( )( )ttx tXedXx t edt2f令()2()XfXf 或或 是是连续连续变化的变化的一、傅里叶变换一、傅里叶变换华中科技大学机械学院华中

37、科技大学机械学院例例1-3 矩形脉冲信号的频谱矩形脉冲信号的频谱测试技术与信号处理测试技术与信号处理12( )02tTw ttT2j2j22( )( )TftftTW fw t edtedtjj1()( j2)fTfTeefsin()( )sinc()fTW fTTfTfTjj1 sin()()2jfTfTfTee sinsin c定义：定义：该函数在信号该函数在信号分析中很有用分析中很有用T 称为称为窗宽窗宽一、傅里叶变换一、傅里叶变换（见教材）（见教材）P29P29华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院sinc 函数函数sinsinsinc( ),()tttorttt 波形波形测试技术与

38、信号处理测试技术与信号处理一、傅里叶变换一、傅里叶变换华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院测试技术与信号处理测试技术与信号处理矩形窗函数及其频谱矩形窗函数及其频谱一、傅里叶变换一、傅里叶变换华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院二、傅里叶变换的二、傅里叶变换的性质性质测试技术与信号处理测试技术与信号处理第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱表表1-3（教材第（教材第30页）页） ( )( )( )( )ax tby tdtax t dtby t dt华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院测试技术与信号处理测试技术与信号处理二、傅里叶变换的性质二、傅里叶变换的性质

39、表表1-3（教材第（教材第30页）页）华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院1. 奇偶虚实性奇偶虚实性j2( )( )Re( )jIm( )ftXfx tedtXfXf测试技术与信号处理测试技术与信号处理x(t)为为实偶函数实偶函数Re( )( )cos2X fx tft dt Im( )( )sin2X fx tft dtj2cos2jsin2ftef tf t余弦函数是偶函数余弦函数是偶函数正弦函数是奇函数正弦函数是奇函数 Im( )0X f( )Re( )Re()X fX fXfx(t)为为实奇函数实奇函数 Re( )0X f( )jIm( )()X fX fXf 实偶函数实偶函数虚奇

40、函数虚奇函数Re()( )cos( 2)( )cos2Xfx tft dtx tft dtIm()( )sin( 2) =( )sin2Xfx tft dtx tft dt二、傅里叶变换的性质二、傅里叶变换的性质华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院例：实偶函数的傅立叶变换仍为实偶函数( )(, 0)tx tet 20()j2j200(j2)(j2)022() (j2)(j2)11 (j2)(j2)2 (2)tjfttfttftftftXfeedteedteedteefffff()0f测试技术与信号处理测试技术与信号处理( )X ff0 x(t)0t二、傅里叶变换的性质二、傅里叶变换的性质华

41、中科技大学机械学院华中科技大学机械学院x(t)为为虚偶函数虚偶函数 Re( )0X fx(t)为为虚奇函数虚奇函数( )Re( )Re()X fX fXf Im( )0X fx(t) = jg(t)是虚函数是虚函数( )( )sin2( )cos2X fg tf tdtjg tf tdtRe( )X fIm( )X f测试技术与信号处理测试技术与信号处理( )jIm( )jIm()X fX fXf奇函数偶函数虚偶函数虚偶函数偶函数奇函数实奇函数实奇函数二、傅里叶变换的性质二、傅里叶变换的性质华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院2. 对称性对称性证明：测试技术与信号处理测试技术与信号处理j(

42、)()2f txtX f edf j2()( )f txfX t edt 用用 -t 替换替换 t f 和和 t 互换互换 df dt根据傅里叶变换的定义根据傅里叶变换的定义j( )()2f tx tXf edf 二、傅里叶变换的性质二、傅里叶变换的性质若 ( )()x tXf( ) ()X txf 则( )()X txf 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院图图1-14 1-14 对称性举例（教材第对称性举例（教材第3131页）页）测试技术与信号处理测试技术与信号处理二、傅里叶变换的性质二、傅里叶变换的性质若( ) ()x tXf( ) ()X txf 则华中科技大学机械学院华中科技大学

43、机械学院3. 时间尺度改变特性时间尺度改变特性证明：测试技术与信号处理测试技术与信号处理jjj 2()22()1()()()1()()fktf tkfktkx kt edtx kt ed ktkx kt ed ktk 根据傅里叶根据傅里叶变换的定义变换的定义j2()( )f tXfx t edt 二、傅里叶变换的性质二、傅里叶变换的性质若 ( )()x tXf( ) () ()10fx ktXkkk 则华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院测试技术与信号处理测试技术与信号处理二、傅里叶变换的性质二、傅里叶变换的性质华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院4. 时移和频移特性时移和频移特性证明

44、：测试技术与信号处理测试技术与信号处理j()jjjj()j()()() ()() ( )0000022200022002ft tf tf tf tft tf tx tt edtx tt eed ttex tt ed ttX f e (1)时移特性时移特性将信号在时域中平移将信号在时域中平移幅频谱不变，相频幅频谱不变，相频谱中相角的改变量谱中相角的改变量和频率成正比和频率成正比二、傅里叶变换的性质二、傅里叶变换的性质若 ( )()x tXfj =0200()( )()ftx ttX f et 常数则华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院证明：测试技术与信号处理测试技术与信号处理jjj 0022

45、()20( )( )()f tfftf tx t eedtx t edtX ff (2)频移特性频移特性幅频谱大小不变，频谱幅频谱大小不变，频谱图沿横轴反向平移图沿横轴反向平移f0二、傅里叶变换的性质二、傅里叶变换的性质若( ) ()x tXfj =0200( )() () f tx t eX fff常常数数则将时域信号与频率为将时域信号与频率为 f0 的的正、余弦信号正、余弦信号相乘相乘华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院5. 卷积特性卷积特性测试技术与信号处理测试技术与信号处理则( )( )( )()1212xtxtxxtd 定义：二、傅里叶变换的性质二、傅里叶变换的性质若11( )

46、()xtXf22( ) ()xtXf1212( )( ) ()()xtxtXfXf 1212( )( ) ()()xt xtXfXf 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院6. 微分和积分特性微分和积分特性测试技术与信号处理测试技术与信号处理对傅里叶变换的定义式直接微分或积分得到对傅里叶变换的定义式直接微分或积分得到二、傅里叶变换的性质二、傅里叶变换的性质时域微分时域微分频域微分频域微分时域积分时域积分若( ) ()x tXf ( ) (j2)( )nnnd x tfX fdt ( )( j)( ) 2nnnd X ftx tdf ( ) ( )j12tx t dtX ff 华中科技大学机械

47、学院华中科技大学机械学院三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱1. 矩形窗函数的频谱矩形窗函数的频谱2. 函数及其频谱函数及其频谱3. 正、余弦函数的频谱密度函数正、余弦函数的频谱密度函数4. 周期单位脉冲序列的频谱周期单位脉冲序列的频谱测试技术与信号处理测试技术与信号处理第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院测试技术与信号处理测试技术与信号处理三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱1. 矩形窗函数及其频谱矩形窗函数及其频谱主瓣主瓣旁瓣旁瓣旁瓣旁瓣主瓣的宽度为主瓣的宽度为2/T ，与时域窗宽度，与时域窗宽度T成反比。成

48、反比。T愈大，即截取信号时长愈大，主瓣宽度愈小。愈大，即截取信号时长愈大，主瓣宽度愈小。华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院, ( ), 000ttt ( )lim( )1t dtSt dt ( )( )lim0tSt 测试技术与信号处理测试技术与信号处理2. 函数及其频谱函数及其频谱 /2t1/ ( )S t 面积恒面积恒等于等于1- /2t( ) t1(1) 函数定义函数定义: 在在 时间内激发一个矩形脉冲时间内激发一个矩形脉冲 ，其面积为其面积为1。 ( )St 当当 0 时，时， 的极限就称为的极限就称为 函数函数( )St 函数函数是一个理想函数，是物理不可实现信号。是一个理想函

49、数，是物理不可实现信号。三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院(2) 函数函数特性特性（采样性质）（采样性质） ：乘积性乘积性( ) ( )( ) ( ), ( ) ()( ) ()0000f ttftf tttf ttt 积分性积分性( ) ( )( ), ( ) ()( )000f ttff tttf t(3) 卷积性卷积性( )* ( )( ) ()( )f ttftdf t 测试技术与信号处理测试技术与信号处理三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院测试技术与信号处理测试技术与信号处理(4)频谱频

50、谱j( j)( )21ftft edt t( ) t1f( )f1时时 域域频频 域域单位瞬时脉冲单位瞬时脉冲 1 均匀频谱密度函数均匀频谱密度函数幅值为幅值为1的直流量的直流量 1 在在f =0 处有脉冲谱线处有脉冲谱线 函数时移函数时移t0 各频率成分移相各频率成分移相复指数函数复指数函数 平移到平移到f0( ) t ( )f ()0tt j02f te ()0ff ( )f 三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱tfje02华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院 由于正、余弦函数不满足绝对可积条件，故不由于正、余弦函数不满足绝对可积条件，故不能直接利用定义式进行傅氏变换，需要引入

51、能直接利用定义式进行傅氏变换，需要引入 函数。函数。 测试技术与信号处理测试技术与信号处理3. 正、余弦函数的频谱密度函数正、余弦函数的频谱密度函数fIm( )X f1/20f0-f0正弦函数的频谱正弦函数的频谱fRe( )X f1/20f0-f0余弦函数的频谱余弦函数的频谱三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱 00j2j2000jjsin(2)() ()()22f tf tf teeffff 00j2j200011cos()() ()()22f tf tnteeffff 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院等间隔的周期脉冲序列常称为梳状函数等间隔的周期脉冲序列常称为梳状函数 co

52、mb(t, Ts ) 测试技术与信号处理测试技术与信号处理4. 周期单位脉冲序列的频谱周期单位脉冲序列的频谱j2comb( , )() ssskkf tkkt TtkTc e 周期周期0, 1, 2, k1ssfT 2-j2211( , )sssTkf tksTssccomb t T edtTT j21skf tkseT 11Comb(, )()()sskkssskf ffkffTTT三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院tcomb( , )st T10-Ts-2Ts-3Ts-4TsTs2Ts3Ts4Ts.tComb( , )sf f0-1/Ts-

53、2/Ts-3/Ts-4/Ts1/Ts2/Ts3/Ts4/Ts1/Ts.测试技术与信号处理测试技术与信号处理comb( , )()sskt TtkT 1Comb(, )()sksskf ffTT 三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院频谱分析的应用频谱分析的应用 频谱分析主要用于识别信号中的周期分量，是频谱分析主要用于识别信号中的周期分量，是信号分析中最常用的一种手段。信号分析中最常用的一种手段。案例：案例：在齿轮箱故障诊断在齿轮箱故障诊断通过齿轮箱振动信号频谱通过齿轮箱振动信号频谱分析，确定最大频率分量，分析，确定最大频率分量，然后根据机床转速和传

54、动然后根据机床转速和传动链，找出故障齿轮。链，找出故障齿轮。案例：案例：螺旋浆设计螺旋浆设计可以通过频谱分析确定螺可以通过频谱分析确定螺旋浆的固有频率和临界转旋浆的固有频率和临界转速，确定螺旋浆转速工作速，确定螺旋浆转速工作范围。范围。测试技术与信号处理测试技术与信号处理第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院大型空气压缩机传动装置故障诊断大型空气压缩机传动装置故障诊断频谱分析的应用频谱分析的应用 测试技术与信号处理测试技术与信号处理第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱华中科技大学机械学院华中科技大学机械学

55、院 随机信号是不能用确定的数学关系式来描述的，不能随机信号是不能用确定的数学关系式来描述的，不能预测其未来任何瞬时值，任何一次观测值只代表可能产生预测其未来任何瞬时值，任何一次观测值只代表可能产生的结果之一。的结果之一。但其值的变动服从但其值的变动服从统统计规律，计规律，可以可以用概率用概率和统计的方法来描述和统计的方法来描述第四节第四节 随机信号随机信号第一章第一章 信号分析基础信号分析基础测试技术与信号处理测试技术与信号处理 12( )( ), ( ), , ( ), ix tx tx tx t一、概述一、概述样本函数：样本函数：每个长时间每个长时间 xi ( t ) 观测记录观测记录样本

56、记录：样本记录：有限时间内有限时间内 观测记录观测记录全体样本函数的集合全体样本函数的集合就是就是随机过程随机过程华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院第四节第四节 随机信号随机信号测试技术与信号处理测试技术与信号处理随机过程的各种平均值是按随机过程的各种平均值是按集合平均集合平均来计算的。来计算的。不是沿某单个样本的时间轴计算，而是将集合中所有样本不是沿某单个样本的时间轴计算，而是将集合中所有样本函数对函数对同一时刻同一时刻 t ti i 的观测值取平均。的观测值取平均。时间平均时间平均随机过程随机过程平稳过程平稳过程非平稳过程非平稳过程其统计特征参数其统计特征参数不随时间不随时间而变化的

57、随机过程而变化的随机过程若若任一单个样本函数任一单个样本函数的时的时间平均统计特征等于该过间平均统计特征等于该过程的集合平均统计特征程的集合平均统计特征各态历经随各态历经随机过程机过程其统计特征参数其统计特征参数随时间随时间而变化的随机过程而变化的随机过程华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院测试技术与信号处理测试技术与信号处理二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数描述各态历经随机过程的主要参数有：描述各态历经随机过程的主要参数有：1 1）均值、方差和均方差）均值、方差和均方差2 2）概率密度函数）概率密度函数3 3）自相关函数）自相关函数4 4）功率谱密度函数）功率谱密度函数

58、第四节第四节 随机信号随机信号华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院测试技术与信号处理测试技术与信号处理1. 均值、方差和均方差均值、方差和均方差均值均值01lim( )TxTTx t dt 表示集合平均值或数学期望值。表示集合平均值或数学期望值。均值：反映了信号变化的中心趋势，也称之均值：反映了信号变化的中心趋势，也称之为为常值分量常值分量或或直流分量直流分量。x二、随机信号的主要特征参数二、随机信号的主要特征参数华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院方差方差方差：反映了信号偏离均值的平方的均值。方差：反映了信号偏离均值的平方的均值。描述随机信号的波动分量描述随机信号的波动分量 测试技术与信号处理测试技术与信号处理 2201lim( )TxxTTx tdt 方