山东建筑大学结构力学矩阵法1

1、第9章矩阵代数复习矩阵代数复习1 1、矩阵定义、矩阵定义一组元素按行、列次序排列成的矩形阵列称为矩阵。若矩阵一组元素按行、列次序排列成的矩形阵列称为矩阵。若矩阵的元素排列为的元素排列为m 行和行和n列，称为列，称为m n 阶矩阵。阶矩阵。A=aaaaaaaaannmmmn111212122212LLMO ML2 2、方阵、方阵一个具有相同的行数和列数的矩阵，即一个具有相同的行数和列数的矩阵，即m=n 时，称为时，称为n 阶方阵。阶方阵。3 3、行矩阵和列矩阵、行矩阵和列矩阵一个单独的行组成的矩阵称为行矩阵，如：一个单独的行组成的矩阵称为行矩阵，如：A=aaaan1112131 由单列组成的矩阵

2、称为列矩阵，如：由单列组成的矩阵称为列矩阵，如：在算法语言中，可用一个在算法语言中，可用一个2 2维数组记忆一个矩阵维数组记忆一个矩阵在算法语言中，可用一个在算法语言中，可用一个1 1维数组记忆维数组记忆TnaaAa 12M M4 4、纯量、纯量仅由一个单独的元素所组成的仅由一个单独的元素所组成的1 1 1 1阶矩阵称为纯量。阶矩阵称为纯量。5 5、矩阵乘法、矩阵乘法两个规则：两个规则：（1 1）两个矩阵仅当他们是共形时才能相乘，即）两个矩阵仅当他们是共形时才能相乘，即ABCplm pl nm n =当当时才能相乘时才能相乘A B=aaaabb111221221121共形共形2 2 21B A

3、=bbaaaa112111122122非非共形共形 21 2 2（2 2）不具有交换律，即）不具有交换律，即 AB BA在算法语言中，在算法语言中，可用一组循环实可用一组循环实现计算现计算6 6、转置矩阵、转置矩阵将一个阶矩阵的行和列依次互换，所得的阶矩阵称之为将一个阶矩阵的行和列依次互换，所得的阶矩阵称之为原矩阵的转置矩阵，如：原矩阵的转置矩阵，如：A=aaaaaa111221223132其转置矩阵为其转置矩阵为ATaaaaaa112131122232当连乘矩阵的乘积被转置时，等于倒转了顺序的各矩阵的转置当连乘矩阵的乘积被转置时，等于倒转了顺序的各矩阵的转置矩阵之乘积。若矩阵之乘积。若A=B

4、 C D则则AT=DTCTBT7 7、零矩阵、零矩阵元素全部为零的矩阵称为零矩阵，用元素全部为零的矩阵称为零矩阵，用0 0表示。表示。若若AB=0，但不一定但不一定A=0或或B=0。8、对对角角矩矩阵阵 对角矩阵是除主对角元素外，其余元素全为零的方阵，如： D=aaamm1122000000000000O9、单位矩阵单位矩阵单位矩阵是一个对角矩阵，它的非零元素全为 1 用 I 表示 ，如 I =100001000000001O任意矩阵与单位矩阵相乘仍等于原矩阵，即任意矩阵与单位矩阵相乘仍等于原矩阵，即AI =AIA =A10、逆矩阵、逆矩阵 在矩阵运算中，没有矩阵的直接除法，在矩阵运算中，没有

5、矩阵的直接除法， 除法运算由矩阵求逆来完成除法运算由矩阵求逆来完成。例如，若。例如，若AB =C则B=A-1C此处此处A-1称为矩阵称为矩阵 A 的逆矩阵。的逆矩阵。一个矩阵的逆矩阵由以下关系式定义：一个矩阵的逆矩阵由以下关系式定义：A A-1= A-1A =I矩阵求逆时必须满足两个条件：矩阵求逆时必须满足两个条件：（1）矩阵是一个方阵。）矩阵是一个方阵。（2 2）矩阵的行列式不为零，即矩阵是非奇异矩阵（行列式为零的矩）矩阵的行列式不为零，即矩阵是非奇异矩阵（行列式为零的矩阵称为奇异矩阵）。阵称为奇异矩阵）。11、正交矩阵、正交矩阵若一方阵若一方阵A 每一行（列）的各个元素平方之和等于每一行（

6、列）的各个元素平方之和等于1，而，而所有的两个不同行（列）的对应元素乘积之和均为零，则称该矩阵为正所有的两个不同行（列）的对应元素乘积之和均为零，则称该矩阵为正交矩阵，则交矩阵，则A =cossinsincosaaaa-正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即A-1= AT在算法语言中，可用消元法在算法语言中，可用消元法等实现方程求解等实现方程求解位移法位移法平衡方程法平衡方程法：AM 0ABACADMMM 0FABABABAABBABiMiiMl- - 642基本体系法基本体系法PPPkkkRkkkRkkkR1111221331211222233231132233

7、33000 为求基本未知量而建立补充条件为求基本未知量而建立补充条件矩阵位移法：矩阵位移法：KF ijjikF kkkFkkkFkkkF111213112122232231323333 9-1 9-1 概概 述述 矩阵位移法的理论基础是传统的位移法，只是它的表达形式采用矩阵矩阵位移法的理论基础是传统的位移法，只是它的表达形式采用矩阵代数，而这种数学算法便于编制计算机程序，实现计算过程的程序化。代数，而这种数学算法便于编制计算机程序，实现计算过程的程序化。一、矩阵位移法的基本思路一、矩阵位移法的基本思路 矩阵位移法又可以称为杆件结构的有限元法；矩阵位移法又可以称为杆件结构的有限元法； 矩阵位移法

8、的两个基本步骤是矩阵位移法的两个基本步骤是 （1 1）结构的离散化；单元分析；（）结构的离散化；单元分析；（2 2）整体分析，）整体分析，ABCDABCDABCD任务任务意义意义单元单元分析分析建立杆端力与杆端位移建立杆端力与杆端位移间的刚度方程，形成单间的刚度方程，形成单元刚度矩阵元刚度矩阵用矩阵形式表示杆用矩阵形式表示杆件的转角位移方程件的转角位移方程整体整体分析分析由变形条件和平衡条件由变形条件和平衡条件建立结点力与结点位移建立结点力与结点位移间的刚度方程，形成整间的刚度方程，形成整体刚度矩阵体刚度矩阵用矩阵形式表示位用矩阵形式表示位移法基本方程移法基本方程 具体内容包括具体内容包括:1

9、、离散数字化描述结构（单元、结点、位移、约束、载荷等），、离散数字化描述结构（单元、结点、位移、约束、载荷等），2、局部坐标系下，总结典型杆件单元特征，、局部坐标系下，总结典型杆件单元特征，3、单元性质向整体坐标系的统一。、单元性质向整体坐标系的统一。4、连续梁的整体刚度方程、连续梁的整体刚度方程5、刚架的整体刚度方程、刚架的整体刚度方程6、非结点载荷的计算、非结点载荷的计算 等等KF ABCD二、结构的离散化二、结构的离散化把结构离散为单元与结点的组合。单元是等截面直杆。364213145251563213442不考虑杆件不考虑杆件内部载荷内部载荷指杆件除有弯曲变形外，还有轴向变形和剪切变形

10、的单元，指杆件除有弯曲变形外，还有轴向变形和剪切变形的单元，杆件两端各有三个位移分量，杆件两端各有三个位移分量，这是平面结构杆件单元的一般情况。这是平面结构杆件单元的一般情况。 符号规则：符号规则：图图(a)(a)表示单元编号、杆端编号和局部座标，局部座标的表示单元编号、杆端编号和局部座标，局部座标的x座标与杆轴重合；座标与杆轴重合；1 12 2eE A Ilxy(a)(a)图图(b)(b)表示的杆端位移均为正方向。表示的杆端位移均为正方向。单元编号单元编号杆端编号杆端编号局部座标局部座标1 12 21u1v122u2v(b)(b)杆端位移编号杆端位移编号1 12 21X1Y1M2M2X杆端力

11、编号杆端力编号(c)(c)三、杆端位移、杆端力的正负号规定三、杆端位移、杆端力的正负号规定一般单元：一般单元：121u1v122u2v121X1Y1M2M2X )(222111)() 6() 5() 4() 3() 2() 1 ()(eeevuvu )(222111)() 6() 5() 4() 3() 2() 1 ()(eeeMYXMYXFFFFFFF（1 1）单元杆端位移向量）单元杆端位移向量（2 2）单元杆端力向量）单元杆端力向量凡是符号上面带了一横杠的就表示是基于局部座标系而言的。凡是符号上面带了一横杠的就表示是基于局部座标系而言的。 现在讨论单元刚度方程。现在讨论单元刚度方程。单元刚

12、度方程是指由单元杆端位移求单元杆单元刚度方程是指由单元杆端位移求单元杆端力时的一组方程，可以用端力时的一组方程，可以用“ ”“ ”表示，由位移求力称为正问题。表示，由位移求力称为正问题。F 在单元两端加上人为控制的附加约束，使基本杆单元的两端产生任意指在单元两端加上人为控制的附加约束，使基本杆单元的两端产生任意指定的六个位移，然后根据这六个杆端位移来推导相应的六个杆端力。定的六个位移，然后根据这六个杆端位移来推导相应的六个杆端力。e121u2u2v1v121Xe1Ye1Me2Xe2Mee 我们忽略轴向受力状态和弯曲受力状态之间的相互影响，分别推导轴向我们忽略轴向受力状态和弯曲受力状态之间的相互

13、影响，分别推导轴向变形和弯曲变形的刚度方程。变形和弯曲变形的刚度方程。9-2 9-2 单元刚度矩阵单元刚度矩阵( (局部座标系局部座标系) )进行单元分析，推导单元刚度方程和单元刚度矩阵。进行单元分析，推导单元刚度方程和单元刚度矩阵。一、一般单元一、一般单元e1u2u1Xe1Ye1Me2Xe2Mee 分别推导轴向变形和弯曲变形的刚度方程。分别推导轴向变形和弯曲变形的刚度方程。首先，由两个杆端轴向位移首先，由两个杆端轴向位移21uu 和可推算出相应的杆端轴向力可推算出相应的杆端轴向力21XX 和eee1u2u1Xe2Xe12-212211uulEAXuulEAX其次，由杆端横向位移其次，由杆端横

14、向位移,2121和转角vv可以用角变位移方程推导出相应的杆端可以用角变位移方程推导出相应的杆端横向力横向力2121,MMYY和杆端力矩eeee-21321222132121212212212211126126642624vvlEIlEIYvvlEIlEIYvvlEIlEIlEIMvvlEIlEIlEIM-21321222132121212212212211126126642624vvlEIlEIYvvlEIlEIYvvlEIlEIlEIMvvlEIlEIlEIM-212211uulEAXuulEAX-22211122232322232322211146026061206120000026046

15、0612061200000vuvulEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAMYXMYXeee将上面六个方程合并，写成矩阵形式：将上面六个方程合并，写成矩阵形式：EA l6EI l2 6EI l2 EA l12EI l3 12EI l34EI l2EI l上面的式子可以用矩阵符号记为上面的式子可以用矩阵符号记为 kFeeee这就是局部座标系中的单元刚度方程。这就是局部座标系中的单元刚度方程。e可求单元杆端力可求单元杆端力 Fe ke=(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(4)(5)(6)000000

16、6EI l206EI l20-EA l-6EI l2-6EI l2 EA l-12EI l3 12EI l32EI l4EI l000000-6EI l206EI l2011u11v1112u12v12只与杆件本身物理性只与杆件本身物理性质有关而与外荷载、质有关而与外荷载、位移、位置等无关位移、位置等无关通过这个式子由单元杆端位移通过这个式子由单元杆端位移局部座标系的单元刚度矩阵局部座标系的单元刚度矩阵二、单元刚度矩阵的性质二、单元刚度矩阵的性质（1）单元刚度系数的意义）单元刚度系数的意义ijke代表单元杆端第代表单元杆端第j个位移分量等于个位移分量等于1时所引起的第时所引起的第i个杆端力分量

17、。个杆端力分量。例如例如35212lEIk- 代表单元杆端第代表单元杆端第2个位移分量个位移分量 时所引起的第时所引起的第5个杆个杆端力分量端力分量 的数值。的数值。11v2Y（2）单元刚度矩阵）单元刚度矩阵 是对称矩阵，是对称矩阵， ke即即jiijkk 。（3）一般单元的刚度矩阵）一般单元的刚度矩阵 是奇异矩阵；是奇异矩阵； ke从数学上可以证明一般单元的刚度矩阵从数学上可以证明一般单元的刚度矩阵 ke的行列式的行列式 ke=0因此它的逆矩阵不存在因此它的逆矩阵不存在从力学上的理解是，根据单元刚度方程从力学上的理解是，根据单元刚度方程 Fee Fee kFeee由由有一组力的解答有一组力的

18、解答(唯一的唯一的)，即正问题。，即正问题。由由如果如果 Fe 不是一组平衡力系则无解；若是一不是一组平衡力系则无解；若是一组平衡力系，则解答不是唯一的，即反问题。组平衡力系，则解答不是唯一的，即反问题。12m6mABCDq=1kN/m例例. 设各杆为矩形截面，横梁设各杆为矩形截面，横梁b2h2=0.5m 1.26m，立柱，立柱b1 h1=0.5m 1m。E=1.ABCD123xy31131114121103 .83,1094. 6,6,241,5 . 0-lEAlEImlmImA331132113113111031. 212,1094. 66,108 .274,109 .132-lEIlEI

19、lEIlEI柱柱梁梁322322242221094. 6,105 .52,12,121,63. 0-lEIlEAmlmImA332232223223221058. 012,1047. 36,108 .274,109 .132-lEIlEIlEIlEI单元单元1 1和和3 3=10-3-8 .2794. 609 .1394. 6094. 631. 2094. 631. 20003 .83003 .839 .1394. 608 .2794. 6094. 631. 2094. 631. 20003 .83003 .83=10-3-8 .2747. 309 .1347. 3047. 358. 0047

20、. 358. 00005 .52005 .529 .1347. 308 .2747. 3047. 358. 0047. 358. 00005 .52005 .52单元单元2 22k1k=3k局部坐标下的单元 刚度矩阵2 F-04. 343. 024. 109. 243. 024. 1可得出：可得出： -5.9613.58244.2813.5847BBBAAAvuvu设计算出位移结果：设计算出位移结果：-8 .2747. 309 .1347. 3047. 358. 0047. 358. 00005 .52005 .529 .1347. 308 .2747. 3047. 358. 0047. 35

21、8. 00005 .52005 .5210-3.- -8475 1328 48245 1396 5 1 F-49. 876. 443. 009. 224. 143. 02 F-04. 343. 024. 109. 243. 024. 13 F-38. 424. 143. 004. 324. 143. 0121X1Y1M2M2X 222111MYXMYXFeABCD8.492.093.044.38M图图(kNm)4.761.240.431.24Q图图(kN)N图图(kN)0.430.431.24ABCD123xy三、特殊单元三、特殊单元 若单元六个杆端位移中有某一个或几个已知为零，则该若单元六个

22、杆端位移中有某一个或几个已知为零，则该单元称为特殊单元，其刚度方程是一般单元刚度方程的特例。单元称为特殊单元，其刚度方程是一般单元刚度方程的特例。e以连续梁以连续梁为例：为例：1201u01v1202u02ve-222111222323222323222111460260612061200000260460612061200000vuvulEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAMYXMYXeee1201u01v1202u02ve-2221112223232223232221114602606120612000002

23、60460612061200000vuvulEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAMYXMYXeee21214224lEIlEIlEIlEIMMeee lEIlEIlEIlEIk4224ee 手算时常用，但为了程序的手算时常用，但为了程序的标准化和通用性，程序一般标准化和通用性，程序一般不采用特殊单元，如果结构不采用特殊单元，如果结构有特殊单元，可以通过程序有特殊单元，可以通过程序由一般单元来形成。由一般单元来形成。a9-3 9-3 单元刚度矩阵单元刚度矩阵( (整体座标系整体座标系) )xye1X1Y1M2Xxy

24、X1Y11MX2Y22M2Maasincos111YXXeeeaacossin111YXY-eee11MM eeaasincos222YXXeeeaacossin222YXY-eee22MM ee-2221112221111000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincosMYXMYXMYXMYXaaaaaaaaeee FTF ee座标转换矩阵座标转换矩阵单元杆端力的转换单元杆端力的转换式、单刚的转换式式、单刚的转换式一、单元座标转换矩阵一、单元座标转换矩阵 -1000000cossin0000sincos0000001000000cossi

25、n0000sincosaaaaaaaaT正交矩阵正交矩阵T-1 =TT或或 TTT=TT T =I于是可以有于是可以有 同理可以有同理可以有 Tee FTFTee FTF ee TT（解决（解决 与与k 的关系）的关系） kee在局部座标系中杆端力与杆端位移的关系式表达为：在局部座标系中杆端力与杆端位移的关系式表达为： kFeee在整体座标系中杆端力与杆端位移的关系式可以表达为：在整体座标系中杆端力与杆端位移的关系式可以表达为：(a)eeeF =k (b)eF =TTTee(d)kT F =eT (c)ekek = TT keTe(e)ke的性质与的性质与ek一样。一样。二、整体座标系中的单元

26、刚度矩阵二、整体座标系中的单元刚度矩阵（a）式可转换为：）式可转换为：两边前乘两边前乘TT比较式比较式(b)和和(d)可得：可得：对一般单元有：对一般单元有： ( )/eaaaaaakaaaaaaaaaaaaaaa -1234561241235234564562对称cossinEAEIallaaaa221312()cossinEAEIallaaaa-2312sincosEAEIallaaaa223312sinEIala a - -426cosEIala a 526EIal 64例例1. 试求图示刚架中各单元在整体座标系中的刚度矩阵试求图示刚架中各单元在整体座标系中的刚度矩阵k 。设设 和和 杆

27、的杆长和截面尺寸相同。杆的杆长和截面尺寸相同。1l = 5ml = 5m2xyl=5m，bh=0.5m 1m,A=0.5m2, I= m4, 1 24441025,10300lEIlEA解解: :(1) 局部座标系中的单元刚度矩阵局部座标系中的单元刚度矩阵- - - - - - - - - - - - - - 43000030000012300123003010003050103000030000012300123003050030 100(2) 整体座标系中的单元刚度矩阵整体座标系中的单元刚度矩阵ekke单元单元 1 ：a a = 0，T =Ik1=1k单元单元 2 ：a a = 90，单元

28、，单元 座标转换矩阵为座标转换矩阵为 -100000001000010000000100000001000010T12k=k1l = 5ml = 5m2xy单元单元 2 ：a a = 90，单元座标转换矩阵为，单元座标转换矩阵为 -100000001000010000000100000001000010Tk = TT kT-10003050030030000300030012300125003010003003000030003001230012104a1X1Y1M2Xy1MX2Y22M2MxyexX1Y1 kFeee FTF ee Teek = TT keTeeeeF =k 36421314

29、5251563213442离散化，各量离散化，各量的定义与方向的定义与方向单元刚度矩阵单元刚度矩阵的性质的性质9-4 9-4 连续梁的连续梁的整体刚度矩阵整体刚度矩阵按传统的位移法按传统的位移法i1i21214i112i110i1i21222i122i22(4i1+4i2)2i1i212302i234i23每个结点位每个结点位移对移对F的单的单独贡献独贡献F1F2F34i12i102i14i1+4i22i202i24i2 123=F=K 根据每个结点位移根据每个结点位移对附加约束上的约束对附加约束上的约束力力F的贡献大小进的贡献大小进行叠加而计算所得。行叠加而计算所得。传统位移法传统位移法设在

30、三个结点上分别作设在三个结点上分别作用力矩载荷用力矩载荷F1、F2、F3F=K结构总体刚度方程结构总体刚度方程总体结点力、结点位移矢量总体结点力、结点位移矢量 Tn 123LL TnFFFFF 123LL nnnnnnnnKKKKKKKKKKKKKKKKK 111213121222323132333123LLLLLLMMMMMMMMLL结构总刚度矩阵结构总刚度矩阵一、一、 单元集成法的力学模型和基本概念单元集成法的力学模型和基本概念分别考虑每个单元对分别考虑每个单元对F的单独贡献，整体刚度矩阵由单元直接集成的单独贡献，整体刚度矩阵由单元直接集成i1i212123F3F1= F11F211TF1

31、1F21F31令令 i2 =0，则则F31=0k =4i12i14i12i11F11F21=4i12i14i12i112（a）（b）F11F21F31=4i12i14i12i1000001231K F =1K =14i12i14i12i100000单元单元 1 的贡献矩阵的贡献矩阵单元单元 1 对结点力对结点力F的贡献的贡献略去其它单元的贡献。略去其它单元的贡献。i1i212123F12F22F32k =4i22i24i22i22F12F22F32=4i22i24i22i2000001232K F =2设 i1 =0，则F12=0K =24i22i24i22i200000单元单元 的贡献矩阵的

32、贡献矩阵F3F2= F12F222T单元单元对结点力对结点力F的贡献的贡献略去单元略去单元的贡献。的贡献。1K F =1K =14i12i14i12i1000002K F =2K =24i22i24i22i200000i1i2121212K=（K +K ）=12Keek K K eeF=F +F =（K +K ）12F=K整体刚度矩阵为：整体刚度矩阵为：单元集成法求整体单元集成法求整体刚度矩阵步骤：刚度矩阵步骤：根据单元根据单元和单元和单元分别对结点力分别对结点力 F 的贡献，可得整体刚度方程：的贡献，可得整体刚度方程：k K K ee12k =4i12i14i12i11K =14i12i14

33、i12i100000k =4i22i24i22i22K =24i22i24i22i2000001214i12i14i12i1000002i22i24i2K=4i12i14(i1+i2)2i102i202i24i24i1+4i2二、按照单元定位向量由二、按照单元定位向量由k 求求 eKe(1)在整体分析中按结构的结点位移统一编码，称为总码。在整体分析中按结构的结点位移统一编码，称为总码。(2)在单元分析中按单元两端结点位移单独编码，称为局部码。在单元分析中按单元两端结点位移单独编码，称为局部码。以连续以连续梁为例梁为例121231(1)(2)2(1)(2)位移统一编码，位移统一编码，总码总码单元

34、单元12对应关系对应关系局部码局部码总码总码单元定位向量单元定位向量 e(1)1(2)2 1=21(1)2(2)3 2=32确定确定中的元素在中的元素在中的位置。为此建立两种编码：中的位置。为此建立两种编码：k eKe位移单独编码位移单独编码局部码局部码由单元的结点由单元的结点位移总码组成位移总码组成的向量的向量（3）单刚）单刚k eKe和单元贡献和单元贡献中元素的对应关系中元素的对应关系单元单元单元单元k =4i12i14i12i11(1)(2)(1)(2) 1=21K =11230000000004i12i12i14i1123k =4i22i24i22i22(2)(3)(2)(3) 2=3

35、2K =20000000004i22i24i22i2123123单元定位向量单元定位向量描述了单元两种编码（总码、局部码）之间的对应关系。描述了单元两种编码（总码、局部码）之间的对应关系。单元定位向量单元定位向量定义了整体坐标系下的单元刚度矩阵中的元素在整体刚度矩阵中定义了整体坐标系下的单元刚度矩阵中的元素在整体刚度矩阵中的具体位置，故也称为的具体位置，故也称为“单元换码向量单元换码向量”。单元贡献矩阵是单元刚度矩阵，利用单元贡献矩阵是单元刚度矩阵，利用“单元定位向量单元定位向量”进行进行“换码重排位换码重排位”。三、三、 单元集成法的实施单元集成法的实施（定位（定位 累加）累加）K123123000000000k 1 10000000004i12i12i14i1123123k 2 24i12i