球的体积与表面积

1、1.3.2球的体积和表面积学习目标1. 记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积（重点）；2. 能解决与球有关的组合体的计算问题（难点）一、球的表面积与体积公式1. 球的体积 设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数。 事实上，如果球的半径为R，那么它的体积343VR这个公式以后可以证明一、球的表面积与体积公式2. 球的表面积 设球的半径为R，它的表面积由半径R惟一确定，即它的表面积S也是以R为自变量的函数。 事实上，如果球的半径为R，那么它的表面积24SR这个公式以后可以证明一、球的表面积与体积公式探究：观察球的体积与表面积公式，思考下面的问题(1)计算球的表面积

2、与体积，关键需要确定哪个量？(2)若两球的半径之比为1 2，那么两球的表面积之比及体积之比分别是多少？(3)若两球的半径之比为R1 R2，那么两球的表面积之比及体积之比分别是多少？322312311111112233222222224RS4 RRRVRR3() ,() .4S4 RRRVRRR3（1）球的体积和表面积都是关于半径R的函数，因此求体积和表面积时，只需求出半径即可.（2）确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求它的表面积和体积；反过来已知体积或表面积也可以求其半径练习11. 若一个球的体积扩大到原来的27倍，则它的表面积扩大到原来的多少倍？2. 把球的表面积扩大

3、到原来的2倍，那么体积扩大到原来的多少倍？【例4】如图1.3-8，圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求证： 球的体积等于圆柱体积的； 球的表面积等于圆柱的侧面积。23二、球的截面 探究1：用任何一个平面去截球所得的截面是什么形状？ 探究2：球心和截面圆圆心的连线与截面有何关系？ 探究3：若球的半径为R，截面圆半径为r，则球心到截面的距离d是多少？Rrd22dRr .练习2 用与球心距离为1的平面去截球，所得截面面积为，则该球的体积是多少 ？【例1】ABC的三个顶点在球O的表面上，且AB=，AC=2，BC=6.球心O与BC中点的连线长为4，求球的表面积与体积。4 2624 2624 2三、由三

4、视图求与球有关的组合体的体积与表面积【例2】某个几何体的三视图如图（单位：m） 求该几何体的表面积； 求该几何体的体积。【变式训练2】某几何体的三视图如图，它的体积为（）A.72 B.48 C.30 D.24四、重难探究球的表面积与体积【变式训练1】若两球的表面积之差为48，它们的半径之和为6，求两球的体积之差。五、与球有关的组合体的性质 如底面半径为r，高为h的圆锥的内部有一球O，且球与圆锥的底面和侧面均相切。 过球心O和圆锥的顶点作圆锥的截面，如图所示，则球心是等腰三角形ABC的内接圆的圆心，AB和AC均是圆锥的母线，BC是圆锥底面直径，D是圆锥底面的圆心BCEODABCEODA解与球有关

5、的组合体的性质的问题时，可通过画过球心的截面来分析。五、有关球的切、接问题 一、正方体的内切球正方体的内切球的半径是棱长的一半，即直径等于棱长球与正方体六个面均相切，切点为各面的中心过球心的截面ABCD五、有关球的切、接问题 一、正方体的内切球ABO正方体的内切球的半径是棱长的一半，即直径等于棱长球与正方体六个面均相切，切点(A，B)为各面的中心五、有关球的切、接问题 二、正方体的棱切球五、有关球的切、接问题 二、正方体的棱切球正方体的棱切球半径是面对角线长的一半即直径为面对角线AADCBBDC与12条棱均相切，切点为各棱中点过球心的截面EFGH五、有关球的切、接问题 三、正方体的外接球正方体

6、的外接球半径是体对角线的一半即球直径等于体对角线CD正方体的八个顶点与球相接五、有关球的切、接问题CDAADCBBDC正方体的内切球的直径等于棱长，即 d = a（或 ）；12ra正方体的棱切球的直径等于面对角线，即 （或 ）2da22ra正方体的外接球的直径等于体对角线，即 （或 ）3da32ra五、有关球的切、接问题1. 有一个球与棱长为 a 的正方体的12条棱都相切，则这个球的体积应为多少？2. 一个正方体内接于表面积为4的球，则该正方体的表面积是多少 ？五、有关球的切、接问题 长方体的外接球oAADCBBDC长方体的共顶点的三个棱长分别是3 ,4, 5 ，求长方体的外接球的表面积球与正

7、方体的组合体问题与球有关的组合体 正方体的内切球的直径等于棱长，即 d = a（或 ）； 正方体的棱切球的直径等于面对角线，即 （或 ） 正方体的外接球的直径等于体对角线，即 （或 ）2da22ra3da32ra12ra六、正四面体与球的组合问题正四面体的内切球【例3】各棱长为的四面体内有一内切球，求该球的半径。3OO1通常用等体积法求一个多面体的内切球的半径。六、正四面体与球的组合问题正四面体的外接球【变式训练3】求本例中四面体外接球的半径。六、正四面体与球的组合问题正四面体的外接球正四面体可以看作由过正方体顶点截去四个角得到，所以正四面体的外接球就是对应正方体的外接球。（其棱长为正方体的面对角线）ABCDABCD六、正四面体与球的组合问题正四面体的外接球正四面体的棱切球同理，正四面体的棱切球就是对应正方体的内切球。ABCD解决与球有关的组合体问题的解题技巧 (1)与球有关的组合体问题：解题时要认真分析图形，明确切点位置，明确有关元素间的数量关系，并且作出合适的截面图. (2)球与旋转体的组合，通过作它们的轴截面解题. (3)球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心、切点或接点作出截面图.课堂小结1. 球体的体积与表面积公式；2. 球与组合体的关系。正方体的内切球、棱切球、外接球以及正四面体的内切球、棱切球、外接球3. 正四面体的棱切球是对应正方体的内切球；正四面体的